21-恒成立与存在性问题

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21-恒成立与存在性问题

专题：

等式与不等式恒成立与存在性成立的问题一、恒成立与存在性问

题可以进行数学语言的形式的转化。

如：

1、单变量恒成立问题的转化：

( ) a f x 对 x D 恒成立 ( ) max a f x ； ( ) a f x 对

x D 恒成立 ( ) min a f x ； 2、单变量能成立问题的转化：

( ) a f x 对 x D 能成立 ( ) min a f x ； ( ) a f x 对

x D 能成立 ( ) max a f x ； 3、单变量恰成立问题的转化：

( ) a f x 在 x D 恰成立 ( ) a f x 的解集恰好为 D；

( )( )a f xa f x D R在D上恒成立在 C 上恒成立

另一种转化：

( ) f x a 在 x D 恰成立 ( ) min ( ) f x x D a = ( )

f x a 在x D 恰成立( ) max ( ) f x x D a =

4、双变量恒成立问题的转化：

1）设函数 ( ) ( ) f x g x 、对任意的 [ ]1 2, , x x a b 恒

有 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]min max, ( , )

f x x a b

g x x a b 2）设函数 ( ) ( ) f x g x 、对任意

的 [ ]1, x a b 及 [ ]2, x c d 恒有 ( ) ( )1 2f x g x ( )

[ ] ( ) ( ) [ ]min max, ( , ) f x x a b g x x c d 5、双

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变量能成立问题的转化之一（任意＋存在）：

1）设函数 ( ) ( ) f x g x 、，对任意的 [ ]1, x a b ,存在 [ ]2, x a b 使 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )min min, , f x x a b g x x a b 2）设函数 ( ) ( ) f x g x 、，对任意的 [ ]1, x a b ，存在 [ ]2, x c d 使 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )min min, , f x x a b g x x c d 3）设函数 ( ) ( ) f x g x 、，对任意的 [ ]1, x a b ,存在 [ ]2, x a b 使 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )max max, , f x x a b g x x a b 4）设函数 ( ) ( ) f x g x 、，对任意的 [ ]1, x a b ，存在 [ ]2, x c d 使 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )max max, , f x x a b g x x c d 5）设函数 ( ) ( ) f x g x 、，对任意的 [ ]1, x a b ，存在 [ ]2, x c d 使 ( ) ( )1 2f x g x = ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) , , f x x a b M g x x c d N 的值域的值域 6、双变量能成立问题的转化之一（存在＋存在） 1）设函数 ( ) ( ) f x g x 、，存在 [ ]1, x a b ,存在 [ ]2, x a b 使 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )max min, , f x x a b g x x a b 2）设函数 ( ) ( ) f x g x 、，存在 [ ]1, x a b ，存在 [ ]2, x c d 使 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )max min, , f x x a b g x x c d 3）设函数 ( ) ( ) f x g x 、，存在 [ ]1, x a b ,存在 [ ]2, x a b 使 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )min max, , f x x a b g x x a b 4）设函数 ( ) ( )

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f x

g x 、，存在 [ ]1, x a b ，存在 [ ]2, x c d 使 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( )min max, , f x x a b g x x c d 二、恒成立与存在性问题可以转化为对函数图象位置关系的理解，通过图象位置关系的确定来解决问题。

如：

1、单变量恒成立问题的转化：

( ) ( ) f x g x 对 x D 恒成立 x D 时 ( ) f x 的图象在相同自变量处恒在( ) g x 的图象上方；2、双变量恒成立问题的转化：

1）设函数 ( ) ( ) f x g x 、 ,对任意的 [ ]1 2, , x x a b 恒有 ( ) ( )1 2f x g x x D 时 ( ) f x 的图象整体恒在 ( ) g x 的图象上方； 2）设函数 ( ) ( ) f x g x 、对任意的 [ ]1, x a b 及 [ ]2, x c d 恒有 ( ) ( )1 2f x g x [ ] , x a

b 时 ( ) f x 的图象整体高于 [ ] , x

c

d 时 ( ) g x 的图象；

3、双变量能成立问题的转化之一（任意＋存在）：

1）设函数 ( ) ( ) f x g x 、，对任意的 [ ]1, x a b ,存在 [ ]2, x a b 使 ( ) ( )1 2f x g x [ ] , x a b 时 ( ) g x 的图象的最低点恒在 ( ) f x 的图象下方； 2）设函数 ( ) ( ) f x g x 、，对任意的 [ ]1, x a b ，存在 [ ]2, x c d 使 ( ) ( )1 2f x g x [ ] , x c d 时 ( ) g x 的图象的最低点低于 [ ]1,

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