欧拉方程求解线性非齐次高阶方程的特解待定系数法

4.3 欧拉方程、非齐次高阶线性方程特解的待定系数方法

(How to Solve Euler equation, Use the method of undetermined coefficients to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE)

[教学内容] 1. 介绍欧拉方程及其解法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的待定系数求法. 3. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法.

[教学重难点] 重点是知道欧拉方程的特征方程，并能获得原欧拉方程的基本解组；如何运用待定系数法或常数变易法求解非齐次线性方程的特解； 难点是如何由非齐次线性方程中的形式合适选择特解的形式.

[教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3

[考核目标]

1. 能写出欧拉方程的特征方程的形式

2. 能由欧拉方程的特征方程的特征根写出原微分方程基本解组;

3. 知道待定系数法求解非齐次线性方程的特解；

4. 知道运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解.

1. 认识欧拉方程.

(1) 称形如0qy pxy''y'x 2=++为欧拉等量纲方程

（Euler ’s equi-dimensional equation ），其中p 和q 都是常数.

(2) 解法：令自变量替换t

e x =将原方程化为常系数方程： dt dy e (dx/dt)1dt dy dx dt dt dy dx dy t -=⋅=⋅=； dt

dy dt dy xe dx dy x t ==-； )dx

dt dt y d (e dt dy )dx dt e ()dt dy (e dx d dx y d 22t t t 22---+⋅-==； 2222t 2t 2222

dt y d dt dy -)dx dt dt y d (e x dt dy )dx dt e (x dx y d x +=+⋅-=--； 因此，原方程化为0qy dt

dy 1)(p dt y d 22=+-+，这是一个常系数线性微分方程. 令)x (y e y λλt ==代入方程得到，方程为0q)1)λ(p (λe 2t =+-+λ（或0q p λ1)λ(λ=++-），称0q p λ1)λ(λ=++-为欧拉方程的特征方程.

由此得到新方程的基本解组为t λt λ21e ,e 或t

λt λ11 te ,e ，或)sin(),cos(t e t e t t ββαα. 返回原变量得到欧拉方程的基本解组为21λλx ,x 或11λλx |x |ln ,x ，或

|)|ln sin(|),|ln cos(x x x x ββαα.

例52. 求解微分方程0y dx dy x dx d x 222

=+-y .

解：注意到这是一个欧拉等量纲方程，令λt λe x y ==，得到欧拉方程的特征方程为 01λ1)-λ(λ=+-，解得01)(λ2=-. 于是1λ=为二重根.

于是得到欧拉方程的基本解组为t t te ,e ，返回原变量为11x |x |ln ,x ，因此原欧拉方程的通解为R c ,c |,x |xln c x c y 2121∈+=.

例53 Find the general solution of the following equation: (1) 010y 3xy''y' x 2=++;

Solution (1) Let λλt x e y ==，then the associated characteristic equation of Euler equation is 0103λ1)λ(λ=++-. By solving the algebraic equation, we get 3i 12

i62λ1,2±-=±-=. Then two dependent solutions to the new equation is sin(3t)e cos(3t),e t t --, and fundamental solutions to Euler equation is |)x |sin(3ln x |),x |cos(3ln x 11--.

Therefore, the general solution is given by |)x |sin(3ln x c |)x |cos(3ln x c y 1211--+=, 21c ,c are two independent variables.

作业47. Find the general solution of each of the following equation: (1) 012y 2xy''y'x 2=-+;

(2) 04y 3xy''y'x 2=+-; (3) 05y dx dy 3x dx y d x 222

=++. 2. 非齐次线性微分方程特解待定系数方法求解（undetermined coefficients ’ method)

（1）非齐次线性微分方程通解结构：考察二阶非齐次线性微分方程f(t)q(t)dt dx p(t)dt x d 22=++. 若(t) x (t),x 21为0q(t)dt

dx p(t)dt x d 22=++的基本解组且(t)x *为原非齐次方程的一个特解，则原 非齐次线性方程的通解为(t)x (t)x c (t)x c x(t)*2211++= 其中R c ,c 21∈. (一般地结论参见教材P127定理7)

（2）待定系数方法求解非齐次方程的特解

例54. 求解二阶非齐次方程(1) 2t 6x dt

dx dt x d 22=--; (2)2t dt x d 22=的一个特解. 解：(1) 方程的特征方程为062

=--λλ，得到2λ 3,λ21-==. 猜想：原方程具有如下形式特解：B At (t)x *+=（原因是2 t C 经过两次求导最高次数为0，一次求导后最高次数为