节点电压法

i1 =
5V 4V = 1A 1
i2 =
4V 10V = 3A 2
例4 用结点电压法求图示电路的节点电压。
解：选定6V电压源电流i的参考方向。计入电流变量I 列出 两个结点方程：
(1S)u1 + i = 5A (0.5S)u2 i = 2A
补充方程
u1 u 2 = 6V
解得
u1 = 4V, u 2 = 2V, i = 1A
从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程， 从上可见，由独立电流源和线性电阻构成电路的节点方程，其 系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。 系数很有规律，可以用观察电路图的方法直接写出结点方程。 由独立电流源和线性电阻构成的具有n个结点的电路， 由独立电流源和线性电阻构成的具有 个结点的电路，其节点 个结点的电路 方程的一般形式为： 方程的一般形式为：
i1 + i4 + i5 = iS1 i2 i5 + i6 = 0 i3 i4 i6 = iS 2
i1 + i4 + i5 = iS1 i2 i5 + i6 = 0 i3 i4 i6 = iS 2
列出用结点电压表示的电阻 VCR方程：
代入KCL方程中，经过整理后得到：
当电路中含有无伴电压源或受控源时的处理: 当电路中含有无伴电压源或受控源时的处理
1.对含有无伴电压源支路的电路的处理:(1)选取电压源“-”联 接的节点作为参考点，“+”端联接的节点电压等于电压源的电压， 为已知量。不再列出该节点的节点电压方程。（2）将电压源支路 的电流作为未知量，视为电流源电流，计入相应的节点电压方程 中。 2。对含有受控源的电路，将受控源视为独立电源，列写节点 电压方程，然后将受控源的控制量用节点电压表示，计入节点电 压方程中。
对只含有两个节点的电路, 其节点电压可表示为 U ∑ S Un1 = R 或 1 ∑ R ∑( GU S ) = Un1 ∑G
上式称为弥尔曼定理。 上式称为弥尔曼定理。分子表示电流源电流或等效电流 源电流代数和。 源电流代数和。分母表示独立节点连接的各支路的 电导之和。 电导之和。电流源电流或等效电流源电流参考方向 指向独立节点取“ ，反之取“ 。 指向独立节点取“+”，反之取“-”。
i1 = (1S)u1 = 1A i2 = (2S)u2 = 6A i = (1S)(u u ) = 4A 1 2 3
例2.用节点电压法求图示电路各支路电压。
解: 参考节点和节点电压如图所示。列出三个结点方程：
(2S + 2S + 1S)u1 (2S)u 2 (1S)u 3 = 6A 18A (2S)u1 + (2S + 3S + 6S)u 2 (6S)u 3 = 18A 12A (1S)u1 (6S)u 2 + (1S + 6S + 3S)u 3 = 25A 6A
例3. 用节点电压法求图 (a)电路的电压u和支路电流i1，i2。
解：先将电压源与电阻串联等效变换为电流源与电阻并联， 如图(b)所示。对节点电压u来说 ，图(b)与图(a)等效。只需列 出一个节点方程。
(1S + 1S + 0.5S)u = 5A + 5A
解得
u=
10A = 4V 2.5S
按照图(a)电路可求得电流i1和i2
四、弥尔曼定理：
对只含有两个节点的电路，如图所示，用观察法可列出一个独立 节点的电压方程：
( 1 R1 R 2 + 1 + 1 R3 + 1 R4 )U n1 = U S1 U S 2 U S 3 + + R1 R2 R3
整理得
U S1 U S 2 U S 3 + + R1 R2 R3 U n1 = 1 1 1 1 ( + + + ) R1 R 2 R3 R 4
3.3 节点电压法
一、节点电压法
个节点的电路(模型) 在具有 n 个节点的电路 (模型 ) 中 ， 可以选其中一个节点作为 参考点，其余( 个节点的电位，称为节点电压 节点电压。 参考点，其余(n-1)个节点的电位，称为节点电压。 节点电压的符号用Un1或Una等表示。 等表示。 以节点电压作为未知量，根据KCL KCL， 以节点电压作为未知量，根据KCL，列出对应于独立节点的 节点电流方程，然后联立求出各节点电压， 节点电流方程，然后联立求出各节点电压，再求出其它各支路 电压或电流的方法称为节点电压法 节点电压法。 电压或电流的方法称为节点电压法。
(1S + 1S)u1 (1S)u2 = 5A (1S)u1 + (1S + 2S)u2 = 10A
图2－28 － 整理得到：
2u1 u2 = 5V u1 + 3u2 = 10V
解得各节点电压为： 解得各节点电压为：
u1 = 1V
u 2 = 3V
选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得： 选定各电阻支路电流参考方向如图所示，可求得：
写成一般形式为
其中G 称为节点自电导 节点自电导， 其中 11、 G22、G33称为节点自电导，它们分别是各节点全部 电导的总和。 此例中 11= G1+ G4+ G5, G22= G2 + G5+ G6, G33= 电导的总和。 此例中G G3+ G4+ G6。 G i j ( i≠j )称为节点 i 和 j 的互电导 是节点 和j 间电导总和的负 称为节点 的互电导,是节点 是节点i 称为 此例中G 值。此例中 12= G21=-G5, G13= G31=-G4 , G23= G32=- G6。 iS11、iS22、iS33是流入该节点全部电流源电流的代数和。此例 是流入该节点全部电流源电流的代数和。 中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。
如图所示电路各支路电压可表示为:
u10=un1 u12=un1-un2 u23=un2-un3 u20=un2
u30=un3
节点电压法
二、结点方程
下面以图示电路为例说明如何建立结点方程。 下面以图示电路为例说明如何建立结点方程。
对电路的三个独立结点列出KCL方程： 方程： 对电路的三个独立结点列出 方程
整理得到:
5u1 2u2 u3 = 12V 2u1 + 11u2 6u3 = 6V u 6u + 10u = 19V 2 3 1
解得结点电压
u1 = 1V u2 = 2V u = 3V 3
求得另外三个支路电压为：
u 4 = u3 u1 = 4V u5 = u1 u 2 = 3V u = u u = 1V 3 2 6
例5 用节点电压法求图电路的结点电压。
解：由于14V电压源连接到结点①和参考结点之间，结点 ①的结点电压 u1=14V成为已知量，可以不列出结点①的结点方程。考虑到8V电压源电流i 列出的两个结点方程为：
(1S)u1 + (1S + 0.5S)u2 + i = 3A (0.5S)u1 + (1S + 0.5S)u3 i = 0
(1S)u1 + (1S + 0.5S)u2 + i = 3A (0.5S)u1 + (1S + 0.5S)u3 i = 0
补充方程
u 2 u 3 = 8V
代入u1=14V，整理得到：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1.5u2 + 1.5u3 = 24V u2 u3 = 8V
解得：
u2 = 12V u3 = 4V
i = 1A
用节点电压法求图2-28电路中各电阻支路电流。 电路中各电阻支路电流。 例1. 用节点电压法求图 电路中各电阻支路电流
用接地符号标出参考结点，标出两个节点电压u 解：用接地符号标出参考结点，标出两个节点电压 1和u2 的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程： 的参考方向，如图所示。用观察法列出结点方程：
三、节点电压法计算举例
结点分析法的计算步骤如下： 结点分析法的计算步骤如下： 1．选定参考结点 。 标出各节点电压 ， 其参考方向总是独 ． 选定参考结点。标出各节点电压， 参考结点为“ 立结点为 “ + ”，参考结点为“ － ” 。 2．用观察法列出全部(n-1)个独立节点的节点电压方程。 ．用观察法列出全部 个独立节点的节点电压方程。 个独立节点的节点电压方程 3．求解节点方程，得到各节点电压。 ．求解节点方程，得到各节点电压。 4．选定支路电流和支路电压的参考方向，计算各支路电 ．选定支路电流和支路电压的参考方向， 流和支路电压。 流和支路电压。 5.根据题目要求 计算功率和其他量等 根据题目要求,计算功率和其他量等 根据题目要求 计算功率和其他量等.