高中数学利用相关点法巧解对称问题专题辅导

高中数学利用相关点法巧解对称问题

尤新建

对称问题在高考试题中经常出现，常见的有中心和轴对称两种。尽管试题年年翻新，情境不断变化，甚至不落俗套，但经研究可以发现，其解法的普遍规律还是可以归纳总结的。笔者认为，图象对称的原始基础是图象上点与点之间的对称，因此，抓住对称点之间的数量关系及其内在联系，可将几何对称语言转化为代数坐标、方程语言。代数化地展开研究是解决对称问题的有效方法，亦简称相关点法。下面通过一些实例加以说明。

一. 函数中的对称问题

例1 （2001年高考）设y f x =()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称。证明y f x =()是周期函数。

证明：设（x ，y ）为y f x =()图象上任意一点，则其关于x =1的对称点可求得：(,)2-x y ，于是根据函数关系有：y f x f x ==-()()2，又因为y f x =()是定义在R 上的偶函数，故有：f x f x ()()=-，因此结合上式有：f x f x f x ()()()=-=-2，故由f x f x ()()-=-+2知：y f x =()是周期函数，T =2。

例 2 （1997年高考文）设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f x =-()1与f f x =-()1的图象关于（ ）

A. 直线y =0对称

B. 直线x =0对称

C. 直线y =1对称

D. 直线x =1对称

解：可设（x 1，y ）为y f x =-()1上任意一点，则有y f x =-()11；

若（x 2，y ）为y f x =-()1上一点，也有y f x =-()12，一般地，由

f x f x ()()1211-=-可知：x x 1211-=-，所以x x 1

22

1+=，即（x 1，y ）与（x 2，y ）关于直线x =1对称，故选（D ）。

评注：例1是一个函数图象本身内在对称问题，例2是两个函数图象之间的对称问题，尽管问题情境不同，但解法有相通之处，均可抓住对称点（即相关点）加以讨论。

二. 三角函数中的对称问题

例3 （2003年高考江苏卷）已知函数f x x ()sin()(,)=+>≤≤ωϕωϕπ00是R 上的偶函数，其图象关于点M (

,)340π对称，且在区间02,π⎡⎣⎢⎤⎦

⎥上是单调函数，求ϕω和的值。 解：由f x ()是偶函数，得f x f x ()()-=

即sin()sin()-+=+ωϕωϕx x

所以-=cos sin cos sin ϕωϕωx x

对任意x 都成立，且ω>0，所以得

cos ϕ=0 依题设0≤≤ϕπ，所以解得ϕπ

=2，这时f x x ()sin()=+ωπ

2

由y f x =()的图象关于点M 对称，可设P （x ，y ）是其图象上任意一点，P 点关于M (

,)340π的对称点可求得为：(,)32

π--x y 即有y f x f x ==--()()32π，（*）

取x ＝0，得f f ()(

)032=-π，所以，sin sin()ππωπ23221=-+= 所以sin()322

1πωπ+=- 所以ω=-=23

21123(),,,...k k 当k =1时，ωππ==+⎡⎣⎢⎤⎦

⎥2323202,()sin(),f x x 在上是减函数； 当k =2时，ωπ==+

222,()sin()f x x 在02,π⎡⎣⎢⎤⎦

⎥上是减函数； 当k ≥2时，ωωππ≥=+⎡⎣⎢⎤⎦

⎥103202,()sin(),f x x 在上不是单调函数； 所以，综合得ωω==232或 评注：本题是三角函数中含有中心对称问题，抓住对称点之间的中心对称关系，利用中点坐标公式求出对称点（或称相关点），寻求两相关点（对称点）之间的函数等量关系（见*）是解决问题的关键。

三. 解析几何中的对称问题

例4 （1998年高考理）设曲线C 的方程是y x x =-3，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1

（I ）写出曲线C 1的方程；

（II ）证明曲线C 与C 1关于A t s (,

)22

点对称； （I ）解：曲线C 1的方程为：

y x t x t s =---+()()3

（II ）证明：在曲线C 上任取一点B 1（x 1，y 1）。设B 2（x 2，y 2）是B 1关于点A 的对称点，则有：

x x t y y s 12122222

+=+=, 所以x t x y s y 1212=-=-, 代入曲线C 的方程，得x 2和y 2满足方程：

s y t x t x y x t x t s

-=---=---+22322232()()

()()即

可知点B x y 222(,)在曲线C 1上 反过来，同样可以证明，在曲线C 1上的点关于点A 的对称点在曲线C 上。因此，曲线C 与C 1关于点A 对称。

例5 （1997年高考文）椭圆C 与椭圆C 1：()()x y -+-=3924

122

关于直线x y +=0对称，椭圆C 的方程是（ ） A. ()()x y +++=2439122 B. ()()x y -+-=2934

122

C. ()()x y +++=2934122

D. ()()x y -+-=2439

122

解：设（x ，y ）是椭圆C 上任意一点，则其关于直线x y +=0的对称点可求得为(,)--y x ，该点在椭圆C 1上，故其坐标适合椭圆C 1的方程，将其代入有：()()--+--=y x 3924

122

，化简后知选A 。 从以上几个方面的研究可以发现，相关点法是解决数学对称问题的有效方法，因为它抓住了图象对称的基本元素（即图象上点与点之间的一一对应的对称关系）和核心，并且将几何问题代数化的基本数学思想得到很好地体现运用。此外，相关点法在解决几何中才被得以提出并加以运用于解决对称问题，这一点从例4，例5可以感觉到，实际上，函数及三角函数中的对称与解析几何中的对称是相通的，因此，相关点法完全可以加以推广，实行方法共享。

哈尔滨师范大学（150080）