高等数学(高等教育出版社)第九章D9_1基本概念ok
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第九章 多元函数微分法 及其应用
一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意: 善于类比, 举一反三. 注意 善于类比 举一反三.
第一节 多元函数的基本概念
一,平面点集 二,多元函数的概念 三,多元函数的极限 四,多元函数的连续性
第九章
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一, 平面点集
1. 邻域 点集 例如, 例如,在平面上,
2 2
故
( x, y)→(0,0)
lim
f (x, y) = 0.
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若当点 P(x, y)以不同方式趋于 P (x0 , y0 ) 时 函数 , 0 则可以断定函数极限 趋于不同值或有的极限不存在, 不存在 .
xy 例2. 讨论函数 f (x, y) = 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x +y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有 2 kx k lim f (x, y) = lim 2 2 2 = ( x, y)→(0,0) x→0 x + k x 1+ k 2 y=kx
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ; 点集 { (x, y) x >1 是开集, } 但非区域 .
y
1O 1
x
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P∈D 与某定点 A 的距离 AP≤ K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 无 有界域 界域 .
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1 例1. 设 f (x, y) = (x + y )sin 2 2 x +y lim 求证: ( x, y)→(0,0) f (x, y) = 0.
2 2
(x2 + y2 ≠ 0)
要证
证:
<ε
∴ ε > 0, δ= ε , 当0 < ρ = x2 + y2 < δ时 总有 ,
≤x +y
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例如, 二元函数 z = 1 x y
2
2
z
O x
z
定义域为 圆域 { (x, y) x2 + y2 ≤1} 图形为球心在原点的上半球面.
1 y
又 , z = sin(xy) , (x, y) ∈R2 如
说明: 说明 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ∈ D 的图形一般为空间曲面 ∑ . 三元函数 u = arcsin( x2 + y2 + z2 ) 定义域为 单位闭球
�
arcsin(3 x2 y2 ) x y
2
的连续域.
3 x2 y2 ≤1
x y2 > 0 2 2 2≤ x + y ≤4 2 x> y
y
O
2 2
x
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内容小结
1. 平面点集 邻域 : U(P , δ) , U(P , δ) 0 0 区域 连通的开集 Rn空 间 2. 多元函数概念 n 元函数 u = f (P) = f (x1, x2 ,, xn )
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例如, 例如,在平面上 { (x, y) x + y > 0 } { (x, y) 1 < x2 + y2 < 4 } { (x, y) x + y ≥ 0} { (x, y) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 } 闭区域 开区域
y
O y O 1 2x
x
y
O
y
x
O 1 2x
0 < PP < δ 0
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2. 区域 (1) 内点,外点,边界点 设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 则称 P 为 E 的内点 内点; 内点 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , 则称 P 为 E 的外点 ; 外点
E
若对点 P 的任一 任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 任一 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 边界点 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
例如, 例如 函数
在圆周 x2 + y2 =1上间断. 结论: 结论 一切多元初等函数在定义区域内连续.
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闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理:若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 定理
(有界性定理)
(2) f (P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
P∈D Rn
常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数
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3. 多元函数的极限
P→P 0
lim f (P) = A
ε > 0, δ > 0, 当 < PP < δ 时, f (P) A < ε 有 0 0
4. 多元函数的连续性 1) 函数 f (P) 在P 连 续 0 有界定理 ; 最值定理 ;
k 值不同极限不同 !
故 f (x, y)在 (0,0) 点极限不存在 .
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例3. 求
此函数定义域 不包括 x , y 轴
2 2 2 2 2 解: 因 x y ≤ 1 (x + y ) ,令 r 2 = x2 + y2 , 则 4
4(1 cos r 2 ) ≥ r6
4(1 cos r 2 ) 2 r4 而 lim = lim 6 = ∞ r →0 r→0 r r6
PP < δ 称为点 P0 的δ 邻域. 邻域. 0
U( P , δ ) = {(x, y) 0
在空间中, U( P ,δ ) = {(x, y, z ) 0
} (圆邻域) }
(球邻域)
说明: 说明:若不需要强调邻域半径δ ,也可写成 U( P ). 0 点 P0 的去心邻域 去心邻域记为 去心邻域
1.
设
求
解法2 解法 令
v2 f ( , uv) u v2 f ( , uv) = u
即
y2 2 +y 2 x
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2.
ln(1+ xy) lim x 是否存在? ( x, y)→(0,0) x+ y
解: 利用 ln(1+ x y) ~ x y
xy ln(1+ xy) = lim lim x ( x, y)→(0,0) x + y (x, y)→(0,0) x + y
(最值定理)
(3) 对任意
Q∈D,
(介值定理)
* (4) f (P) 必在D 上一致连续 . (一致连续性定理) (证明略)
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例4.求 .
( x, y)→(0,0)
lim
x y +1 1 . xy
解: 原式
= lim
( x, y)→(0,0)
1 1 = x y +1 +1 2
例5. 求函数 f (x, y) = 解:
O
O
x
y
其图形是四维空间上的图形.
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三,多元函数的极限
定义2. 定义 设 n 元函数 f (P), P∈D Rn , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 ε , 总存在正数δ , 对一 切 P∈D ∩U(P , δ) , 都有 0 记作
P→P 0
x→0 y→0
显然
lim lim f (x, y) = 0,
例2
但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
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四, 多元函数的连续性
定义3 定义 . 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚 P ∈D, 点0 如果存在
P→P 0
lim f (P) = f (P ) 0
点0 则称 n 元函数 f (P) 在 P 连续, 否则称为不连续, 此时
P→P 0
lim f (P) = f (P ) 0
2) 闭域上的多元连续函数的性质: 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
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练习题 1. 设 解法1 解法 令
求
y2 u = , v = xy x 2 y2 y 2 = 2 +y f ( , x y) = x x
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2
取 y = xα x
1, 2 3α = lim(x x ) = 0 , x→0 ∞,
所以极限不存在.
α >3
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3. 证明 在全平面连续. 证: 又 为初等函数 , 故连续.
0≤
xy x2 + y2
由夹逼准则得
= f (0,0)
故函数在全平面连续 .
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则称 A 为函数
lim f (P) = A (也称为 n 重极限)
当 n =2 时, 记 ρ = PP = (x x0 )2 + ( y y0 )2 0 二元函数的极限可写作:
ρ →0
lim f (x, y) = A 或
( x, y)→( x0 , y0 )
lim
f (x, y) = A
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故
r 1 cos r ~ 2
2
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4
结束
注. 二重极限
f (x, y) 与累次极限 lim lim f (x, y) ( x, y)→( x , y ) lim
0 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x→x0 y→y0
不同. 不同 *如果它们都存在, 则三者相等. . *仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. 例如, 例如
称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 连续.
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xy , 2 2 x + y ≠0 2 2 f (x, y) = x + y 2 2 0 , x + y =0 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
又如, 又如, 函数
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(2) 聚点 若对任意给定的δ , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 聚点. 称 P 是 E 的聚点 聚点 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) *所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . 导集
E
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(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点,则称 E 为开集; E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ; 若点集 E E , 则称 E 为闭集; 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域. . D .
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二,多元函数的概念
引例: 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强
r
h
三角形面积的海伦公式
b
a
c
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定义1. 定义 设非空点集 在 D 上的 n 元函数 , 记作
映射
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 { u u = f ( P) ,P∈ D} 定义域 称为函数的值域 . 值域 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数
一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意: 善于类比, 举一反三. 注意 善于类比 举一反三.
第一节 多元函数的基本概念
一,平面点集 二,多元函数的概念 三,多元函数的极限 四,多元函数的连续性
第九章
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一, 平面点集
1. 邻域 点集 例如, 例如,在平面上,
2 2
故
( x, y)→(0,0)
lim
f (x, y) = 0.
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若当点 P(x, y)以不同方式趋于 P (x0 , y0 ) 时 函数 , 0 则可以断定函数极限 趋于不同值或有的极限不存在, 不存在 .
xy 例2. 讨论函数 f (x, y) = 2 2 在点 (0, 0) 的极限. x +y 解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有 2 kx k lim f (x, y) = lim 2 2 2 = ( x, y)→(0,0) x→0 x + k x 1+ k 2 y=kx
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整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ; 点集 { (x, y) x >1 是开集, } 但非区域 .
y
1O 1
x
对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P∈D 与某定点 A 的距离 AP≤ K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无 无 有界域 界域 .
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1 例1. 设 f (x, y) = (x + y )sin 2 2 x +y lim 求证: ( x, y)→(0,0) f (x, y) = 0.
2 2
(x2 + y2 ≠ 0)
要证
证:
<ε
∴ ε > 0, δ= ε , 当0 < ρ = x2 + y2 < δ时 总有 ,
≤x +y
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例如, 二元函数 z = 1 x y
2
2
z
O x
z
定义域为 圆域 { (x, y) x2 + y2 ≤1} 图形为球心在原点的上半球面.
1 y
又 , z = sin(xy) , (x, y) ∈R2 如
说明: 说明 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ∈ D 的图形一般为空间曲面 ∑ . 三元函数 u = arcsin( x2 + y2 + z2 ) 定义域为 单位闭球
�
arcsin(3 x2 y2 ) x y
2
的连续域.
3 x2 y2 ≤1
x y2 > 0 2 2 2≤ x + y ≤4 2 x> y
y
O
2 2
x
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内容小结
1. 平面点集 邻域 : U(P , δ) , U(P , δ) 0 0 区域 连通的开集 Rn空 间 2. 多元函数概念 n 元函数 u = f (P) = f (x1, x2 ,, xn )
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例如, 例如,在平面上 { (x, y) x + y > 0 } { (x, y) 1 < x2 + y2 < 4 } { (x, y) x + y ≥ 0} { (x, y) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 } 闭区域 开区域
y
O y O 1 2x
x
y
O
y
x
O 1 2x
0 < PP < δ 0
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2. 区域 (1) 内点,外点,边界点 设有点集 E 及一点 P : 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , 则称 P 为 E 的内点 内点; 内点 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = , 则称 P 为 E 的外点 ; 外点
E
若对点 P 的任一 任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 任一 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 边界点 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
例如, 例如 函数
在圆周 x2 + y2 =1上间断. 结论: 结论 一切多元初等函数在定义区域内连续.
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闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质: 定理:若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 定理
(有界性定理)
(2) f (P) 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;
P∈D Rn
常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数
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3. 多元函数的极限
P→P 0
lim f (P) = A
ε > 0, δ > 0, 当 < PP < δ 时, f (P) A < ε 有 0 0
4. 多元函数的连续性 1) 函数 f (P) 在P 连 续 0 有界定理 ; 最值定理 ;
k 值不同极限不同 !
故 f (x, y)在 (0,0) 点极限不存在 .
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例3. 求
此函数定义域 不包括 x , y 轴
2 2 2 2 2 解: 因 x y ≤ 1 (x + y ) ,令 r 2 = x2 + y2 , 则 4
4(1 cos r 2 ) ≥ r6
4(1 cos r 2 ) 2 r4 而 lim = lim 6 = ∞ r →0 r→0 r r6
PP < δ 称为点 P0 的δ 邻域. 邻域. 0
U( P , δ ) = {(x, y) 0
在空间中, U( P ,δ ) = {(x, y, z ) 0
} (圆邻域) }
(球邻域)
说明: 说明:若不需要强调邻域半径δ ,也可写成 U( P ). 0 点 P0 的去心邻域 去心邻域记为 去心邻域
1.
设
求
解法2 解法 令
v2 f ( , uv) u v2 f ( , uv) = u
即
y2 2 +y 2 x
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2.
ln(1+ xy) lim x 是否存在? ( x, y)→(0,0) x+ y
解: 利用 ln(1+ x y) ~ x y
xy ln(1+ xy) = lim lim x ( x, y)→(0,0) x + y (x, y)→(0,0) x + y
(最值定理)
(3) 对任意
Q∈D,
(介值定理)
* (4) f (P) 必在D 上一致连续 . (一致连续性定理) (证明略)
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例4.求 .
( x, y)→(0,0)
lim
x y +1 1 . xy
解: 原式
= lim
( x, y)→(0,0)
1 1 = x y +1 +1 2
例5. 求函数 f (x, y) = 解:
O
O
x
y
其图形是四维空间上的图形.
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三,多元函数的极限
定义2. 定义 设 n 元函数 f (P), P∈D Rn , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 ε , 总存在正数δ , 对一 切 P∈D ∩U(P , δ) , 都有 0 记作
P→P 0
x→0 y→0
显然
lim lim f (x, y) = 0,
例2
但由例2 知它在(0,0)点二重极限不存在 .
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四, 多元函数的连续性
定义3 定义 . 设 n 元函数 f (P) 定义在 D 上, 聚 P ∈D, 点0 如果存在
P→P 0
lim f (P) = f (P ) 0
点0 则称 n 元函数 f (P) 在 P 连续, 否则称为不连续, 此时
P→P 0
lim f (P) = f (P ) 0
2) 闭域上的多元连续函数的性质: 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
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练习题 1. 设 解法1 解法 令
求
y2 u = , v = xy x 2 y2 y 2 = 2 +y f ( , x y) = x x
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2
取 y = xα x
1, 2 3α = lim(x x ) = 0 , x→0 ∞,
所以极限不存在.
α >3
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3. 证明 在全平面连续. 证: 又 为初等函数 , 故连续.
0≤
xy x2 + y2
由夹逼准则得
= f (0,0)
故函数在全平面连续 .
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则称 A 为函数
lim f (P) = A (也称为 n 重极限)
当 n =2 时, 记 ρ = PP = (x x0 )2 + ( y y0 )2 0 二元函数的极限可写作:
ρ →0
lim f (x, y) = A 或
( x, y)→( x0 , y0 )
lim
f (x, y) = A
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故
r 1 cos r ~ 2
2
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注. 二重极限
f (x, y) 与累次极限 lim lim f (x, y) ( x, y)→( x , y ) lim
0 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x→x0 y→y0
不同. 不同 *如果它们都存在, 则三者相等. . *仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. 例如, 例如
称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 连续.
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xy , 2 2 x + y ≠0 2 2 f (x, y) = x + y 2 2 0 , x + y =0 在点(0 , 0) 极限不存在, 故 ( 0, 0 )为其间断点.
又如, 又如, 函数
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(2) 聚点 若对任意给定的δ , 点P 的去心 邻域 内总有E 中的点 , 则 聚点. 称 P 是 E 的聚点 聚点 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) *所有聚点所成的点集成为 E 的导集 . 导集
E
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(3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点,则称 E 为开集; E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ; 若点集 E E , 则称 E 为闭集; 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通的 ; 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 开区域连同它的边界一起称为闭区域. . D .
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二,多元函数的概念
引例: 引例: 圆柱体的体积 定量理想气体的压强
r
h
三角形面积的海伦公式
b
a
c
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定义1. 定义 设非空点集 在 D 上的 n 元函数 , 记作
映射
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 { u u = f ( P) ,P∈ D} 定义域 称为函数的值域 . 值域 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数