一次函数模型

3.2.2 一次函数模型

【教学目标】

1. 掌握正比例函数和一次函数的关系；理解并掌握一次函数的性质．

2. 培养学生数形结合研究函数性质的能力，渗透平移变换的数学思想．

3. 体验数学的严谨性，培养学生理性分析问题的良好习惯．

【教学重点】

一次函数的性质．

【教学难点】

对正比例函数和直线的关系的理解．

【教学方法】

这节课主要采用讲练结合法．先定义一次函数，对特殊的一次函数——正比例函数，则采用由曲线与方程的角度来描述正比例函数与直线的关系，然后再考察一次函数与正比例函数的关系，从而得出一次函数的图象也是一条直线的结论，并结合函数的单调性深入分析一次函数的性质，将学生初中对具体的一次函数的认识上升到一般的理性结论.

(2) 一次函数 y ＝k x ＋b 的图象与x ，y 轴的交点坐标是什么？ 结论 (1) 一次函数 y ＝kx ＋b 的图象与正比例函数 y ＝k x 图象的关系： 一次函数 y ＝kx ＋b 的图象是一条直线，我们称它为直线 y ＝kx ＋b ， 它可以看作由直线 y ＝kx 沿y 轴平移 |b | 个单位长度得到．(当 b ＞0时，向上平移；当 b ＜0时，向下平移．) (2) 一次函数 y ＝k x ＋b 的图象是过点(0，b )，(－b

k

，0)的一条直线．

练习1 指出下列直线是由哪个正比例函数的图象平移得到的，并求下列直线与 x 轴，y 轴的交点坐标． (1)直线 y ＝5 x ＋1； (2)直线 y ＝5x －3； (3)直线 y ＝x ＋5； (4)直线 y ＝x －3． 三、一次函数的单调性 当 k ＞0时，函数 f (x )＝kx ＋b 是增函数．当 k ＜0时，函数f (x )＝kx ＋b 是减函数．

例2 证明 一次函数f (x )＝kx ＋b (k ＞0)在(－∞，＋∞)上是增函数． 证明 设 x 1，x 2 是任意两个不相等的实数，因为 Δ x ＝x 2－x 1，而且 Δy ＝k x 2＋b －k x 1－b ＝k (x 2－x 1)＝k Δx ， 所以 Δy Δx ＝x

x k ∆∆＝k ＞0．

所以当 k ＞0时，函数 f (x )＝k x ＋b 在(－∞，＋∞) 上是增函数．

同理我们可以证明：当 k ＜0 时，函数 f (x )＝k x ＋b 在(－∞，＋∞) 上是减函数．

因为 y 是函数值的改变量，x 是自变量的改变量，所以由 y ＝k x 还可知：函数值的改变量与相应自变量的改变量成正比．

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