如何求解二次函数中的面积最值问题(教师版)

如何求解二次函数中的面积最值问题（教师版）

从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考．

如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

解答(1)抛物线解析式为

y＝－x2－2x＋3；

(2)Q(－1，2)；

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．

一、补形、割形法

几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一

如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3

方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3

（下略．）

二、“铅垂高，水平宽”面积法

如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的

“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1

2

ah，即三角形面积等于水平宽

与铅垂高乘积的一半．

根据上述方法，本题解答如下：

解如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3

∴点P坐标为（－3

2

，

15

4

）

三、切线法

若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法．解如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y ＝x＋b．

＝27

8

．

四、三角函数法

本题也可直接利用三角函数法求得．

解如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，怍PM⊥BC于点M．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3

则F(x，x＋3)．

从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解．如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力．同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神．

如果是求四边形面积，一般把它分割成两个三角形（一个定三角形和一个动三角形）来求。

实战演练

1.（2017临沭一模）26.（本题满分13分）如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点P在第一象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标；

（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

（第26题图）

2.（2015临沂）26.（本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，O 为原点，直线y =－2x －1与y 轴交于点A ，与直线y =－x 交于点B , 点B 关于原点的对称点为点C .

（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q .

①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标； ②若点P 的横坐标为t （－1＜t ＜1），当t 为何值时，四边形PBQC 面积最大，并说明理由.

（第26题图）

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