工程中的计算方法课件6 数值积分
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6 数值积分
如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且原函数为)(x F ，则可用牛
顿―莱布尼兹公式：)()()(a F b F dx x f b
a
-=⎰计算定积分。然而很多函数
无法用牛顿―莱布尼兹公式求定积分。
一个简单被积函数，例如错误!未找到引用源。dx cx bx a ⎰++2，其不定积分可能很复杂，见下面的MA TLAB 实例： >> syms a b c x
>> int(sqrt(a+b*x+c*x*x),x)
ans=1/4*(2*c*x+b)/c*(a+b*x+c*x^2)^(1/2)+1/2/c^(1/2)*log((1/2*b+c*x )/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*a-1/8/c^(3/2)*log((1/2*b+c*x)/c^(1/2)+(a+b*x+c*x^2)^(1/2))*b^2
所以有必要研究简单、高效的计算定积分的方法（即数值积分方法）。数值积分的基本思想是构造一个简单函数)(x P n 来近似代替被积分函数)(x f ，然后通过求⎰b
a n dx x P )(得⎰b
a dx x f )(的近似值。
6.1 插值型求积公式
设⎰=b
a dx x f I )(*
，插值型求积公式就是构造插值多项式)(x P n ，使
⎰=≈b
a
n dx x P I I )(*。
构造以a ，b 为结点的线性插值多项式)()()(1b f a
b a
x a f b a b x x P --+--=
，[])()()(21)()()(1b f a f a b dx b f a b a x a f b a b x dx x P T b a b a +-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+--==⎰⎰称为梯形公式。
以a,
2b
a c +
=，b
为三个插值节点，构造二次插值多项式
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
)
)(
(
)
)(
(
)
(
2
b
f
c
b
a
b
c
x
a
x
c
f
b
c
a
c
b
x
a
x
a
f
b
a
c
a
b
x
c
x
x
P
-
-
-
-
+
-
-
-
-
+
-
-
-
-
=，则可以推出
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
2
b
f
c
f
a
f
dx
x
P
S b
a
λ
λ
λ+
+
==
=⎰，)
(
6
1
)
)(
(
)
)(
(
a
b
dx
b
a
c
a
b
x
c
x
b
a
-
=
-
-
-
-
=⎰
λ，
)
(
6
4
)
)(
(
)
)(
(
1
a
b
dx
b
c
a
c
b
x
a
x
b
a
-
=
-
-
-
-
=⎰
λ，)
(
6
1
)
)(
(
)
)(
(
2
a
b
dx
c
b
a
b
c
x
a
x
b
a
-
=
-
-
-
-
=⎰
λ。由此得公式：[])(
)
(
4
)
(
6
b
f
c
f
a
f
a
b
S+
+
-
=，称为辛卜生（Simpson）求积公式。
(a)梯形公式(b)辛卜生公式
图6.1 梯形公式和辛卜生公式
根据经典拉格朗日插值公式)
(
)
(
)
(
k
n
k
k
n
x
f
x
l
x
P∑
=
=，代入求定积分则有)
(
)
)
(
(
)
(
)
(
k
n
k
b
a k
k
n
k
b
a k
x
f
dx
x
l
dx
x
f
x
l
I∑⎰
∑⎰
=
=
=
=，引入记号dx
x
l b
a k
k
)
(
⎰=
λ，)
(
k
n
k
k
x
f
I∑
=
=λ，
k
λ为求积系数，
k
x为求积节点。注意：（1）积分结果为函数值的一个代数和，（2）a
b
dx
x
l
n
k
b
a k
-
=
∑⎰
=0
)
(。
如果积分区间比较大，直接使用上述求积公式难以保证计算精度。通常采取复化求积方法提高计算精度：
（1）等分求积区间，比如取步长
n
a
b
h
-
=，将],[b
a分为n等份，分割