第10章 材料的超弹性力学行为ppt课件
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弹性力学课件
研究对象
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
弹性力学的研究对象主要是弹性 体，即在外力作用下能够发生变 形，当外力去除后又能恢复到原 来形状的物体。
弹性体基本假设与约束条件
基本假设
弹性体在变形过程中，其内部各点间 距离的变化是微小的，且这种变化不 影响物体的整体形状和大小。
约束条件
弹性体的变形受到外部约束条件的限 制，如支撑、连接等，这些约束条件 对弹性体的变形和内力分布产生影响 。
2
例题2
无限大平板受均布载荷作用下的应力分 析。利用弹性力学理论求解无限大平板 在均布载荷作用下的应力分布，并讨论 平板厚度对应力分布的影响。
3
例题3
圆柱体受内压作用下的应力分析。通过 解析法或数值法求解圆柱体在内压作用 下的应力分布，并讨论不同材料属性和 几何参数对应力分布的影响。
03
弹性体变形协调方程与几何方程
3
讨论
通过对比各向同性和各向异性材料的力学行为， 加深对材料本构关系的理解。
05
平面问题求解方法与应用举例
平面问题定义及分类
平面应力问题
长柱形物体受平行于横截面的外力作用，横截面尺寸远小于轴向 尺寸。
平面应变问题
平面或板状物体受平行于中面的外力作用，中面尺寸远大于厚度。
平面问题的简化
忽略体力，将空间问题简化为平面问题。
各向异性材料本构关系简介
各向异性假设
材料在各个方向上具有不同的力学性质。
本构关系特点
应力与应变之间的关系复杂，需要考虑材料的方 向性。
典型各向异性材料
纤维增强复合材料、层合板等。
典型例题解析与讨论
1 2
例题一
求解各向同性材料在简单拉伸条件下的应力和应 变。
例题二
分析各向异性材料在复杂应力状态下的力学行为 。
弹性力学专题知识宣讲培训课件
（3）材料简化
根据各向同性、连续、均匀等假设进行 简化。
二、建模过程中注意的问题
（1）线性化
对高阶小量进行处理，能进行线性化的， 进行线性化。
（2）实验验证
模型建立以后，对计算的结果进行分析 整理，返回实际问题进行验证，一般主要通 过实验进行。
§1-2 弹性力学的内容
• 弹性力学：又称为弹性理论，是固体力学 的一个分支，它是研究在外力或其他因素 （如温度变化、支座沉陷等）作用下弹性 体内产生应力、应变和位移的一般规律的 学科。
力学的分类
一般力学
力
固体力学
学
流体力学
一般力学也叫刚体力学:是以受力后不变形的 绝对刚体为研究对象。包括：理论力学、分析 力学、机械振动、非完整系统等。
固体力学：是以受力后产生微小变形的固体 为研究对象。包括材料力学、结构力学、弹性 力学、塑性力学、岩石力学、土力学等。
流体力学：是以受力后产生较大变形的流体 为研究对象。包括理论流体力学、工程流体力 学、流变学等。
任务一样为什么分三门课？
区别：研究范围、研究对象、研究方法
1)研究范围：
材力研究外力作用下。 弹力不仅研究外力作用下还有其它因素，包括温 度变化、制作沉陷等。
2)研究对象：
a.形状： 材力研究的是杆件。 弹力即可研究杆件还可研究非杆状 实物结构，如板、壳、块等。
b.受力情况： 材力研究杆件时受力情况多受限制。
19世纪20年代。Navier和Cauchy建立了弹性力学的数学 理论之后，才使它成为一门独立的分支。
1822—1828年间，Cauchy明确提出了应力和应变的概 念．建立了弹性力学的平衡(运动)微分方程、几何方程 和各向同性的广义Hooke定律；
根据各向同性、连续、均匀等假设进行 简化。
二、建模过程中注意的问题
（1）线性化
对高阶小量进行处理，能进行线性化的， 进行线性化。
（2）实验验证
模型建立以后，对计算的结果进行分析 整理，返回实际问题进行验证，一般主要通 过实验进行。
§1-2 弹性力学的内容
• 弹性力学：又称为弹性理论，是固体力学 的一个分支，它是研究在外力或其他因素 （如温度变化、支座沉陷等）作用下弹性 体内产生应力、应变和位移的一般规律的 学科。
力学的分类
一般力学
力
固体力学
学
流体力学
一般力学也叫刚体力学:是以受力后不变形的 绝对刚体为研究对象。包括：理论力学、分析 力学、机械振动、非完整系统等。
固体力学：是以受力后产生微小变形的固体 为研究对象。包括材料力学、结构力学、弹性 力学、塑性力学、岩石力学、土力学等。
流体力学：是以受力后产生较大变形的流体 为研究对象。包括理论流体力学、工程流体力 学、流变学等。
任务一样为什么分三门课？
区别：研究范围、研究对象、研究方法
1)研究范围：
材力研究外力作用下。 弹力不仅研究外力作用下还有其它因素，包括温 度变化、制作沉陷等。
2)研究对象：
a.形状： 材力研究的是杆件。 弹力即可研究杆件还可研究非杆状 实物结构，如板、壳、块等。
b.受力情况： 材力研究杆件时受力情况多受限制。
19世纪20年代。Navier和Cauchy建立了弹性力学的数学 理论之后，才使它成为一门独立的分支。
1822—1828年间，Cauchy明确提出了应力和应变的概 念．建立了弹性力学的平衡(运动)微分方程、几何方程 和各向同性的广义Hooke定律；
弹性力学总结与复习全ppt课件
4. 平面问题Airy应力函数
的选取：
直角坐标下
y 0
O
b
xl
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y 习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
寒 假 来 临 ， 不少的 高中毕 业生和 大学在 校生都 选择去 打工。 准备过 一个充 实而有 意义的 寒假。 但是， 目前社 会上寒 假招工 的陷阱 很多
结构特点
（1）一般多连体
1(z)
1 8
m
(Xk
k 1
iYk ) ln(
z
zk ) 1 (z)
1(z)
3 8
m
(Xk
k 1
iYk ) ln(
z
zk ) 1*(z)
其中： 1(z),1(z) 为该多连体中单值解析函数。
(2-26)
（3） 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
（2-18）
us u （2-17） vs v
寒 假 来 临 ， 不少的 高中毕 业生和 大学在 校生都 选择去 打工。 准备过 一个充 实而有 意义的 寒假。 但是， 目前社 会上寒 假招工 的陷阱 很多
（4－11）
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r 2 ln
) r)
2C 2C
r r 0
（4－12）
ur
1 E
(1
的选取：
直角坐标下
y 0
O
b
xl
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y 习题：3 -1，3 –2，3 –3，3 -4
寒 假 来 临 ， 不少的 高中毕 业生和 大学在 校生都 选择去 打工。 准备过 一个充 实而有 意义的 寒假。 但是， 目前社 会上寒 假招工 的陷阱 很多
结构特点
（1）一般多连体
1(z)
1 8
m
(Xk
k 1
iYk ) ln(
z
zk ) 1 (z)
1(z)
3 8
m
(Xk
k 1
iYk ) ln(
z
zk ) 1*(z)
其中： 1(z),1(z) 为该多连体中单值解析函数。
(2-26)
（3） 再让 x , y , xy 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
（2-18）
us u （2-17） vs v
寒 假 来 临 ， 不少的 高中毕 业生和 大学在 校生都 选择去 打工。 准备过 一个充 实而有 意义的 寒假。 但是， 目前社 会上寒 假招工 的陷阱 很多
（4－11）
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r 2 ln
) r)
2C 2C
r r 0
（4－12）
ur
1 E
(1
第10章 材料的超弹性力学行为 ppt课件
够“泰然自若”、“面不改色”，仍不失原有的强度和弹性。
例如生物材料。
ppt课件
2
功能：
(1)溶胀：橡胶将溶剂吸入体内而形成溶胀状态。 (2)填料：橡胶加填料可以提高其强度、刚度和耐磨性。 (3)应变诱发结晶：橡胶拉伸至一定程度时，橡胶网链 沿拉伸方向作有序排列，有利于形成结晶。
ppt课件
3
超弹性材料
ppt课件
4
超弹性材料
橡胶是一种弹性聚合物，其特点是有很强的非线性粘弹性行 为。它的力学行为对温度、环境、应变历史、加载速率都非 常敏感，这样使得描述橡胶的行为变得非常复杂。橡胶的制 造工艺和成分也对橡胶的力学性能有着显著的影响。
由于计算机以及有限元数值分析的飞速发展，我们可以借助 计算机来对超弹性材料的工程应用进行深入研究以及优化设计。 可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包 括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算 结果等。
橡胶本构模型 小变形
以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为
U
N
Cij (I1
i j1
3)i (I 2
3) j
N
i 1
1 Di
(J
1)2i
I1 3 I2 3 J 1
忽略二阶及二阶以上小量，变为
U
C10 (I1
3) C01 (I 2
3)
1 D1
C
E
S FT P
由于变形梯度张量F是不对称的，因此名义应力张量P的9个 分量是不对称的。
在橡胶大变形中应用多项式模型和Ogden指数模型。
ppt课件
15
10.3 橡胶变形力学行为
弹性力学(10)讲义版
2
r r r u = u1 + u 2
没有转动的位移 （无旋 没有体积变化的位移 （等体 r r r r r 的）∇ × u 1 = 0 , u 1 = ∇ Φ 的）θ = ∇ g u 2 = 0 , u 2 = ∇ × Ψ
r r u = ∇Φ + ∇ × Ψ
位移矢量的Stokes分解式
一、无限弹性介质中的无旋波
•当两波通过之后， 又恢复初始的形状 (拉)σ 和大小继续传播。 质点速度v
σ (拉
n
质点速度v
讨论 Ø入射的应力波 经固定端反射得 到同号的应
力波， 固定端处的应力将加 倍。
波速c (拉)σ 质点速度v 波速c (拉)σ 质点速度v n n m m •在两波相遇的整 个期间，中间 截 面mn处的位移及 速度始终为零。 •这种波的 传播及 叠加过程相当于 应力波在固定端 反射的情况。 •入射的应力波 经 固定端反射得 到 同号的应力波， 固定端处的应力 将加倍。 波速c σ (拉) 质点速度v 波速c σ (拉) 质点速度v
质点速度v缩波在自由端反射成 拉伸波，拉伸波反射
•在两波相遇的整 个期间，中间 截 质点速度v 面mn处的应力始 终为零。 (压)σ •这种波的 传播及 波速c 叠加过程相当于 应力波在自由端 波速c 反射的情况。 (拉)σ •压缩波在自由端 反射成拉伸波， 质点速度v 拉伸波反射成压 缩波，自由端截 面处的质点速度 加倍。 m 波速c σ (拉) 质点速度v
&
波动方程的 达朗伯解
函数f与g由边界条件 和初始条件确定 。
解的物理意义：考虑f (x-ct) 这一部分。 Ø取以速度 c沿x正方向移动的 坐标轴 η，η＝x- ct ; Ø f (x-ct) ＝ f (η) ，在动坐标系中， 函数值只取决于 坐标η，而与时间 t无关，即函数的图形相对于动坐标 系保持不变; Øf (x-ct)表示一个以速度 c沿x正方向移动 且保持其形 状及大 小不变的行波。
r r r u = u1 + u 2
没有转动的位移 （无旋 没有体积变化的位移 （等体 r r r r r 的）∇ × u 1 = 0 , u 1 = ∇ Φ 的）θ = ∇ g u 2 = 0 , u 2 = ∇ × Ψ
r r u = ∇Φ + ∇ × Ψ
位移矢量的Stokes分解式
一、无限弹性介质中的无旋波
•当两波通过之后， 又恢复初始的形状 (拉)σ 和大小继续传播。 质点速度v
σ (拉
n
质点速度v
讨论 Ø入射的应力波 经固定端反射得 到同号的应
力波， 固定端处的应力将加 倍。
波速c (拉)σ 质点速度v 波速c (拉)σ 质点速度v n n m m •在两波相遇的整 个期间，中间 截 面mn处的位移及 速度始终为零。 •这种波的 传播及 叠加过程相当于 应力波在固定端 反射的情况。 •入射的应力波 经 固定端反射得 到 同号的应力波， 固定端处的应力 将加倍。 波速c σ (拉) 质点速度v 波速c σ (拉) 质点速度v
质点速度v缩波在自由端反射成 拉伸波，拉伸波反射
•在两波相遇的整 个期间，中间 截 质点速度v 面mn处的应力始 终为零。 (压)σ •这种波的 传播及 波速c 叠加过程相当于 应力波在自由端 波速c 反射的情况。 (拉)σ •压缩波在自由端 反射成拉伸波， 质点速度v 拉伸波反射成压 缩波，自由端截 面处的质点速度 加倍。 m 波速c σ (拉) 质点速度v
&
波动方程的 达朗伯解
函数f与g由边界条件 和初始条件确定 。
解的物理意义：考虑f (x-ct) 这一部分。 Ø取以速度 c沿x正方向移动的 坐标轴 η，η＝x- ct ; Ø f (x-ct) ＝ f (η) ，在动坐标系中， 函数值只取决于 坐标η，而与时间 t无关，即函数的图形相对于动坐标 系保持不变; Øf (x-ct)表示一个以速度 c沿x正方向移动 且保持其形 状及大 小不变的行波。
弹性力学ppt
x xy xz 用矩阵表示： yx y yz zx zy z
其中，只有6个量独立。
z
z
xy yx yz zy zx xz
切应力互等定理
O x
xz xy y yx y yz x zx zy z
f f xi f y j f zk
f x f y f z —— 面力矢量在坐标轴上投影
量纲： L-1MT-2
—— 作用于物体表面单位面积上的外力
z
F
fz
k i
x O j
fx
S f y
y
(1) f 是坐标的连续分布函数； 说明： (2) f 如：接触力、流体压力等;
(3) f x f y f z 的正负号由坐标方向确定。沿
•近代弹性力学的研究是从 19世纪开始的。
•柯西1828年提出应力、应 变概念，建立了平衡微分 方程、几何方程和广义胡 克定律。
•柯西的工作是近代弹性力 学的一个起点，使得弹性 力学成为一门独立的固体 力学分支学科。 柯西（A.L.Cauchy）
•而后，世界各国的一批学 者相继进入弹性力学研究 领域，使弹性力学进入发 展阶段。
4. 各向同性假定
假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。 作用： 弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；
金属 —— 上述假定符合较好；
木材、岩石 —— 上述假定不符合，称为各向异性材料； 符合上述4个假定的物体，称为理想弹性体。
y
yx
zx
zy
yz
应力符号的意义：
第2个下标 y 表示τ的方向. 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 切应力——正坐标面上，与坐标正向一致时为正； 负坐标面上，与坐标正向相反时为正。
弹性力学基础教学课件PPT
弹性力学基础教学课 件
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
弹性力学课件(高教课堂)
弹性力学课件(高教课堂)教学内容：1. 弹簧的弹性特性：弹簧的弹性系数、弹簧的弹性力、弹簧的弹性势能。
2. 弹性体的变形与应力：弹性体的应变、应力、胡克定律、弹性模量。
3. 弹性体的变形能：弹性体的变形能的定义、计算方法、变形能与弹性势能的关系。
4. 弹性体的平衡条件：弹性体的受力分析、弹性体的平衡条件、弹性体的支座反力。
教学目标：1. 理解弹簧的弹性特性和弹性体的变形与应力。
2. 掌握弹性模量的概念和计算方法。
3. 能够计算弹性体的变形能和支座反力。
教学难点与重点：重点：弹簧的弹性特性、弹性体的变形与应力、弹性模量的计算、弹性体的变形能的计算。
难点：弹性体的受力分析和支座反力的计算。
教具与学具准备：教具：黑板、粉笔、弹簧演示器、弹性体模型。
学具：笔记本、尺子、计算器。
教学过程：1. 实践情景引入：通过弹簧演示器展示弹簧的弹性特性，让学生观察和感受弹簧的弹性力。
2. 讲解弹簧的弹性特性：解释弹簧的弹性系数、弹性力和弹性势能的概念，并用公式进行说明。
3. 讲解弹性体的变形与应力：解释弹性体的应变、应力和胡克定律的概念，并用公式进行说明。
4. 讲解弹性体的变形能：解释弹性体的变形能的定义和计算方法，并用公式进行说明。
5. 讲解弹性体的平衡条件：解释弹性体的受力分析和支座反力的概念，并用公式进行说明。
6. 例题讲解：给出一个弹性体的受力分析的例题，让学生运用所学的知识进行解答。
7. 随堂练习：给出几个关于弹性体的变形与应力、变形能和支座反力的问题，让学生进行练习和解答。
板书设计：1. 弹簧的弹性特性：弹性系数、弹性力、弹性势能。
2. 弹性体的变形与应力：应变、应力、胡克定律、弹性模量。
3. 弹性体的变形能：变形能的定义、计算方法、变形能与弹性势能的关系。
4. 弹性体的平衡条件：受力分析、支座反力。
作业设计：1. 计算一个弹簧在拉伸5cm时的弹性力。
答案：根据胡克定律，弹性力F=kx，其中k为弹簧的弹性系数，x 为弹簧的伸长量。
弹性力学ppt课件(2024)
建立一维拉伸或压缩问题的数学模型
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
9
数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
通过受力分析，确定物体在拉伸或压缩过程中的内力分布和变形情况。
2024/1/25
求解一维拉伸或压缩问题的基本方法
运用弹性力学的基本原理和公式，如胡克定律、应力-应变关系等，对一维拉伸或压缩问 题进行求解。
一维拉伸或压缩问题的有限元分析
介绍有限元方法在一维拉伸或压缩问题中的应用，包括网格划分、单元刚度矩阵和总体刚 度矩阵的建立、边界条件的处理等。
适用范围
适用于大多数金属材料在常温、静载 条件下的力学行为。对于非金属材料 、高温或动载条件下的情况，需考虑 其他因素或修正虎克定律。
2024/1/25
7
02
弹性力学分析方法与技巧
2024/1/25
8
解析法求解思路及步骤
01
02
03
04
05
建立弹性力学基 本方程
选择适当的坐标 系和坐标…
求解基本方程
件和载荷。
平面应变问题建模
02
探讨平面应变问题的特性，构建适当的力学模型，并确定边界
条件和载荷。
求解方法
03
介绍适用于平面应力和平面应变问题的求解方法，如有限元法
、有限差分法等，并讨论各种方法的优缺点和适用范围。
18
极坐标下二维问题处理方法
极坐标系的引入
阐述极坐标系的定义和性质，以及与直角坐标系的关系。
根据问题的实际情况，确 定位移边界条件、应力边 界条件以及初始条件。
通过与其他方法（如数值 法、实验法）的结果进行 比较，验证解析解的正确 性和有效性。
2024/1/25
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数值法（有限元法）在弹性力学中应用
有限元法基本原理
有限元模型建立
弹性力学专题知识课件
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2）弹性力学： 在弹性力学中,一般不作出那些假定,故解比较精确。
例如在研究直梁在横向荷载作用下旳弯曲,弹性力学就不引 用了平面截面旳假定；又例如在研究有孔旳拉伸构件，弹 性力学也不假定拉应力在净截断面均匀分布；这使数学推 演复杂, 但解往往是比较精确旳。
3）构造力学： 构造力学研究措施有位移法、力法或混正当等。 弹性力学一般不研究杆件系统，但诸多人致力于弹
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2. 面力
（1）定义：分布在物体表面上旳力。如流体压力和接触力
F 。如图1－3所示。
（2）性质：面力一般是物体表面点旳位置坐标旳函数。
（3）面力集度： S 上面力旳平均集度为： F
S
P点所受面力旳集度为：
z
fz F
f lim F S 0 S
△S F （4）面力分量：
fx
P fy
y
P点旳面力分量为 fx , f y , fz ，量 纲是 L1MT 2
zy yz , yx xy , xz zx
作用在两个相互垂直旳面上而且垂直于该两面交线旳切应 力是互等旳（大小相等，正负号也相同。）
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图1-9
（4）注意弹性力学切 应力符号和材料力学是有 区别旳，图1－9中，弹性
弹性力学 力学里，切应力都为正，
而材料力学中相邻两面旳 旳符号是不同旳。正应力 与材料力学旳正负号要求 相同（即拉为正压为负）。
C
y
z
yx z
x P yz
A
y
（1）为了分析一点P旳应力
状态，在这一点从物体内取出
一种微小旳正平行六面体，各
yz
面上旳应力沿坐标轴旳分量称
y 为应力分量。即每个面上旳应
yx B 力分量可分解为一种正应力和
2）弹性力学： 在弹性力学中,一般不作出那些假定,故解比较精确。
例如在研究直梁在横向荷载作用下旳弯曲,弹性力学就不引 用了平面截面旳假定；又例如在研究有孔旳拉伸构件，弹 性力学也不假定拉应力在净截断面均匀分布；这使数学推 演复杂, 但解往往是比较精确旳。
3）构造力学： 构造力学研究措施有位移法、力法或混正当等。 弹性力学一般不研究杆件系统，但诸多人致力于弹
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2. 面力
（1）定义：分布在物体表面上旳力。如流体压力和接触力
F 。如图1－3所示。
（2）性质：面力一般是物体表面点旳位置坐标旳函数。
（3）面力集度： S 上面力旳平均集度为： F
S
P点所受面力旳集度为：
z
fz F
f lim F S 0 S
△S F （4）面力分量：
fx
P fy
y
P点旳面力分量为 fx , f y , fz ，量 纲是 L1MT 2
zy yz , yx xy , xz zx
作用在两个相互垂直旳面上而且垂直于该两面交线旳切应 力是互等旳（大小相等，正负号也相同。）
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图1-9
（4）注意弹性力学切 应力符号和材料力学是有 区别旳，图1－9中，弹性
弹性力学 力学里，切应力都为正，
而材料力学中相邻两面旳 旳符号是不同旳。正应力 与材料力学旳正负号要求 相同（即拉为正压为负）。
C
y
z
yx z
x P yz
A
y
（1）为了分析一点P旳应力
状态，在这一点从物体内取出
一种微小旳正平行六面体，各
yz
面上旳应力沿坐标轴旳分量称
y 为应力分量。即每个面上旳应
yx B 力分量可分解为一种正应力和
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泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a) 开放腔室，b) 封闭腔室
超弹性材料
小应变 <5%，线弹性，泊松比为0.3 。 大应变，压缩时，泊松比为0.0； 拉伸时，泊松比大于0.0。
泡沫橡胶材料的应力-伸试验曲线与材料演化模型
10.1.2 泡沫橡胶
超弹性材料
对于功独立于荷载路径的弹性材料称之为超弹性（Green弹 性）材料。超弹性材料的特征是存在一个潜在（或应变）能量 函数，它是应力的势能：
( C ) w ( E ) S 2 C E
( C ) w ( E ) τ J σ F S F 2 F F F FS F P C E
功能：
(1)溶胀：橡胶将溶剂吸入体内而形成溶胀状态。 (2)填料：橡胶加填料可以提高其强度、刚度和耐磨性。 (3)应变诱发结晶：橡胶拉伸至一定程度时，橡胶网链 沿拉伸方向作有序排列，有利于形成结晶。
超弹性材料
橡胶具有许多特殊的性能，例如电绝缘性、耐氧老化性、耐 光老化性、防霉性、化学稳定性等。 1839年，Charle Goodyear发明了橡胶的硫化方法，其姓 氏现在已经成为国际上著名橡胶轮胎的商标。 从 19 世纪中叶起橡胶就成为一种重要的工程材料。然而， 橡胶材料的行为复杂，不同于金属材料仅需要几个参数就可 以描述材料特性。橡胶材料受力以后，变形是伴随着大位移 和大应变，其本构关系是非线性的，并且在变形过程中体积 几乎保持不变。
(1)小应变时(<5％)，腔室壁弯曲，泡沫变形是线弹性的。
(2)在常应力作用下，应变不断增长，呈非线性弹性状态，原因是 腔室的边缘柱或腔室壁发生弹性屈曲。 (3)最终腔室压溃，引起压应力迅速增加。 (4)小应变时(＜5％)的变形是线弹性的，类似压缩时的情形。 (5)应变增加时，应力-应变呈非线性弹性，由于腔室壁旋转和有 序排列，导致材料刚度提高，在大约1/3拉伸应变时，腔室壁重新
T T T
通过适当转换获得了对于不同应力度量的表达式
T
由于变形梯度张量F是不对称的，因此名义应力张量P的9个 分量是不对称的。
在橡胶大变形中应用多项式模型和Ogden指数模型。
10.3 橡胶变形力学行为
橡胶本构模型
1 0 0 %
典型固体橡胶材料单轴拉伸应力-应变曲线
10.4 常用橡胶材料的本构关系
弹性常数为
2 G 2 ( C C ), K 10 01 D 1
当
K
E 3 G , 0 . 5
9 KG 3K G 3K 2G 6 K 2G E
第10章 材料 的超弹性力学 行为
10.1.1 固体橡胶 10.1
橡胶材料
橡胶是提取橡胶树、橡胶草等植物的胶乳，加工后制成的具 有弹性、绝缘性、不透水和空气的材料。在半个世纪前，“橡 胶”一词是专指生橡胶，它是从热带植物巴西三叶胶的胶乳提 炼出来的。 目前，世界半数以上的橡胶是合成橡胶。合成橡胶的种类很 多，例如，制造轮胎使用的丁苯橡胶（苯乙烯和丁二烯的共聚 物）或乙丙烯橡胶（ ERP）；用于汽车配件的有氯丁橡胶及另 一种具有天然橡胶各种性能的异戊橡胶。 在众多的合成橡胶中，硅橡胶是其中的佼佼者。它具有无味 无毒，不怕高温和严寒的特点，在摄氏 300 度和零下 90 度时能 够“泰然自若”、“面不改色”，仍不失原有的强度和弹性。 例如生物材料。
平衡方程是以物体中应力的形式建立的，应力来源于变形， 如应变。如果本构行为仅是变形的当前状态的函数，为与时间 无关的弹性本构。而对于接近不可压缩的材料，仅依赖变形 （应变）不一定能够得到应力。
储存在材料中的能量（功）仅取决于变形的初始和最终状 态，并且是独立于变形（或荷载）路径，称这种弹性材料为超 弹性（hyper-elastic）材料，或者为Green弹性，例如常用的 工业橡胶。动物的肌肉也具有超弹性的力学性质。这里主要讨 论橡胶材料的超弹性力学行为。
超弹性材料
常用的橡胶性态可分为固体橡胶和泡沫橡胶。 固体橡胶是几乎不可压缩的，其泊松比接近于0.5。可逆， 大应变。初始各向同性，应变增加后分子定向排列。
固体橡胶材料的拉伸试验曲线与材料演化模型
超弹性材料
一般将多孔橡胶或弹性泡沫材料统称为泡沫材料。弹性泡 沫材料的普通例子有多孔聚合物，如海绵、包装材料等。 泡沫橡胶是由橡胶制成的弹性泡沫材料，能够满足非常大 的弹性应变要求，拉伸时的应变可以达到 500 ％或更大，压缩 时的应变可以达到90％或更小。与固体橡胶的几乎不可压缩性 相比，泡沫材料的多孔性则允许非常大的体积缩小变形，因此 具有良好的能量吸收性。
超弹性材料
橡胶是一种弹性聚合物，其特点是有很强的非线性粘弹性行 为。它的力学行为对温度、环境、应变历史、加载速率都非 常敏感，这样使得描述橡胶的行为变得非常复杂。橡胶的制 造工艺和成分也对橡胶的力学性能有着显著的影响。
由于计算机以及有限元数值分析的飞速发展，我们可以借助 计算机来对超弹性材料的工程应用进行深入研究以及优化设计。 可以用有限元等数值方法来计算分析橡胶元件的力学性能，包 括选取和拟合橡胶的本构模型，以及用有限元建模和处理计算 结果等。
橡胶本构模型
小变形
以多项式形式本构模型为例，其应变能密度表达式为
1 2 i U C ( I 3 ) ( I 3 ) ( J 1 ) ij 1 2 D i j 1 i 1 i
i j N N
I1 3
I2 3
J 1
忽略二阶及二阶以上小量，变为
1 2 U C ( I 3 ) C ( I 3 ) ( J 1 ) 10 1 01 2 D 1
排列，材料轴向刚度不断增加。
图10-2 泡沫橡胶材料的多面体微元模型 a)开放腔室 b)封闭腔室
图10-3 泡沫橡胶材料的应力-应变曲线 a)压缩 b)拉伸
10.2 超弹性材料的本构关系
图10-4 一个物体的参考(未变形)和当前(变形)构形 a)参考(未变形)构形 b)当前(变形)构形
超弹性材料