何时获得最大利润

Ⅰ．背景材料

数学史话 数学的符号

文字是记录传递信息的符号，数学符号则是一种符殊的语言．十五世纪中期，欧洲文化开始复兴．当时的欧洲人所要求的，是实用的算术和代数，人们一边学习这些起源于阿拉伯与印度的学问，一边对它们加以包括使其符号完备在内的改良．下面，我们择要列举其内容．

“＋，－”外号叫做“计算之父”的德国人惠特曼，于1489年在“过于”、“不足”的意义上开始使用这两个符号，渐渐地，它们被分别用作加法和减法的符号． “”这个符号以根号的意义首次出现于鲁道尔夫的著作《代数》（1525年）一书中． “=”最先出现于瑞科德（1510～1558年）《智慧的砥石》一书中，起初横向写得较长．瑞科德说：“把它用作等号的理由，是因为任何东西都不如等长的平行线这般相等．”

“＜、＞“这两个不等号，最早使用于哈略特（1560～1622年）的著作中．

“ד这个乘法记号见于奥特列德（1574～1660年）的著作．

“x 、y 、z ”表示未知量，“a 、b 、c ”表示已知量，最早由彼埃特使用，后来笛卡尔（1596～1650年）对此作了改良，这种表示法沿用至今．

“sin ，cos ”这两个三角函数的符号是瑞士数学家欧拉最早使用的．

“dx ，dx dy

， yxd ”等等微积分符号是德国数学家莱布尼兹最早提出并使用的．

就中学数学而言，常见的数学符号也有100多个．简明而又精练的数学符号，不仅仅是深奥理论的源泉，也是一门重要的工具．为什么中国古代的数学领先，而近代逐渐落后了？原因之一就是没有使用简明而又精练的数学符号．

悟与问：数学符号的产生是许许多多的数学家努力的结果，是一个艰辛的过程，我们做事情、学习呢？

Ⅱ．课前准备

一、课标要求

体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．

二、预习提示

正确理解和分析实际应用题，找出其数量关系，等量关系，从而找出函数关系，并用函数的最值来帮助解决应用问题．

三、预习效果反馈

某商店若将进价为100元的某商品按120元出售，就能卖出300个．若该商品在120元的基础上，想要降价出售．据市场调查统计，每减价1元，就可多卖出30个．为获得最大利润，商店应将商品定价为多少出售？

Ⅲ．课堂跟讲

一、教材中“？”解答

1．问题（P 60） 解答：（1）销售量可以表示为3200－200x ；（2）销售额可以表示为3200x －200x 2；（3）所获利润可以表示为－200x 2＋3700x －8000；（4）当销售单价为9．25元时，可以获得最大利润为9112．5元．

3．议一议（P 61） 解答：（1）图象略．由图象可知，当x ＜10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x ＞10时，橙子树的总产量随增种橙子树的增加而减少．（2）根据图象，可看出增种6棵，7棵，8棵，9棵，10棵，11棵，12棵，13棵或14棵时，都可以使橙子总产量在60400个以上．

二、重点难点易错点讲解

重点：本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．

难点：本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．

三、经典例题精讲

（一）教材变型题

【例1】 在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次．如在测量了5个大麦穗长之后，得到的数据（单位：cm ）是：6．5、5．9、6．0、6．7、4．5，这些大麦穗的最佳近似长度是使函数y=5x 2－59．2x ＋178．2为最小值的x ，则大麦穗长的最佳近似长度为 ．

思维入门指导：不要被不熟悉的背景所迷惑，实际是求最值的问题．

解：x=－522

.59⨯-=5．92cm ．

（二）中考题

【例2】 （2002，长沙，12分）某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价

（1）在所给的直角坐标系甲中：

①根据表中提供的数据描出实数对（x ，y ）的对应点；

②猜测并确定日销售量y 件与日销售单价x 元之间的函数表达式，并画出图象．

（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P 元，根据日销售规律： ①试求出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数表达式，并求出日销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P 是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．

②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P 元与日销售单价x 元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x 与P 的取值范围．

思维入门指导：根据图象确定一次函数表达式，再应用等量关系得二次函数．

解：（1）①描出四点位置准确如图2-6-1甲所示．

②猜测它是一位函数y=kx＋b．把两点（3，18）、（5，14）代入上式求得k=－2，b=24，则有y=－2x＋24．把（9，6）（11，2）代入，同样满足．

∴所求函数表达式是y=－2x＋24．（*）

（0≤x＜12）和y=0（x=12）画出图象．

（2）①因为销售利润=售出价－进货价，则P=xy－2y．将（1）中（*）式代入则P=y （x－2）=（24－2x）（x－2）=－2x2＋28x－48=－2（x－7）2＋50．当x=7时，日销售利润获得最大值为50元．又当x＞12时，即销售单价大于12元时，此时无人购买，所以此时利润P=0（x≥12）．

由实际意义知，当销售价x=0，即亏本卖出，此时利润P=－48，即为最小值．

②根据实际意义有0≤x＜2时亏本卖出；当x=2或x=12时利润P=0；当x＞12时，即高价卖出无人购买P=0．故作出图2-6-1图象，由图象知x≥0，－48≤P≤50．点拨：此类题目的解答关键分析题意，得出函数表达式．本题不仅应用一次函数，也应用二次函数，由单一趋向复杂．

（三）学科内综合题

【例3】已知：如图2-6-2，抛物线C1经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的表达式；（2）求四边形ABDE的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由；（4）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M（a，b）对称轴与x轴相交于点G，且以M、G、E为顶点的三角形与以D、E、F 为顶点的三角形全等，求a、b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）

思维入门指导：利用数形结合的思想确定A、B、C的坐标，求出C1表达式．四边形ABDE的面积可以分割成两个三角形计算，用三边对应成比例证明两个三角形相似．