第六讲假设法解决问题

第五讲：数学思维训练之假设法解决数学问题

一、鸡兔同笼问题

1、知识介绍：

大约在1500多年前，我国的大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？这就是“鸡兔同笼”问题，它是我国古代著名趣题之一。同学们，你会解答这个问题吗？你道古人是怎样解决的吗？今天我们将会用怎样的方法去解决呢？这就是这专题学习的一个重点，巧用假设法去解此类问题是非常简单的，也很好理解。在日常生活有关鸡兔同笼的问题很多，如运输打坏玻璃如何赔偿、两种钱放在一起如何分开，考试中答错答对问题等等这些问题，用假设方法去解答，能化难为易。

2、探索题目：

小梅数她家的鸡与兔，数头有8个，数脚有26只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？

解法一：（古人解法）提足法：

我们先了解古人在解决此类问题的方法。原来，孙子在解决时大胆的设想，先让每只鸡提起一只脚，每只兔提起两只脚。这样，每只鸡则变成了“独脚金鸡”了，而每只兔则变成了“双脚怪兔”了。这样，现在脚的总数只有原来的一半了。我们再让它们提一次脚，让每只鸡和每只兔都提起一只脚来，现在每只鸡则变成“无脚鸡”，而每只兔则变成了“独脚兔”了。这样，它们又提起了8只脚，所剩下的脚就只有兔子的脚了，从而求出了兔的只数来，再求鸡的只数就非常简单了。

[解答] 兔的只数：

鸡的只数：

解法二：画图法（画头添足法）

根据画图的过程列出算式：

[

解答]

兔的只数：

鸡的只数：

解法三：假设法

因为有8头，说明鸡和兔的总只数为8只，我们不妨假设笼子里全部者是兔子，1只兔子有4只脚，所以共有32只脚，而实际只有26只脚，从中多出了6只脚来，为何多出6只脚呢？是因为我们把笼子里的鸡当成了兔子造成的。而我们每只鸡只有2只脚，从而多算了2个脚来，由此可求出鸡的只数来，再求出兔子的只数，问题就解决了。当然还可假设笼子里全都是鸡来解决，请小朋友去完成吧。

[解答] 假设8只全都是兔子。

鸡的只数：

兔的只数：

2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5分，小明共得了70分，他做对了几道题？

分析：

假设他做对了10道题，那么应得10×10＝100 (分)，而实际只得70分，少30分，这是因为每做错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会少10＋5＝15 (分)，看30分里面有几个15分，就错了几题。

解：( 10×10－70 )÷( 10＋5 )

＝30÷15

＝2 (道) ------ 错题

10－2＝8 (道)

答：他做对了8道题。

3、有面值5元和10元的钞票共100张，总值为800元。5元和10元的钞票各是多少张？分析：

假设100张钞票全是5元的，那么总值就是5×100＝500 (元)，与实际相差800－500＝300 元

差的300元，是因为将10元1张的算作了5元的，每张少计算10－5＝5 (元)，差的300元里面有多少个5元，就是多少张10元的钞票。

解： ( 800－5×10 )÷( 10－5 )

＝300÷5

＝60 (张) ------ 10元面值

100－60＝40 (张)

答：有10元的钞票60张，5元的钞票40张。

4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，三种动物各多少只？( 蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀 )

分析：

假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿，那么总腿数是6×21＝126 (条)，比实际少140－126＝14( 条)，这是因为一只蜘蛛是8条腿，把它算作6条腿，每只蜘蛛少计算了8－6＝2 (条)，少算的14条里面有几个2条，就是几只蜘蛛，即14÷2＝7 (只)。从总只数里减7只蜘蛛，就得21－7＝14 (只)是蜻蜓和蝉的和。再假设这14只全是蜻蜓，那么翅膀应是2×14＝28 (对)比实际多28－23＝5 (对)，这是因为蝉是1对翅膀，把它算成2对了，每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里面有几个1对，就是几只蝉。求出了蝉，蜻蜓可求。

解： ( 140－6×21 )÷( 8－6 )

＝14÷2

＝7 (只) ------ 蜘蛛

21－7＝14 (只)

( 2×14－23 )÷( 2－1 )

＝5÷1

＝5 (只) ------- 蝉

14－5＝9 (只) ------ 蜻蜓

答：蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只。

小试牛刀：

1）、大油瓶每瓶装4千克，小油瓶每瓶装2千克，现有200千克油装了共60个瓶子。问大小油瓶各多少个？

2）、龟鹤共有100个头,350只脚.龟,鹤各多少只？

3）、学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？

4）、松鼠妈妈采松籽,晴天每天可以采20个,雨天每天只能采12个. 它一连几天采了112个松籽,平均每天采14个. 问这几天当中有几天有雨？

5）、某小学举行一次数学竞赛考试，共15道题，每做对一题得8分，每做错一道题倒扣4分，小明得了72分，他做对了多少道题？

6）、有50元人民币和100元人民币共43张，共3400元，问50元人民币和100元人民币各多少张？

附：练习题

1、盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少个？

2、一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？

3、学校买来3个排球和2个足球，共花去111元。每个足球比每个排球贵3元。每个排球和每个足球各多少元？

4、鸡兔同笼，头共20个，足共62只，求鸡与兔各有多少只？