高中数学立体几何三垂线法求二面角应用技巧讲解

三垂线法求二面角

1.直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的

角。

2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的

射影垂直，那么它也和这条斜线垂直

3.三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过这个平面的一条

斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

如图1，在二面角α—l一β中，过平面α内一点A作AO⊥平面β，垂足为O，过点O作OB⊥l于B(过A点作AB⊥于B)，连结AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，则∠ABO为二面角α—l—β的平面角．

4.三垂线法三部曲（两垂一连）

（1）作面的垂线（任一个半平面的垂线）

（2）作棱的垂线

（3）连线

例1 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC 的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．

(1)求证：BC⊥平面AA1CC1；

(2)求二面角B一AA1—C的正切值．

例2 如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA

1

⊥面ABCD，SA=AB=BC＝1，AD＝

2

(1)求四棱锥S—ABCD的体积；

(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

例3.如图, 在△ABC中, AB⊥BC, SA⊥平面ABC, DE垂直平分SC, 且分别交AC,SC于D,E, 又SA=AB, SB=BC, 求二面角E-BD-C的大小.

例4.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．

5．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC 斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= √2，求二面角P-AB-C的正切值。

6. 已知M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 的中点，求二面

角A 1－MC －A 的大小．

7.在如图所示的空间几何体中,平面ACD ⊥平面ABC, AB=BC=CA=DA =DC=BE=2,BE 和平面ABC 所成的角为60度,且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上

(1).求证:DE//平面ABC ； (2).求二面角E －BC －A 的余弦值 O A B P

C B C

D

E A 2 2 2 2 2

2