蝴蝶定理古今谈

蝴蝶定理古今谈

蝴蝶定理(Butterfly theorem)，是古典欧氏平面几何中最精彩的结果之一，原本是一个著名的几何难题。该定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年英国的一份通俗杂志《男士日记》第39-40页上；而“蝴蝶定理”这个名称第一次出现在《美国数学月刊》1944年2月号。由于题目中的几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，因此得名。

蝴蝶定理的证法很多，有综合法、三角法、面积法、不等式法、解析法、复数法，反证法等。问题登出的当年，英国一位自学成才的中学数学教师W.G.霍纳给出了第一个繁琐的证明；至于初等的证法，在国外的有关资料中，一般认为是由一位中学教师斯特温(Steven)首先得到的，它用的是面积法；另一个早期的证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出；还有一种证明出现在M.布兰德（Miles Bland）的《几何问题》(1827年)一书中；最为简洁的证法来自射影几何，由英国的J·开世在“A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid”(中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆，1956)中给出，只有一句话，用的是线束的交比；1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何给出的一种比较简单的证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录教授以“平面几

何中的名题及其妙解”为题，向国内介绍了蝴蝶定理；1988年，汪江松、黄家礼二教授在《几何明珠》一书的第21章，对“蝴蝶定理”进行了全面综述，介绍了蝴蝶定理的逆定理及各种引申和推广；1991年，张景中院士的力作“蝴蝶定理的新故事”（载于《中学数学》1991年第1期）以面积比和线段比为工具，与斯特温的证法一脉相承，别开生面，给出了蝴蝶定理的推广和变异，揭示了该定理与著名的Pascal定理的深刻联系，令人耳目一新；2008年，本版版主叶中豪老师在“东方论坛”发帖“蝴蝶定理的本质”，与陈殿林老师就蝴蝶定理的对合本质展开讨论：从射影几何的观点看，蝴蝶定理实质就是迪沙格(G．Desargues，1591—1661)对合定理的推广。

二十多年来，我国的数学专家学者在各级数学专业刊物上发文百余篇，沿不同途径、从不同角度对蝴蝶定理进行了深入、广泛、细致的探讨，从此，这个奇异而优美的蝴蝶定理就像一只色彩斑斓的蝴蝶，在九百六十万平方公里的数学书刊上翩翩飞舞......

在网上溜达了一圈，发现有关“蝴蝶定理”的文献还真不少，可谓汗牛充栋，浩如烟海。今信手搜集了一些，经整理供大家参考：

（1）平面几何中的名题及其巧解，《数学教师》1985年01期

（2）谈谈蝴蝶定理，《数学教师》1985年02期

（3）蝴蝶定理的变异，《数学教师》1985年06期

（4）蝴蝶定理的多种证法，《数学教学研究》1987年03期（5）蝴蝶定理史话，《中学生数学》1989年01期

（6）射影变换下Menelaus定理和Ceva定理，《宁夏大学学报(自然科学版)》1990年01期

（7）蝴蝶定理的新故事，《中学数学》1991年01期

（8）三阶虚圆点曲线的射影变换，《工程图学学报》1991年02期

（9）直线对上的“蝴蝶定理”，《中等数学》1991年06期（10）蝴蝶定理的研究综述，《玉溪师范学院学报》1994年02期

（11）广义蝴蝶定理，《数学通讯》1994年04期

（12）关于蝴蝶定理的推广，《温州师范学院学报》1995年03期

（13）从蝴蝶定理的证明看高等几何对初等几何的作用，《成都师范高等专科学校学报》1995年04期

（14）高观点下的蝴蝶定理，《安康师专学报》1996年02期（15）蝴蝶定理及其推广的射影本源，《数学通报》1996年03期

（16）蝴蝶定理的射影证明及其推广，《洛阳师范学院学报》1996年05期

（17）蝴蝶定理的一个推广，《晋中师范高等专科学校学报》1997年01期

（18）蝴蝶定理的二种高等几何证法，《河南教育学院学报(自然科学版)》1997年02期

（19）关于相似变换射影定义的注记，《四川师范大学学报(自然科学版)》1997年03期

（20）“蝴蝶定理”在射影平面的推广，《陕西教育学院学报》1997年03期

（21）蝴蝶定理的一个推广及应用，《四川职业技术学院学报》2007年03期

（22）蝴蝶定理加强推广与统一处理，《毕节师范高等专科学校学报》1998年01期

（23）蝴蝶定理衍化与统一处理，《蒙自师范高等专科学校学报》1998年01期

（24）射影观点下的蝴蝶定理，《湖南教育学院学报》1998年02期

（25）从蝴蝶定理的射影证明得到的联想，《铜仁师范高等专科学校学报》1999年01期

（26）空间有理三次Bezier曲线的射影变换和蝴蝶定理，《应用数学学报》1999年02期

（27）蝴蝶定理的衍变推广，《楚雄师范学院学报》2000年03期

（28）Steiner定理与蝴蝶定理，《数学通报》2000年12期（29）直线上射影变换的几何结构，《德州学院学报》2001年02期

（30）从蝴蝶定理的证明看高等几何对初等几何的作用，《黔东南民族师范高等专科学校学报》2002年06期

（31）关于蝴蝶定理的思考与探索，《中学生数理化(高三版)》2002年11期

（32）直线型蝴蝶定理的射影讨论，《黄冈师范学院学报》2003年06期

（33）蝴蝶定理——研究性学习的一个好课题，《数学通报》2004年01期

（34）蝴蝶定理——一棵生机勃勃的常青树，《中学数学》2004年08期

（35）关系圆的一个命题，《中等数学》2005年10期（36）关于蝴蝶定理的新证法，《数学学习》2006年01期（37）圆锥曲线“准点弦”的几个性质，《数学通报》2006年03期

（38）蝴蝶定理的另一呈现形式，《数学通报》2006年05期（39）圆锥曲线的一类“过定点”问题，《中学数学教学》2006年06期