立体几何存在性问题

立体几何中的存在性问题

1、如图，已知直三棱柱ABC AB 1C1 , ACB 90°,

中点，AC BC 2，AA 4.

(I)求证：CF 平面ABB i ;

(□)当E是棱CC1中点时，求证：CF //平面AEB1;

(川)在棱CC1 上是否存在点E，使得二面角A EB1 B 的大小是

45°，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由•

2、如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA 面ABCD , BD交AC于点E, F是PC中点，G为AC上一点。

(I)求证：BD FG;

(□)确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由；

2

(川)当二面角B-PC-D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值。

3

P

3、在四棱锥P ABCD 中，侧面PCD 底面ABCD , PD CD , E 为PC 中点， 底面 ABCD 是直角

梯形， AB//CD , ADC 90°, AB AD PD 1 , CD 2.

(I)求证：BE//平面PAD ;

(□)求证：BC 平面PBD ;

uuu

(川)设Q 为侧棱PC 上一点，PQ

Q BD P 为 45°

4、如图，三棱柱 ABC AB I G 中，侧面AA 1C 1C 底面ABC ,

AA AC AC 2, AB BC ,

且AB BC ,O 为AC 中点.

(I)

证明： AO 平面 ABC ;

(□)求直线AC 与平面A i AB 所成角的正弦值;

uuu

PC ，试确定

的值，使得二面角

(川)在BC i上是否存在一点E，使得0E//平面AAB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置.

5、如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD , PA=AD=2 ,

(I)求证：BD 平面PAC ;

(□)求二面角B PD C的余弦值;

(III)在线段PD上是否存在一点Q ,使CQ与平面PBD所成的角的正弦值为

若存在，指出点Q的位置，若不存在，说明理由

B C

6、如图，四棱锥P ABCD中，AB AD,CD AD, PA 底面ABCD ,

PA AD CD 2AB 2 , M为PC的中点.

(1)求证：BM P平面PAD ；

(2)在侧面PAD内找一点N，使

MN 平面PBD

7、如图，三棱柱ABC —A i B i C i 中，AA i 丄面ABC , BC 丄AC , BC=AC=2 , AA i=3 , D 为AC 的中点.

I)求证：AB i〃面BDC i;

(H)在侧棱AA i上是否存在点P,使得

CP丄面BDC i ?并证明你的结论.

8、如图，四棱锥P—ABCD 中，AB 丄AD , CD 丄AD , PA丄底面ABCD , PA = AD = CD =2 AB = 2 , M为PC的中点.

(i)求证：BM // 平面PAD ;

(2 )平面PAD内是否存在一点N，使MN丄平面PBD?

若存在，确定N的位置，若不存在，说明理由；

9、直三棱柱A i B i C i —ABC的三视图如图所示，D、E分别为棱CC i和B i C i的中点。

(1 )求点B到平面A i C i CA的距离；

(2 )在AC上是否存在一点F,使EF丄平面A i BD ,

10、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC ,

1

ABC PAD 90，侧面PAD 底面ABCD.若PA AB BC - AD .

2

I)求证：CD 平面PAC ;

(□)侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD ?若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由;

11、如图，在直二棱柱ABC A| B1C1 中，AC 3, BC 4, AB 5, AA1 4.

B i

B

12、如图，三棱柱 ABC ABC中，侧面AAC i C 底面ABC ,

AA AC AC 2, AB BC，且 AB BC ,O 为 AC 中点.

① 证明：AO 平面ABC ；

(2 )在BC i上是否存在一点E，使得0E//平面AAB，若不存在，说明理由；若存在, 确定点E的位置.

13、已知某几何体的直观图和三视图如下图所示

，其正视图为矩形，左视图为等腰直角

三角形，俯视图为直角梯形•

(I) 证明：BN 丄平面C i B i N ;

(II) M 为AB 中点，在线段CB 上是否存在一点 P ,使得MP //平面CNB i ，若存在，求 出BP

的长;若不存在，请说明理由•

14、如图：在四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 是菱形，

ABC 60 , PA 平面ABCD ，点M,N 分别为BC,PA 的中点，且PA AB 2.

(1)证明：BC 丄平面AMN ; ( 2 )求三棱锥 N AMC 的体积；

(3)在线段PD 上是否存在一点E ,使得NM //平面ACE ;若存在，求出PE 的长;

C

i

若不存在，说明理由P

A D

D

M C

15、已知菱形ABCD 中，AB =4, BAD 60° (如图1所示)，将菱形 ABCD 沿对 角线BD 翻折，使点C 翻折到点G 的位置(如图2所示)，点E , F , M 分别是AB , DC i , BC i 的中点.

(I)证明：BD II 平面EMF ;

(□)证明：AC i BD ;

(川)当EF AB 时，求线段AC i 的长. 16、在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形， ABD =90 , EB 平面 ABCD , EFIIAB , AB= 2 , EF =1 , BC = 13，且 M 是 BD 的中点•

(I)求证：EMII 平面ADF ;

(□)在EB 上是否存在一点 P ，使得 CPD 最大?

若存在，请求出

CPD 的正切值；若不存在，

请说明理由• A

图2