模型组合讲解等效场模型

高二物理兴趣小组讲义

模型组合讲解——等效场模型（2课时）

主讲：康天成（一班） 陈红雷（二班）

［模型概述］

复合场是高中物理中的热点问题，常见的有重力场与电场、重力场与磁场、重力场与电磁场等等，对复合场问题的处理过程其实就是一种物理思维方法。所以在复习时我们也将此作为一种模型讲解。 ［模型讲解］

例1. 粗细均匀的U 形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图1所示，已知：L=10cm ，当此U 形管以4m/s 2的加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差。（2

/10s m g =）

图1 解析：当U 形管向右加速运动时，可把液体当做放在等效重力场中，'g 的方向是等效重力场的竖直方向，这时两边的液面应与等效重力场的水平方向平行，即与'g 方向垂直。

设'g 的方向与g 的方向之间夹角为α，则4.0tan ==g

a α 由图可知液面与水平方向的夹角为α，所以，

m cm cm L h 04.044.010tan ==⨯=⋅=∆α

例2. 如图2所示，一条长为L 的细线上端固定，下端拴一个质量为m 的带电小球，将它置于一方向水平向右，场强为正的匀强电场中，已知当细线离开竖直位置偏角α时，小球处于平衡状态。

图2

（1）若使细线的偏角由α增大到ϕ，然后将小球由静止释放。则ϕ应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？

（2）若α角很小，那么（1）问中带电小球由静止释放在到达竖直位置需多少时间？

解析：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用，这两个力都是恒力，故不妨将两个力合成，并称合力为“等效重力”，“等效重力”的大小为：

αcos )()(22mg Eq mg =

+，令'cos mg mg =α 这里的α

cos 'g g =可称为“等效重力加速度”，方向与竖直方向成α角，如图3所示。这样一个“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。

图3

（1）在“等效重力场”中，观察者认为从A 点由静止开始摆至B 点的速度为零。根据重力场中单摆摆动的特点，可知αϕ2=。

（2）若α角很小，则在等效重力场中，单摆的摆动周期为g

L g L T αππ

cos 2'2==，从A →B 的时间为单摆做简谐运动的半周期。 即g

L T t απcos 2==。 思考：若将小球向左上方提起，使摆线呈水平状态，然后由静止释放，则小球下摆过程中在哪一点的

速率最大？最大速率为多大？它摆向右侧时最大偏角为多大？

点评：本题由于引入了“等效重力场”的概念，就把重力场和电场两个场相复合的问题简化为只有一个场的问题。从而将重力场中的相关规律有效地迁移过来。值得指出的是，由于重力场和电场都是匀强场，即电荷在空间各处受到的重力及电场力都是恒力，所以，上述等效是允许且具有意义的，如果电场不是匀强电场或换成匀强磁场，则不能进行如上的等效变换，这也是应该引起注意的。

巩固小结：通过以上例题的分析，带电粒子在电场中的运动问题，实质是力学问题，其解题的一般步骤仍然为：确定研究对象；进行受力分析（注意重力是否能忽略）；根据粒子的运动情况，运用牛顿运动定律、动能定理或能量关系、动量定理与动量守恒定律列出方程式求解。

［模型要点］

物体仅在重力场中运动是最简单，也是学生最为熟悉的运动类型，但是物体在复合场中的运动又是我们在综合性试题中经常遇到的问题，如果我们能化“复合场”为“重力场”，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。如何实现这一思想方法呢？

如物体在恒力场中，我们可以先求出合力F ，在根据m

F g '求出等效场的加速度。将物体的运动转化为落体、抛体或圆周运动等，然后根据物体的运动情景采用对应的规律。

［误区点拨］

在应用公式时要注意g 与'g 的区别；对于竖直面内的圆周运动模型，则要从受力情形出发，分清“地理最高点”和“物理最高点”，弄清有几个场力；竖直面内若作匀速圆周运动，则必须根据作匀速圆周运动的条件，找出隐含条件；同时还要注意线轨类问题的约束条件。

［模型演练］

质量为m ，电量为+q 的小球以初速度0v 以与水平方向成θ角射出，如图4所示，如果在某方向加上一定大小的匀强电场后，能保证小球仍沿0v 方向做直线运动，试求所加匀强电场的最小值，加了这个电场后，经多长时间速度变为零？

图4

答案：由题知小球在重力和电场力作用下沿0v 方向做直线运动，可知垂直0v 方向上合外力为零，或者用力的分解或力的合成方法，重力与电场力的合力沿0v 所在直线。 建如图5所示坐标系，设场强E 与0v 成ϕ角，则受力如图：

图5

由牛顿第二定律可得：

=-θϕcos sin mg Eq 0 ①

ma mg Eq =-θϕsin cos ② 由①式得：ϕθsin cos q mg E = ③

由③式得：︒=90ϕ时，E 最小为q mg E θcos min = 其方向与0v 垂直斜向上，将︒=90ϕ代入②式可得 θsin g a -=

即在场强最小时，小球沿0v 做加速度为θsin g a -=的匀减速直线运动，设运动时间为t 时速度为0，则：t g v θsin 00-=，可得：θ

sin 0g v t =