高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 不等式 3 三个正数的算术—几何平均不等式学案(含解析)
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3.三个正数的算术—几何平均不等式
1.定理3
如果a ,b ,c ∈R +,那么
a +
b +c
3
≥3
abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立,用文字语
言可叙述为:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
(1)不等式
a +
b +c
3
≥3
abc 成立的条件是:a ,b ,c 均为正数,而等号成立的条件是:
当且仅当a =b =c .
(2)定理3可变形为:①abc ≤⎝
⎛⎭
⎪
⎫a +b +c 33;②a 3+b 3+c 3≥3abc .
(3)三个及三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的,即“一正、二定、三相等”.
2.定理3的推广
对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即
a 1+a 2+…+a n
n
≥n
a 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.
用平均不等式证明不等式
已知a ,b +b +c -a a +c +a -b b +a +b -c
c
≥3. 欲证不等式的右边为常数3,联想到不等式a +b +c ≥33
abc (a ,b ,c ∈R +),故将所证不等式的左边进行恰当的变形.
b +
c -a a +c +a -b b +a +b -c
c
=⎝ ⎛⎭⎪⎫b a +c b +a c +⎝ ⎛⎭
⎪⎫c a +a b +b c -3 ≥33b a ·c b ·a c +33c a ·a b ·b c
-3
=6-3=3.
当且仅当a =b =c 时,等号成立.
(1)不等式的证明方法较多,关键是从式子的结构入手进行分析.
(2)运用三个正数的平均不等式证明不等式时,仍要注意“一正、二定、三相等”,在解题中,若两次用平均值不等式,则只有在“相等”条件相同时,才能取到等号.
1.已知x >0,y >0,求证:(1+x +y 2
)(1+x 2
+y )≥9xy . 证明:因为x >0,y >0,所以1+x +y 2
≥33xy 2>0,
1+x 2+y ≥33x 2y >0,故(1+x +y 2)(1+x 2
+y )≥33xy 2·33x 2y =9xy .
2.已知a 1,a 2,…,a n 都是正数,且a 1a 2…a n =1,求证:(2+a 1)(2+a 2)…(2+a n )≥3n
. 证明:∵a 1是正数,根据三个正数的平均不等式,有2+a 1=1+1+a 1≥33
a 1. 同理2+a j ≥3 3
a j (j =2,3,…,n ).
将上述各不等式的两边分别相乘即得(2+a 1)(2+a 2) (2)
a n )≥(33a 1)(33a 2)…(33a n )=3n ·3
a 1a 2…a n .
∵a 1a 2…a n =1,∴(2+a 1)(2+a 2)…(2+a n )≥3n
. 当且仅当a 1=a 2=…=a n =1时,等号成立.
用平均不等式求最值
(1)求函数y =(x -1)2
(3-2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1 (2)求函数y =x + 4 x -1 2 (x >1)的最小值. 对于积的形式求最大值,应构造和为定值. (2)对于和的形式求最小值,应构造积为定值. (1)∵1 2 ,∴3-2x >0,x -1>0. y =(x -1)2(3-2x )=(x -1)(x -1)(3-2x ) ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1+x -1+3-2x 33=⎝ ⎛⎭ ⎪⎫133=127, 当且仅当x -1=x -1=3-2x ,即x =43∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32时,y max =1 27. (2)∵x >1,∴x -1>0, y =x + 4x -12 =12(x -1)+12 (x -1)+4x -1 2 +1 ≥3 312 x -1·12 x -1· 4x -1 2 +1=4, 当且仅当12(x -1)=1 2(x -1)= 4 x -1 2 , 即x =3时,等号成立.即y min =4. (1)利用三个正数的算术-几何平均不等式定理求最值,可简记为“积定和最小,和定积最大”. (2)应用平均不等式定理,要注意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时,方可取得最值,其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性,获得定值需要一定的技巧,如配系数、拆项、分离常数、平方变形等. 3.设x >0,则f (x )=4-x -1 2x 2的最大值为( ) A .4- 22 B .4- 2 C .不存在 D.5 2 解析:选D ∵x >0,∴f (x )=4-x -12x 2=4-⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+x 2+12x 2≤4-33x 2·x 2·12x 2=4-32= 5 2 . 4.已知x ,y ∈R +且x 2 y =4,试求x +y 的最小值及达到最小值时x ,y 的值. 解:∵x ,y ∈R +且x 2y =4, ∴x +y =12x +12x +y ≥3314x 2 y =3314×4=3. 当且仅当x 2=x 2 =y 时,等号成立. 又∵x 2 y =4,∴当x =2,y =1时,x +y 取最小值3. 用平均不等式解应用题 大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学知道,桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比,而