等差数列典型例题及分析

第四章 数列

§4.1等差数列的通项与求和

一、知识导学

1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.

2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….

3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.

5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列

6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.

7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．

8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2

b

a +叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析

1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相

同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.

2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.

3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨

⎧≥-==-).

2(),1(1

1

n S S n S a n n n 若a 1适合

a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .

4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.

5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为

n d a n d S n )2(212-+=

，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2

d

，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。

三、经典例题导讲

[例1]已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n －5）是该数列的前几项之和.

错解：（1）a n =3n+7;

(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n 项之和.错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a 1=10≠1,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）a n =3n －2;

(2) 1+4+…+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.

[例2] 已知数列{}n a 的前n 项之和为① n n S n -=22 ② 12

++=n n S n

求数列{}n a 的通项公式。

错解： ① 34)1()1(222

2-=-+---=n n n n n a n ② n

n n n n a n 21)1()1(12

2=-----++=错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=S 1.正解： ①当1=n 时，1

11==S a 当2≥n 时，3

4)1()1(222

2-=-+---=n n n n n a n 经检验 1=n 时 11=a 也适合，∴34-=n a n ②当1=n 时，3

11==S a 当2≥n 时，n

n n n n a n 21)1()1(12

2=-----++= ∴ ⎩⎨⎧=n a n 23

)

2()1(≥=n n [例3] 已知等差数列{}n a 的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于 。

错解：S 30= S 10·2d. ∴ d ＝30， ∴ S 40= S 30+d =100.

错因：将等差数列中S m , S 2m －S m , S 3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S 2m , S 3m 成等差数列.

正解：由题意：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+70

2293030102

9101011d a d a 得152,521=

=d a 代入得S 40 ＝120402

39

40401=⨯⨯+

d a 。[例4]等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和为S n 、T n .若

),(27417+∈++=N n n n T S n n 求7

7b a ；错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;b n =4n+27.

11

10277417777=+⨯+⨯=∴

b a 错因：误认为

=n

n T S n n

b a 正解：79

92

2713411371313777777=+⨯+⨯==++=∴

T S b b a a b a [例5]已知一个等差数列{}n a 的通项公式a n =25－5n ，求数列{}||n a 的前n 项和；错解：由a n ≥0得n ≤5

∴ {}n a 前5项为非负，从第6项起为负，

∴ S n =a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=50(n ≤5)

当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+…+｜a n ｜＝

2

)

5)(520(--n n ∴ S n =⎪⎩

⎪

⎨⎧≥--≤6,2)

5)(520(5,50

n n n n 错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.

正解： ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥+--≤-6,502)5)(520(5,2

)

545(n n n n n n

[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，

由此可以确定求其前n 项和的公式吗？

解：理由如下：由题设： 31010=S 1220

20=S 得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩⎨

⎧==⇒6

41d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+

=2362

)

1(4[例7]已知：n

n a -+=12lg 1024 （3010.02lg =）+∈N n （1） 问前多少项之和为最

大？（2）前多少项之和的绝对值最小？

解：（1） ⎩⎨

⎧<-=≥-+=+02lg 102402lg )1(10241

n a n a n n 3403340112lg 1024

2lg 1024<<⇒+≤<⇒n n ∴3402

=n