《有理数》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《有理数》全章复习与巩固(提高）知识讲解

【学习目标】

1．理解正负数的意义,掌握有理数的概念.

2.理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算.

ﻫ3．学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识.

4．理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用;

5. 体会数学知识中体现的一些数学思想.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、有理数的相关概念

1．有理数的分类:

(１）按定义分类: （２)按性质分类:

要点诠释:(1）用正数、负数表示相反意义的量;

作用举例

表示数的性质0是自然数、是有理数

２．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线. 要点诠释：（１）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来,数轴上的点不都表示的是有理数，如π．

(2)在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.

3.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数,0的相反数是0. 要点诠释：（1)一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧,并且到原点的距离相等,这两点是关于原点对称的.

（2）求任意一个数的相反数,只要在这个数的前面添上“-”号即可. （3)多重符号的化简:数字前面“-”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，

若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （１）代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数；０的绝对值是０． 数a 的绝对值记作a ．

(2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离. 要点二、有理数的运算 1 ．法则：

(1）加法法则:①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加,仍得这个数.

（2)减法法则:减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a ＋(-b) .

（3）乘法法则:①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.②任何数同０相乘,都得0．

(4）除法法则：除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·1b

（b≠０) ． (5)乘方运算的符号法则:①负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数,０的任何非零次幂都是0.

(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除,最后加减;②同级运算,从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用:

(1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数,例如:-[－(-３）]=-3,

－[+（－３）]＝3．

(2)有理数乘法,当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中

积的符号，例如：(-3)×(-2)×(-6)＝－36,而(-3)×（－2)×６＝36．

(3）有理数乘方,这里奇偶指的是指数,当底数为负数时，指数为奇数,则幂为负;指数为

偶数,则幂为正,例如: 2

(3)9-=, 3

(3)27-=-.

2.运算律:

(1)交换律: ① 加法交换律：a+b=b+ａ; ②乘法交换律：ａb=ba ；

(2）结合律: ①加法结合律: (ａ+ｂ)＋c=a ＋(b+c); ②乘法结合律：（ab ）c ＝ａ（b ｃ)

(3）分配律：ａ(ｂ＋c)=ａb ＋ａc 要点三、有理数的大小比较

比较大小常用的方法有:（1）数轴比较法；(２）法则比较法:正数大于0,０大于负数，正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小；（3) 作差比较法.(4)作商比较法;(5)倒数比较法．

要点四、科学记数法、近似数及精确度

1.科学记数法：把一个大于10的数表示成10n

a ⨯的形式(其中110a ≤<，n 是正整数)，此种记法叫做科学记数法．例如:2０0 000=5

210⨯.

2.近似数：接近准确数而不等于准确数的数,叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为630０㎞,这里的6300㎞就是近似数.

要点诠释:一般采用四舍五入法取近似数,只要看要保留位数的下一位是舍还是入．

3.精确度:一个近似数四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位,精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度. 要点诠释：

(1)精确度是指近似数与准确数的接近程度.

（２)精确度有两种形式:①精确到哪一位.②保留几个有效数字．这两种的形式的意义不一样,一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小,例如精确到0.1米,说明结果与实际数相差不超过0.05米,而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【典型例题】

类型一、有理数相关概念

1．已知x 与y 互为相反数，m 与ｎ互为倒数,|ｘ＋y |+（ａ-1）2＝0，求a ２

-(ｘ+y ＋

mn)a+(x+y)2０09+（－mn)2０

10的值． 【思路点拨】（1)若有理数ｘ与y 互为相反数,则x+ｙ=0,反过来也成立. (2)若有理数m 与n 互为倒数,则mn ＝1，反过来也成立． 【答案与解析】

解：因为x 与ｙ互为相反数,m 与ｎ互为倒数,（a-1)２

≥０, 所以x+y=0,ｍn=1,a=1，

所以a 2－(ｘ+y ＋mn)a+(x ＋y)2０0９

+(-ｍｎ)2010

=a 2－(0+1）a ＋0200９+(－1)２０１0

=ａ2-a+1．

∵a=1,∴原式=12-1+１＝１

【总结升华】要全面正确地理解倒数,绝对值,相反数等概念． 举一反三：

【高清课堂：有理数的复习与提高 357129 复习例题2】

【变式１】选择题 （1)已知四种说法：

①|a|=ａ时,ａ>０;|a ｜=-a 时, a <0． ②|a｜就是a 与-a 中较大的数.