广义坐标自由度自由度

非定常几何约束 若约束方程中明显包含时间t， 这种约束就称为非定常几何约束。
v
x2 y 2 z 2 l0 vt
2
1, y 1, z n , y n , z 1,x n , t ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
( j 1, 2, s )
（2）定常约束与非定常约束 定常约束 当约束方程中都不包含时间t时， 这种约束称为定常约束。 定常几何约束 z
O
l
y A
约束方程的一般形式：
x
1, y 1, z n , y n , z 1, x n ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
它们被用于描述刚体的位形。
4.受约束刚体的自由度
设刚体数为n，则 k = 6n -S
4、约束刚体的自由度与广义坐标
约束刚体的自由度与广义坐标根据其运动 形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运 动形式时的广义坐标数。
刚体约束情况 刚体上一轴被固定 （定轴转动） 刚体上一点被固定 （定点运动） 刚体被限制作平面平行运 动（平面运动） 刚体被限制作平行移动 （平移） 自由度 1
三、广义坐标、自由度
1、基本概念 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数
自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数. 空间质点: k 3n s,
平面质点:
k 2n s ,
广义坐标： 用以确定质点系位置的独立参变量
与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标.
自由度为k， 取广义坐标： q1 , q2 qk 一般地： n个质点，
2、刚体的自由度 设刚体由n个质点组成，这个质点组成的不变 系统可以设想由n个质点用很短很短的刚杆连成 的空间不变形的刚性结构。 可以算出连接质点的刚杆数为：
3n 6
每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为：
s 3n 6
自由度数为： k 3n s 6
2.自由刚体的自由度
最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体( 形如四面体)，则自由刚体的自由度为：
3 3
广义坐标

, ,
x 0 , y 0 , x0 , y 0 , z 0
3
四 实例:机构如图,轮C作纯滚
1.刚体数目 3; 2.定轴转动刚体 OA ; 平面运动刚体 AB及轮C ; 3.约束方程(在点O 建立直角坐标)
xo 0; yo 0;
xA OA cos ; yA OA sin ;
约束、自由度与广义坐标
一、问题的提出
物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系统 与非自由系统。
17世纪牛顿当时的经典力学所能解决的主要问题是属于自 由质点或自由质点系动力学。
十八世纪产生了刚体动力学问题，也就是说提出了约束质 点系的动力学问题。 今天大量工程实际问题作初步分析时，仍然可以将其作为 非自由系统建模，并采用经典力学方法加以解决。 研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与广 义坐标的概念。
(4)计算自由度,确定广义坐标。
(a)空间刚体系 k=6n-s,空间质点系 k=3n-s (b)平面刚体系 k=3n-s,平面质点系 k=2n-s
xB OA cos AB cos; yB OAsin AB sin ; xC r ; yC H r; H OA AB sin 2r; 结论:8个约束方程
4.广义坐标
广义坐标数为 :3n-s=1, 即:
刚体数n=3 约束方程数
s 8;
q
xi xi (q1 , q2 qk , t )
yi yi (q1 , q2 ...... qk , t )
zi zi (q1 , q2 qk , t )
ri ri (q1 , q2 qk , t )
i=1,2,· · · · · · n
n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为：
1 , y 1 , z n , y n , z 1 ,, x n ; t ) 0 f r ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , z n ; x
(r=1,…,s)
约束方程的个数为：s
静力学问题中涉及的约束都是定常几何约束。 本教材研究：定常、双面、完整约束。
单面约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。 OA为柔绳： x2 y 2 z 2 l 2 约束方程的一般形式：
1, y 1, z n , y n , z 1,, x n , t 0或 0 f j x1, y1, z1,, xn , yn , zn , x
4、约束方程
j 1,2,, s
约束方程总是以微分形式表示，不可能积分成有限的 形式的约束称为非完整约束。 运动约束不可积分----碰撞系统,摩擦系统等。
1 , y 1 , z n , y n , z 1 ,, x n ; ) 0 f r ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn ; x
( j 1, 2, s )
运动约束
如果运动时速度也受到一定条件的限制，则这个条件称为 运动约束。 纯滚动的圆轮：
y
yC r
r 0 x
——几何约束 ——运动约束
C
vC
x
约束方程的一般形式
1, y 1, z n , y n , z 1 x n ) 0 f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn , x
选广义坐标为:
q
或
5.自由度计算 自由度
k 3*3 s 1
自由度恒等于广义坐标数
本例为质点与刚体
l0
k
x
A

广义坐标
q1 x; q2
B
自由度
yA 0
xB x A l cos
y B l sin
k2
五总结
(1)检查刚体(质点)数目 n。 (2)检查各刚体的运动形式。 (3)列写出约束方程。
k 3 4(质点数) （刚杆数） 6 6
此后每增加一个质点就增加3根刚杆。 连接质点的刚杆数为： 3n 6
每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为： s 3n 6
自由度数为： k 3n , s n >4 6
3.自由刚体的广义坐标 基点的直角坐标 x0 , y0 , z0 和欧拉角 , , 或卡尔丹角 , , 组成的6个独立参变量就是 自由刚体的广义坐标。
3、约束的分类
（1）几何约束与运动约束
几何约束 如果限制运动的条件仅是几何性质的，则称为几何约束。 y O 单摆:
x y z l
2 2 2
2
z x z
l
A
曲面上的质点：
பைடு நூலகம்
f ( x, y, z ) 0
约束方程的一般形式： x
M y
f j ( x1, y1, z1 xn , yn , zn ) 0
(1) 坐标
确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数，这 些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。
(2)位形
对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立坐 标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形。
(3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t之 间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之为 约束方程。
二、约束


1、约束概念
约束就是限制物体任意运动的条件。 不受约束可以任意运动的质点系称为自由质点系, 受有约束而不能任意运动的质点系则称为非自由质点系。 刚体静力学研究约束, 是探究约束的原因-------约束力 运动学研究约束,是探究约束的结果-------运动的限制

2、独立坐标、位形空间、约束方程的概念
（3）完整约束与非完整约束 约束方程中不包含坐标对时间的导数（即质点系中各 质点速度的投影）的约束，称为完整约束。 〈1〉位移约束----全部几何约束 〈2〉运动约束可积分----如纯滚动的圆轮;
约束方程的一般形式为：
f r ( x1 , y1 , z1 ,, xn , yn , zn ; ) 0
j 1,2,, s
（4）单面约束与双面约束
双面约束：在约束方程中用严格的
O
y
等号表示的约束。
OA为刚性杆： x2 y 2 z 2 l 2
l
z
x
A
约束方程的一般形式：
1, y 1, z n , y n , z 1,, x n , t 0 f j x1, y1, z1,, xn , yn , zn , x