相对论力学

2 27 16 12
1kg这种核燃料所释放的能量为：
E 2.799 1012 14 3 . 35 10 J/kg 27 m1 m 2 8.3486 10
这相当于同质量的优质煤燃烧所释放热量的1千多 万倍！
五、能量与动量的三角形关系
E mc2
p＝mv
m
m0 1 v2 c2

2

四、质能关系
总能量 动能 静止能量
2
EK mc m0c
2
2
E mc 为粒子以速率v 运动时的总能量
EK E E0
动能为总能和静能之差。
结论：一定的质量相应于一定的能量，二者 的数值只相差一个恒定的因子 c2 。
E mc
2
为相对论的质能关系式
按相对论思维概念，几个粒子在相互作用过 程中，最一般的能量守恒应表示为：
v x vx V ; v y v y ; vz vz
还原为伽利略速度变换 — 对应原理.
(3). 当
v c
S
c V c V v V V 1 2 c 1 c c
c
S
若 V c
V c
v c
x x
cc 2c v c c 1 2 c 11 c
碰后合成粒子的总动量为： M V M vi
M'可以通过能量守恒求出：
M c m Ac mB c m0 c
2 2 2 2
m0 v 1 － B2 c
2
c2
M m0 1
m0 2m0 2 v vB 1 2 1 2 c c
3.125 107 s
t 1 u2 c 2
只有当x 0 才有t
正确解法一、 宇宙飞船 S'
地球S
t 60m 0.8c 2.50 107 s
宇宙飞船上的人从尾部向前面的靶子子弹,此人 测得飞船长60m： x 60 m
t 4.625 10 7 s
可见
M0 2m0
M0 2m0
特别注意！运动质量守恒，静止质量 不守恒！
M m A mB
M m A0 mB 0
在该题中设有S’系 以速度 u vi 运动，证明在此 参照系中A、B在碰撞前后动量守恒。
证明：用速度变换可以得到
2v v v i A 0 B 2 v 1 2 c 合成粒子的速度： V＝－v i
2 E ( m c i i ) 常量 i i
m
i
i
常量
表示质量守恒
能量守恒 质量守恒
历史上： 独立 相对论中： 统一
放射性蜕变、原子核能（反应）的可证明。
核反应中：
反应前： 反应后： 静质量 m01 静质量 m02 总动能EK1 总动能EK2
2 2 m c E m c EK 2 能量守恒： 01 K1 02
E2 ＝P 2c 2 m02c 4
相对论的动量能量关系式
E
m0c2
Pc
质量丧失了惯性方面的含义，几乎成了能量 的同义词。一个电子和一个正电子遇到一起， 可以湮没，变成两个光子，这是静质能全部 转化为动能的例子。
全面讨论光子
m0 0
E h P c c
E Pc
又 E mc
2
E m 2 c
1908年德国 布 歇勒做出了质量 与速度的关系。 有力地支持了相 对论
v 4.当 1, m m0 过渡为经典牛顿力学。 c 宏观物体一般 v ~104m/s, 此时：
m m0 1 1 2 1 5.6 1010 m0 2 1 2
微观粒子速率接近光速,如中子v=0.98c时 m 5.03m0
p
m0 v 1 v2 c2
m
m0 1 v2 c2
结论: 1.动量守恒定律具有洛伦兹变换下的不变性. 2. 相对论质量与运动速率有关，是相对量。
质速关系已被实验证实.
3. 相对论动力学基本方程 dv d mv F ma m dt dt dp 牛二的微分形式 F dt 具有普遍意义!
V ＝－vi
可见：
M V m A v A mB v B
可见在S'系中动量守恒的表达式形式与S系中相同。 同时证明动量守恒的不变性和能量守恒的不变性是 相互联系在一起的。
3 4 1 H ＋ H He 例:在一种热核反应 2 1 1 2 0 n 中各种粒子
注意: (1).
vy vx V V2 vx vy 1 2 V V c 1 2 vx 1 2 vx c c 当 vx v ; v y vz 0.
vz
v V v V v 或 v V V 1 2 v 1 2 v c c (2).当 V c ; v x c
两边求微分:
2mc2dm 2mv2dm 2m 2 vdv 0
c dm v dm mvdv
2 2
注意：形式与 经典不同
E K m c 2 dm mc2 m0 c 2 0
即相对论动能公式。
m
1 v2 1 v2 1 2 1 2 当v <<c时: 2 2c 2c v 1 2 c 1
的静止质量为： 氘核：m =3.3437×10-27kg 1
氚核：m2=5.0049×10-27kg
氦核：m3=606425×10-27kg
中子：m4=1.6750×10-27kg
求这一热核反应释放的能量是多少？
解：核反应中：EK 2 EK 1 (m01 m02 )c 2
核反应中释放的能量相应于一定的质量亏损：
建立相对论的动力学：
力学量重新定义的准则：
符合对应原理
尽量保持基本的守恒定律
逻辑上的自洽
二、相对论的动量和质量
F 持续作用
P 持续
但v 的上限是 c 质量的表达式 猜想形式？
因此要求m 随速率 增大而增大m m( v ) 质速关系
m
m0 1 v c
2 2
1901 W.Kaufmann 高速电子的荷质比随 速度的增大而减小 有力地支持了相对论 v/c
因此：
EK 2 EK 1 ( m01 m02 )c 2
总静止质量的减小 质量亏损
总动能增量
2
E m0c 核反应中释放的能量相应于一定
的质量亏损。
例1、在S参照系中有两个静止质量均为m0的粒子A、
B 。分别以速度 v A vi ， v B vi 相向运动，相撞 后合在一起成为一个静止质量为M 0的粒子。求M 0 。
h 2 c
总结：几个粒子在相互作用过程中
能量守恒： Ei
i
2 ( m c i ) 常量 i
质量守恒 动量守恒
m
i
i
常量
能量守恒 质量守恒 统一
mi v i 常量
i
动量守恒的不变性和能量守恒的不变性是相互联 系在一起的。
E m0c
2
解：质量亏损为：
m1 m2 m3 m4
m0 ( m1 m2 ) ( m3 m4 )
( 3.3437 5.0049 ) ( 6.6425 1.6750 ) 1027 0.0311 10 27 k g
相应释放的能量为：
E＝m0c 0.031110 9 10 2.79910 J
解：设合成粒子质量M、速度V
。 由动量守恒
mB v B mA v A MV
mA0 mB0 vA vB mA mB
vA vB V 0 M M0
据能量守恒：
Mc2 M0c 2 mAc 2 mBc 2
即：
M0 ＝m A mB
2m0 v2 1 2 c
幂级数
1 1 1 3 2 2 21 3 5 3 则：E mc K 1 x m x 0c x 2 22 4 246 1 x v 2 2 m0 1 c m c 0 2 2c m0 2 2 2 m0 c v m0 c 2
光速是物体运动的极限速度!
例:高速宇宙飞船上的人从尾部向前面的靶子发射
高速子弹,此人测得飞船长60m,子弹的速度是0.8c。 求: 当飞船相对地球以0.6c运动时,地球上的观察者 测得子弹飞行的时间是多少?
解:
飞船人测子弹飞行时间 t 60m 0.8c 2.50 107 s
t × t 1 u2 c 2
解法2:
先求子弹对地球 的速度.源自文库
v x u vx u 1 2 v x c
0.8c 0.6c 0.946c 0.6c 1 2 0.8c c
飞船上的两事件对于地球的空间间隔
131 .25m
60m !!!
不收缩！
x 131.25m t 4.625 107 s vx 0.946c
1 2 m0v 2
又回到了牛顿力学的 动能公式。
根据
v 1 2 c 可以得到粒子速率由动能表示的关系为：
EK
m0
2
c m0 c
2
2
v2
表明：当粒子的动能由于力对其做功而增大时，速率
也增大。但速率的极限是c 。
理论自洽
EK 2 c 1 1 m c2 0
5. 当
v c m0 0
静止质量为零的粒子只能以光速运动 光子 静止的光子不存在 不可以选光子为参考系 6. 若 v > c—虚质量 无意义! C 是极限速度!
三、相对论动能
用力对粒子作功计算粒子动能的增量，并用EK表 示粒子速率为v 时的动能，则有 r r d ( mv ) mv E K 0 F dr 0 dr 0 v d( mv ) dt
v d( mv ) mv dv v v dm mvdv v 2dm
m m0 v2 1 2 c
2 v 2 2 m 1 c2 m0
m c m v m c
2 2 2 2
2 2 0
m2c 2 m2v2 m02c 2
本讲主要内容
一、洛伦兹速度变换
二、相对论的动量和质量 三、相对论动能 四、质能关系 五、能量与动量的三角形关系
一、洛伦兹速度变换
考虑一个质点相对与S 系的速度为v,则它相对于S系 的速度v是多少？
正变换 逆变换 vx V v v x V x v V x V 1 2 vx 1 v x 2 c c vy 2 V2 v V y v y 1 2 v 1 2 V y c V c 1 2 vx 1 v x c c2 2 vz V2 v V z vz 1 2 v 1 2 z V c V c 1 2 vx 1 2 v x c c
碰前总动量为：
m A v A mB v B 0
2v i 2 v v B 1 1 2 c2 c m0
v2 1 2 2 v B c 1 2 前已证明： v2 c 1 2 c 2 m0 v i 所以： m Av A mB vB 2 v 1 － 2 c