分式求值的常用技巧

分式求值的常用技巧

在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：

1、 应用分式的基本性质

例1 如果12x x

+=，则2421x x x ++的值是多少 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=.22221

1111

12131()1x x x x

===-+++-. 2、倒数法

例2 如果12x x

+=，则2421x x x ++的值是多少 解：将待求分式取倒数，得

42222221111()1213x x x x x x x

++=++=+-=-= ∴原式=13.

3、平方法

例3 已知12x x +=，则221x x

+的值是多少 解：两边同时平方，得

2222

1124,42 2.x x x x ++=∴+=-= 4、设参数法

例4 已知

0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc ac a b c

+-+-的值. 解：设235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===.

∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353

k k k k k k k k k k k ⨯+⨯⨯-⨯⨯==-+-- 例5 已知

,a b c b c a ==求a b c a b c

+--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===

∴3c ak bk k ck k k ck ==⋅=⋅⋅=，

∴31,1k k ==

∴a b c ==

∴原式= 1.a b c a b c

+-=-+ 5、整体代换法

例6 已知113,x y -=求2322x xy y x xy y

+---的值. 解：将已知变形，得

3,y x xy -=即3x y xy -=-

∴原式=2()32(3)333.()23255

x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+⨯-+-===----- 6、消元代换法

例7 已知1,abc =则

111

a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab

= ∴原式=1

11111a b ab ab a b ab b a ab ab

++++⋅++⋅++ 1111a ab ab a ab a a ab

=++++++++ 1 1.1ab a ab a ++==++ 7、拆项法

例8 若0,a b c ++=求111111()()()3a b c b c a c a b

++++++的值. 解：原式=111111()1()1()1a b c b c a c a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

111111111()()()a b c a b c a b c a b c

=++++++++ 111()()a b c a b c

=++++ 0a b c ++=∵ ∴原式=0.

8、配方法

例9

若11a b b c -=-=-求2221a b c ab ac bc ++---的值.

解：由11a b b c -=+-=得2a c -=.

∴2222a b c ab ac b ++---

2221

()()()2a b b c a c ⎡⎤=-+-+-⎣⎦

1

1202=⨯=

∴原式=1

6.

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