简易逻辑练习题

1．“|a |>0”是“a >0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为|a |>0a >0或a <0，所以a >0|a |>0，但|a |>0a >0. 2．(2012·陕西)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i 为纯虚数”
的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由a ＋b i 为纯虚数可知a ＝0，b ≠0，所以ab ＝0.而ab ＝0
a ＝0，且
b ≠0.故选B 项．
3．“a >1”是“1a <1”的( )
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既非充分也非必要条件 答案 B
4．(2013·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A ．(绨p )∨(绨q )
B ．p ∨(绨q )
C ．(绨p )∧(绨q )
D ．p ∨q 答案 A
解析 绨p ：甲没有降落在指定范围；绨q ：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即绨p 或绨q 发生．故选A.
5．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( )
A ．若x 2≥1，则x ≥1或x ≤－1
B．若－1<x<1，则x2<1
C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
答案D
解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．
6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案A
解析因为x≥2且y≥2x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如
x＝y＝7
4，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充
分而不必要条件，故选择A.
7．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案B
解析ab＝0a＝0，但a＝0ab＝0，因此，p是q的必要不充分条件，故选B.
8．设M、N是两个集合，则“M∪N≠”是“M∩N≠”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
答案B
解析M∪N≠，不能保证M，N有公共元素，但M∩N≠，说明M，N中至少有一元素，∴M∪N≠.故选B.
9．若x，y∈R，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是()
A．甲：xy＝0乙：x2＋y2＝0
B．甲：xy＝0乙：|x|＋|y|＝|x＋y|
C．甲：xy＝0乙：x、y至少有一个为零
D ．甲：x <y 乙：x y <1
答案 B
解析 选项A ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0，
乙：x 2＋y 2＝0即x 与y 都为0.甲乙，乙甲．
选项B ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0，
乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |即x 、y 至少有一个为0或同号． 故甲乙且乙甲．
选项C ：甲乙，选项D ，由甲x <y 知当y ＝0，x <0时，乙不成立，故甲
乙． 10．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A ；q ：△ABC 是正三角形，那么p
是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝c sin A ，由正弦定理，可得a b ＝b c ＝c a ＝k . ∴⎩⎨⎧ a ＝kb ，
b ＝k
c ，
c ＝ka ，∴a ＝b ＝c .则q ：△ABC 是正三角形成立．
反之，若a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A .
因此pq 且qp ，即p 是q 的充要条件．故选C.
11．“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的( )
A ．充分不必要条件
B ．充分必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵当a ＝1时，f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上单调递增，∴a ＝1f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增，而f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增可得a >0，∴“a ＝1”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件，故选A.
12．“x >y >0”是“1x <1y ”的________条件．
答案 充分不必要
解析 1x <1y xy ·(y －x )<0，
即x >y >0或y <x <0或x <0<y .
13．“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．
答案 充分不必要
解析 题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．
14．如果对于任意实数x ，〈x 〉表示不小于x 的最小整数，例如〈〉＝2，〈－〉＝－1，那么“|x －y |<1”是“〈x 〉＝〈y 〉”的________条件．
答案 必要不充分
解析 可举例子，比如x ＝－，y ＝－，可得〈x 〉＝0，〈y 〉＝－1；比如x ＝，y ＝，〈x 〉＝〈y 〉＝2，|x －y |<1成立．因此“|x －y |<1”是〈x 〉＝〈y 〉的必要不充分条件．
15．已知A 为xOy 平面内的一个区域．
命题甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|⎩⎨⎧ x －y ＋2≤0，
x ≥0，
3x ＋y －6≤0
}；
命题乙：点(a ，b )∈A . 如果甲是乙的充分条件，那么区域A 的面积的最小值是________．
答案 2
解析 设⎩⎨⎧ x －y ＋2≤0，x ≥0，
3x ＋y －6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合
B .由题意，甲是乙的充分条件，则BA ，所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝ 12×4×1
＝2.
16．“a ＝14”是“对任意的正数x ，均有x ＋a x ≥1”的________条件．
答案 充分不必要
解析 当a ＝14时，对任意的正数x ，x ＋a x ＝x ＋14x ≥2x ·14x ＝1，而对任意的
正数x ，要使x ＋a x ≥1，只需f (x )＝x ＋a x 的最小值大于或等于1即可，而在a 为正
数的情况下，f (x )＝x ＋a x 的最小值为f (a )＝2a ≥1，得a ≥14，故充分不必要．
17．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案 0<a ≤5－2
解析 由题意p ：|x －2|<a 2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1－1<x 2－4<13<x 2<5－5<x <－3或3<x < 5.
又由题意知p 是q 的充分不必要条件，
所以有⎩⎨⎧ －5≤2－a ，2＋a ≤－3，
a >0， ①或⎩⎨⎧ 3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0， ②.
由①得a 无解；由②解得0<a ≤5－2.
18．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．
(1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件；
(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件．
答案(1){a|－3≤a≤5}(2)在{a|－3≤a≤5}中可任取一个值a＝0(3){a|a<－3}
解析由题意知，a≤8.
(1)M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件－3≤a≤5.
(2)M∩P＝{x|5<x≤8}的充分但不必要条件，显然，a在[－3,5]中任取一个值都可．
(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5<x≤8}的必要但不充分条件．
结合①②知a<－3时为必要不充分．。