自动控制理论课件PPT2哈工大

G2(D)
xb
f(t)
G(D)
xb
G＝G1G2
7 自动控制理论
第二章 线性系统的数学模型
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例2-2
机械旋转系统
θ
Ts k
T J
Tf f d dt
J
T
d 2 J 2 T T T f Ts dt
f — 粘滞摩擦系数 k— 弹性扭转变形系数
17 自动控制理论
第二章 线性系统的数学模型
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二、脉冲响应法（实验辩识法）
描述线性定常系统的微分方程为：
dny d n 1 y a0 n a1 n 1 dt dt
dy d mx an 1 an y b0 m dt dt d m 1 x dx b1 m1 bm 1 bm x dt dt
(t )
(t )
g (t ) H (t ) (t )

Ag(t ) AH (t ) (t )
τ
g (t )
r (t ) r ( ) (t )
t
c(t ) H (t )r ( ) (t )
0
0
g(t )
τ
t
g (t )r ( )
1 Ku Ce
Km Tm J
电压传递系数 转矩传递系数
11 自动控制理论
第二章 线性系统的数学模型
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通常电枢的电感La很小，所以电磁时间常数可以忽略不计，于是电 动机的微分方程可以简化为：
d Tm K u ua K m M c dt
如果取电动机的转角作为输出，则上式可改写为
d 2 d Tm 2 K u ua K m M c dt dt
2 微分方程的增量化表示
若电动机处于平衡状态，各阶导数均等于零，微分方程可以变 为下面的代数方程：
Kuua Km M c
表示平衡状态下的输入量和输出量的关系，称为静态方程， 表示了电机的控制特性和机械特性。
消去ea、ia、M三个中间变量，可以得到描述输出量ω， 输入量ua及扰动量M之间的关系的微分方程为：
d 2 d dMc TaTm 2 Tm Kuua Km Ta Mc dt dt dt
La Ra JRa Tm CeCm Ta
电机的电磁时间常数 电机的机械时间常数
0
t 0

r(t)
r(t)
r ( ) (t )
c(t ) g (t )r ( )d g ( )r (t )d
0 t
ε
τ
20 自动控制理论
第二章 线性系统的数学模型
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§2.2 线性系统的输入—输出传递函数描述 为什么采用传递函数来描述？
2
+ u _
iL
uC
C
机械传递系统
f v M K B x 力 速度 质量 弹性系数 阻尼系数 线位移
电气网络
u i L 1/C R q 电压 电流 电感 电容倒数 电阻 电荷
d 2uC dq LC 2 RC uC u dt dt
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第二章 线性系统的数学模型
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第二章 线性系统的数学模型
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本章难点
(1) 运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知 识)建立正确的微分方程； (2) 建立系统的结构图或信号流图；
(3)
(4)
结构图和信号流图等效变换的灵活运用；
建立系统的动态方程。
1 自动控制理论
第二章 线性系统的数学模型
y0
y
y0 y
A
B
y=f(x)
可以在(x0,y0)附近泰勒级数
x0
x0 x
x
14 自动控制理论
直流发电机空载特性曲线
第二章 线性系统的数学模型
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dy 1 d2y y f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) dx x x0 2! dx2
12 自动控制理论
第二章 线性系统的数学模型
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电动机在平衡状态附近运行的变量可以表示为：
ua ua 0 ua M c M c 0 M c 0
将上面变量代回到简化的微分方程中，并考虑平衡状态的变量关系
3 自动控制理论
第二章 线性系统的数学模型
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§2.1
线性系统的输入—输出时间函数描述
系统的输入—输出描述：
是一种外部描述，目的在于通过该数学模型确定被控 制量与给定量或扰动量之间的关系 。 一、列写微分方程法（机理分析法）
1. 线性元件的微分方程 (1) 确定输入量、输出量和扰动量，并根据需要引进 一些中间变量。 (2) 根据物理或化学定律，列出微分方程。
上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设：输入量和输 出量只是在静态工作点附近作微小变化 。
几点注意：
(1)只适用于不太严重的非线性系统，其非线性函数是可 以利用泰勒级数展开的（非本质非线性）。 (2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近， 且变量只能在小范围内变化。 (3)不同静态工作点得到的方程是不同的。 (4)对于严重的非线性，例如继电特性，因为处处不满足 泰勒级数展开的条件，故不能做线性化处理。 (5)线性化后得到的是增量微分方程。
实验辨识方法的理论依据 ： 假设线性系统是定常的，初始条件为零或初始状态为零 ，其响应和 输入之间满足齐次和线性关系 ，即：
C(t)=H(t)r(t)
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给定输入是单位脉冲函数时实验辨识基本原理
脉冲函数的表达式为：
8 自动控制理论
d d J 2 f k T dt dt
2
第二章 线性系统的数学模型
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例2-3电阻、电感、电容串联网络
R
L
di L Ri uC u dt q dq uc i C dt
d q dq 1 L 2 R q u dt dt C
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物理模型— 理想化的物理系统 数学模型— 物理模型的数学描述 建模——建立起比较简单又能反映实际物理过程的模型。 建模的线性化问题 两种基本方法：机理分析法和实验辨识法。
求解 线性微分方程 时间响应 观察 性能指标
傅 氏 变 换
拉氏变换 传递函数 S=jω 频率特性 计算
, t (t )dt 1 (t ) 0, t

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第二章 线性系统的数学模型
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零初始条件的线性定常系统的输入δ(t)，得到的输出称 为系统的单位脉冲响应，也称为权函数，记作g(t)。
xa
K
xb
M
参考面
f f K K ( xa xb )
B
f K f M f B MD xb BDxb
2
综合两个方程可以得到：
(MD BD) xb f
2
f(t)
xa
K K M
xb
B
(MD BD K ) xb Kxa
2
K (MD2 BD) xa (MD2 BD K ) f d “D”表示微分算子 () dt
(3) 消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括 扰动量)关系的微分方程（标准形式）。 4 自动控制理论
第二章 线性系统的数学模型
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例2.1 弹簧阻尼系统
ma F F Fs Ff
ky
f
Fs ky
Ff fv
y
dy dt
A
A r (t ) , 0t ，令 t 0, t 0 or
A为脉冲面积或脉冲强度。
。
r(t)
A
δ（t）
A
(t )
ε
t
t
τ
t
脉冲强度A=1时的脉冲函数记为
(t )
，令 0
并求取极限，则称为单位脉冲函数 (t )
, t 0 (t ) lim (t ) 0 0, t 0
x1 x10
f ( x1 x10 ) x2
( x2 x20 ) x x 20
y K1x1 K2 x2
dy K1 dx1 dy 及 K2 dx2 x x
10
是比例常数。
x x20
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参考面
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第二章 线性系统的数学模型
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xa MD2 BD K G1 f K (MD2 BD)
xb K G2 xa MD2 BD K
G xb 1 f MD 2 BD
f(t)
G1(D)
xa
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对于具有两个自变量的非线性函数
y f ( x1, x2 )
在静态工作点y0=(x10,x20)附近展成泰勒级数。
f y f ( x10 , x20 ) x 1
用增量表示
拉氏反变换 估算
估算
频率响应
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第二章 线性系统的数学模型
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 线性系统的输入—输出时间函数描述 线性系统的输入—输出传递函数描述 典型环节的数学模型 控制系统的结构图及其等效变换 自动控制系统的传递函数
( x x0 ) 2
x x0
dy 1 d2y y y0 ( x x0 ) dx x x0 2! dx2
Βιβλιοθήκη Baidu忽略高次项，然后用增量表示
( x x0 ) 2
x x0
y Kx
dy 是比例常数。 K dx x x0
经上述处理后，就变成了线性方程。
0 Kuua0 Km M c0
可以得到
Tm
d K u ua K m M c dt
这是电动机的微分方程在平衡状态附近的增量化表示式。
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3 非线性方程的线性化
非线性方程难于求解，用线性数学模型近似表示非线性数学模型。 在一定工作范围内进行线性化处理。 将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级数，并忽略高次项。 例：直流发电机 X轴表示励磁电流 Y轴表示输出电势 由于存在磁路饱和，y和x呈非线 性关系
3)电动机的电磁转矩方程为
Cm为电动机的转矩常数，单位为Nm／A。
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第二章 线性系统的数学模型
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4)电动机轴上的动力学方程为
d M Mc dt J为转动部分折算到电动机轴上的总转动惯量，其单位为N· m· s2。 J
例2-4
直流他激电动机带动负载
＋
ia
eC
设激磁电流恒定并忽略电枢反应。 ω为转速，Ua为电枢电压，Mc为负载 1) 电枢回路的电势平衡方程为： dia La ia Ra ea ua dt 2)电动机的反电势方程为
La
Ra
ω
MC
ua
＿
负载
＋ ＿
ea Ce
M Cmia
Ce为电动机的电势常数，单位为v· s／rad。
y
m
F
o
m
o
F
d2y dy m 2 f ky F dt dt
f — 粘滞摩擦系数 k— 弹簧系数 v— 物体相对的移动速度 5 自动控制理论
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例2.1 机械传递系统
xa和xb作为网络的结点。在每一 个节点上，力的和等于零。