匀变速直线运动的位移与速度间的关系

一、匀变速直线运动的位移与速度的关系
匀变速直线运动的位移与速度 1.表达式：v2 ? v02 ? 2ax 2.矢量的取值方法： v2 ? v20 ? 2ax 为矢量式，应用它解题时， 一般先规定初速度 v0的方向为正方向： （1）物体做加速运动时， a取正值，做减速运动时， a取负 值. （2）位移 x>0 ，说明物体通过的位移方向与初速度方向相 同；x<0，说明位移的方向与初速度的方向相反 . 3.适用范围：匀变速直线运动 .
【典例 3】（2011·烟台高一检测）一辆轿车违章超车，以 108 km/h 的速度驶入左侧逆行车道时，猛然发现正前方 65 m处一辆卡车正以 72 km/h 的速度迎面驶来，两车司机立 即同时刹车，刹车的加速度大小相等，要保证两车不相撞， 刹车加速度至少为多大？轿车的刹车时间多长？
【解题指导】 该题有两个隐含条件：（ 1）汽车刹车结束时 的速度为零；（ 2）要保证两车不相撞，刹车过程中两车前 进的距离之和应小于等于 65 米．
便.
【典例 1】如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木 块，一子弹以水平速度 v射入木块，若子弹在木块中做匀减 速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹 依次射入每个木块时的速度比为多少？
【解题指导】 子弹在木块中做匀减速直线运动，加速度 不变；每个木块的厚度一定，利用子弹依次射入每个木块 时到最终静止发生的位移相等关系求解．由于本题不涉及 时间，用速度与位移关系式求解比较简单．
【标准解答】 设木块的厚度为 d，子弹的加速度为 a,子弹依 次射入每个木块时的速度分别为 v1、v 2和v3．由速度位移 关系式v2 ? v20 ? 2a得x v0 ?其中?2axx为，子弹从进入木块到静止发生 的总位移．则
v1 ? ?2a ? 3d，v2 ? ?2a ? 2d，v3 ?
所以 v∶1 v2∶v3 ? 3∶ 2∶1 答案： 3∶ 2∶1
【解题指导】 此题最基本的解法是利用运动学公式，但 运用初速度为零的匀加速运动的比例来解更为简单 .
【标准解答】 由v1=at 1得, a ? v1 ? 4 m / s ? 1 m / s2
所以第1 s 内的位移
x1 ?
1 a ? 12 2
t1 4 s m ? 0.5 m
（1）由于第 4 s末与第6 s 末的速度之比
?2a ? d，
【规律方法】 解答匀变速直线运动问题巧选公式的方法
（1）习题中已知条件没有、也不让求位移 x, 要首先考虑速
度公式v=v 0+at ．
（2）习题中已知条件没有、也不让求末速度 v, 要首先考虑
位移公式
x?
v0t ?
1 at 2． 2
（3）习题中已知条件没有、也不让求时间 t, 要首先考虑速
【标准解答】 由速度与位移关系式
v2
?
v
2 0
得? 2ax
轿车的刹车距离：x1
?
v12卡车的刹车距离：
2a
x2
?
v22 2a
不相撞的条件是 :x 1+x 2≤Δx
则 v12 ? v22 解? ?得xa≥10 m/s 2
2a 2a
所以刹车的加速度大小至少为 10 m/s 2
对轿车： v1=at 1
所以 t1
4.特例 （1）当v0=0时，v2=2ax 物体做初速度为零的匀加速直线运动，如自由下落问题 . （2）当v=0时，? v02 ? 2ax 物体做匀减速直线运动直到静止，如刹车问题 .
（1）公式
v中2 ?四v20个? 物2a理x 量均是矢量，应用它
解题时要注意各物理量的正、负值 .
（2）刹车问题由于末速度为零，应用此公式解题往往很方
2
? 2a x , 2
即
v2 x ?
v
2 0
?
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v2 ? v2， 所以 x
vx
?
2
2
2
v20 ? v2 . 2
2．由静止开始的匀加速直线运动的几个重要比例 (1)1T末、2T末、3T末、…、 nT末瞬时速度之比 v1∶v2∶v3∶…∶v n=1∶2∶3∶…∶n (2)1T内、2T内、3T内、…、 nT内的位移之比 x1∶x2∶x3∶…∶x n=12∶22∶32∶…∶n 2 (3)第一个T内，第二个 T内，第三个 T内，…，第 n个T内位 移之比 xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶x n=1∶3∶5∶…∶(2n -1) (4) 通过前 x、前 2x 、前3x…位移时的速度之比
v 1 ∶v 2 =4∶6=2∶3
故第6 s 末的速度
v2
?
3 2 v1
?
6
m
/s
（2）第1 s内与前6 s 内的位移之比 x1∶x 6=12∶62
故前6 s 内小球的位移 x6=36x 1=18 m
（3）第1 s内与第6 s内的位移之比 xⅠ∶xⅥ=1∶（ 2×6-1）=1∶11 故第6 s 内的位移 xⅥ=11x Ⅰ=5.5 m 答案：（1）6 m/s (2)18 m (3)5.5 m
（1）以上比例成立的前提是物体做初速度为零的 匀加速直线运动 .（2）对于末速度为零的匀减速直线运动， 可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用比 例关系，可使问题简化 .
【典例 2】一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下（斜面足够 长），已知小球在第 4 s末的速度为 4 m/s. 求： （1）第6 s末的速度； （2）前6 s内的位移； （3）第6 s内的位移 .
v∶1 v2∶v∶3 ? ∶vn ? 1∶ 2∶ 3∶? ∶ n
(5)通过前 x、前2x、前3x…的位移所用时间之比
t∶1 t2∶t3∶? ∶tn ? 1∶ 2∶ 3∶? ∶ n
(6)通过连续相等的位移所用时间之比
? ?? ? tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶? ∶tn ? 1∶ 2 ? 1∶ 3 ? 2 ∶? ∶( n ? n ? 1)
度位移关系式 v2 ? v20 ? 2ax.
二、匀变速直线运动的几个规律
1．中间位置的速度与初末速度的关系
在匀变速直线运动中，某段位移 x的初末速度分别是 v0和v,
加速度为 a,中间位置的速度为 v x，则据速度与位移关系式，
2
对前一半位移
v2x
2
?
v
2 0
?
2a
x, 2
对后一半位移
v2 ? v2 x
?
v1 a
?
3s
答案：10 m/s 2 3 s
对追及问题中的运动过程分析不清导致错误 如图所示， A、B物体相距 x=7 m 时， A在水平拉力和摩擦力作用下，正 以v1=4 m/s 的速度向右匀速运动，而物体 B此时正以 v2= 10 m/s 的初速度向右匀减速运动，加速度大小为 a=2m/s 2， 求A追上B所经历的时间是多少？