有限元发展概况

有限元发展概况

一、有限元法介绍

有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法(FEM，FiniteElementMethod)。

有限元法是最重要的工程分析技术之一。它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流体力学、热传导等领域。有限元法是60年代以来发展起来的新的数值计算方法，是计算机时代的产物。虽然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于当时计算机尚未出现，它并未受到人们的重视。随着计算机技术的发展，有限元法在各个工程领域中不断得到深入应用，现已遍及宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、海洋等工业，是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人给出结论：有限元法在产品结构设计中的应用，使机电产品设计产生革命性的变化，理论设计代替了经验类比设计。目前，有限元法仍在不断发展，理论上不断完善，各种有限元分析程序包的功能越来越强大，使用越来越方便。

二、有限元法的孕育过程及诞生和发展

大约在300年前，牛顿和莱布尼茨发明了积分法，证明了该运算具有整体对局部的可加性。虽然，积分运算与有限元技术对定义域的划分是不同的，前者进行无限划分而后者进行有限划分，但积分运算为实现有限元技术准备好了一个理论基础。

在牛顿之后约一百年，著名数学家高斯提出了加权余值法及线性代数方程组的解法。这两项成果的前者被用来将微分方程改写为积分表达式，后者被用来求解有限元法所得出的代数方程组。在18世纪，另一位数学家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是将偏微分方程改写为积分表达式的另一途经。

在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。这实际上就是有限元的做法。

所以，到这时为止，实现有限元技术的第二个理论基础也已确立。

20世纪50年代，飞机设计师们发现无法用传统的力学方法分析飞机的应力、应变等问题。波音公司的一个技术小组，首先将连续体的机翼离散为三角形板块的集合来进行应力分析，经过一番波折后获得前述的两个离散的成功。20世纪50年代，大型电子计算机投入了解算大型代数方程组的工作，这为实现有限元技术准备好了物质条件。1960年前后，美国的R.W.Clough教授及我国的冯康教授分别独立地在论文中提出了“有限单元”，这样的名词。此后，这样的叫法被大家接受，有限元技术从此正式诞生，并很快风靡世界。

三、FEM的计算方法：

FEM方法作为一种技术更多的与FEM软件的发展紧密的结合起来。某种主流软件的FEM方法必然会一直朝该FEM方法的方向发展，只有当新的FEM方法比现有的FEM方法更加优越时才会放弃现有的FEM方法，从而使FEM方法有较大的发展。因此目前的FEM方法仍然将统治现在的FEM 世界。

当今主流的FEM软件有德国的ASKA、英国的PAFEC、法国的SYSTUS、美国的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、Simulation、ELAS、MARC和STARDYNE等公司的产品。这些软件所代表的方法有：

Simulation软件使用的快速有限元算法（FFE）。在传统有限元分析的数值计算方法之中，有直接计算法（DirectSolver）与迭代法（Iterative）两种。由于在过去的经验中，迭代法一直无法直接而有效的保证数值计算的收敛性，快速有限元法是一种可以保证收敛性的迭代法，该方法计算速度也很快。

MARC软件以Lagrange算法为主，兼有ALE和Euler算法；以显式求解为主，兼有隐式求解功能。

ANSYS软件有直接求解器，如波前求解器，可计算出线性联立方程组的精确解。ANSYS程序还提供了一个有效的稀疏矩阵求解器，它既可用于线性分析，也可用于非线性分析。即要求求解精度又要求求解时间的静态及瞬态分析中，该求解器可代替迭代求解器。稀疏矩阵求解器只能用于真正的对称矩阵，与波前及其它直接求解器相比，稀疏矩阵求解器能显著加速求解速度。

四、其他求解方法：

1 显式/隐式有限元法：

无需对刚度矩阵求逆，只需对质量矩阵求逆，而质量矩阵往往可以简化为对角阵;没有增量步内迭代收敛问题，可以一直计算下去。隐式计算具有时间步长增量较大、每个荷载步都能控制收敛，避免误差累积、存在迭代不收敛的问题、计算量随计算规模增大而成超线性增长的特点。相对与隐式计算显示计算具有时间步长很小、误差累积、不存在迭代不收敛的问题、计算量随计算规模基本为线性增长的特点。这种计算方法的代表软件有ABQUS。

2 离散单元法：

离散单元法也被称为散体单元法，最早是1971年由Cundall提出的一种不连续数值方法模型，这种方法的优点是适用于模拟节理系统或离散颗粒组合体在准静态或动态条件下的变形过程。离散单元法不是建立在最小势能变分原理上，而是建立在最基本的牛顿第二运动定律上。它以每个刚体的运动方程为基础，建立描述整个破坏过程的显式方程组后，通过动力松弛迭代求解。

3 接触判断法：

离散元通过块体之间的相互接触判断得到相互之间的作用力，进而形成运动方程。因此，快速而准确的接触算法对离散元方法非常重要。由于离散元计算过程中块体往往会发生较大位移，使得原有的块体间的空间拓扑关系发生变化，使接触判断变得更加复杂。目前离散元对二维问题的接触分析已经比较成熟，但对于三维问题则应用比较有限，其中的重要原因就是三维接触判断过于复杂，特别是允许出现大位移的三维接触，目前还是一个有待进一步研究的问题。

五、当今国际上有限元法的发展趋势：

1.从单纯的结构力学计算发展到求解许多物理场问题

有限元分析方法最早是从结构化矩阵分析发展而来,逐步推广到板、壳和实体等连续体固体力学分析,实践证明这是一种非常有效的数值分析方法。而且从理论上也已经证明,只要用于离散求解对象的单元足够小,所得的解就可足够逼近于精确值。所以近年来有限元方法已发展到流体力学、温度场、电传导、磁场、渗流和声场等问题的求解计算,最近又发展到求解几个交叉学科的问题。例如当气流流过一个很高的铁塔时就会使铁塔产生变形,而塔的变形又反过来影响到气流的流动……这就需要用固体力学和流体动力学的有限元分析结果交叉迭代求解,即所谓"流固耦合"的问题。

2.由求解线性工程问题进展到分析非线性问题

随着科学技术的发展,线性理论已经远远不能满足设计的要求。例如建筑行业中的高层建筑和大跨度悬索桥的出现,就要求考虑结构的大位移和大应变等几何非线性问题;航天和动力工程的高温部件存在热变形和热应力,也要考虑材料的非线性问题;诸如塑料、橡胶和复合材料等各种新材料的出现,仅靠线性计算理论就不足以解决遇到的问题,只有采用非线性有限元算法才能解决。众所周知,非线性的数值计算是很复杂的,它涉及到很多专门的数学问题和运算技巧,很难为一般工程技术人员所掌握。为此近年来国外一些公司花费了大量的人力和投资开发诸如MARC、ABQUS和ADINA等专长于求解非线性问题的有限元分析软件,并广泛应用于工程实践。这些软件的共同特点是具有高效的非线性求解器以及丰富和实用的非线性材料库。