序列Z变换与反变换
信号的Z变换与逆变换
信号的Z变换与逆变换信号处理是数字信号处理领域的重要内容，而Z变换是信号处理中常用的数学工具之一。
本文将介绍信号的Z变换及其逆变换的概念及应用。
一、Z变换的概念Z变换是一种在离散时间域中对信号进行频域分析的方法。
它可以将离散序列表示为复平面上的函数，其数学定义如下：给定一个离散时间序列x[n]，其Z变换表示为X(z)，其中z是一个复变量。
X(z)的定义如下：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)Z变换将离散序列x[n]映射到复平面上的函数X(z)，其中z是z轴上的点，通过对X(z)的分析得到信号的频域特性。
二、Z变换的性质Z变换具有一系列重要的性质，这些性质有助于我们对信号的分析和处理。
以下是一些常见的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及信号x1[n]和x2[n]，有X(a*x1[n] + b*x2[n]) = a*X(z1) + b*X(z2)，其中z1和z2是x1[n]和x2[n]的Z变换函数。
2. 延迟性质：对于一个有限长序列x[n-d]，其Z变换为X(z)*z^(-d)。
3. 卷积性质：对于两个序列x1[n]和x2[n]的卷积序列y[n]，其Z变换为Y(z) = X(z) * Z(z)，其中Z(z)是x2[n]的Z变换。
4. 初值定理：对于离散时间序列x[n]，其初始值x[0]等于X(z)在z=1处的极限值。
通过这些性质，我们可以根据Z变换函数来推导和分析信号的特性。
三、Z逆变换的概念Z逆变换是Z变换的逆运算，旨在将Z域中的函数转换回原始的离散时间信号。
Z逆变换的数学定义如下：设X(z)为一个Z变换函数，其Z逆变换表示为x[n]，满足以下公式：x[n] = (1/2πj)∮(C)X(z) * z^(n-1) * dz其中，C是包围Z平面上所有极点的闭合曲线，∮表示沿着C的积分。
通过计算这个积分，我们可以得到离散时间信号x[n]。
四、Z变换与离散时间系统Z变换在信号处理中广泛应用于离散时间系统的分析和设计。
第15讲 Z变换及逆Z变换
m
z)
令m n
X ( z) a m z m
m 1
a
m0
z m a 0 z 0 1 a m z m
m 0
z 当 1，即 z a 时收敛 a 1 a z X z 1 1 z az za 1 a
24
6.3
逆Z变换
•部分分式展开法 •幂级数展开法 •围线积分法——留数法
25
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r N (z) X (z) D( z ) a 0 a 1 z a 2 z 2 a k 1 z k 1 a k z k
n 0
n
1 1 两边，对 z 求导 1 1 z
1 n 1
1 n( z ) 1 2 ( 1 z ) n 0 两边同时乘以z-1 ，可得
L nu n nz
n 0
n
z ( z 1)2
z 1
9
同理可得
n u( n) n z
x ( n) a n u n
0 n
n1
X ( z) a n z n
n 0
a 1 n z a lim n a n 0 z 1 z
a 当 1，即 z a 时收敛 z
j Im( z )
z X z a za 1 z
6.1 概述
1
一．引言
本章主要讨论： Z变换的定义、收敛域、性质，
2
z变换的定义
[数字信号处理]序列的逆z变换
![[数字信号处理]序列的逆z变换](https://img.taocdn.com/s3/m/8eb9ce7eb94ae45c3b3567ec102de2bd9605deee.png)
定义
[数字信号处理 ]序列的逆 z变换
已知序列的z变换X(z),求原序列x(n)称为z反变换
X(z)的 本 质
X(z)本质上是一个关于z的有理函数,可以表示一个关于z的多项式N(z)除一个关于z的多项是D(z). N(z) bmzm + am− 1zm− 1 + . . . + b1z + b0
X(z) = D(z) = anzn + an − 1zn − 1 + . . . + a1z + a0 令分母D(z) = 0,方程的解称为极点,用pk表示 令分子N(z) = 0,方程的解称为零点,用zk表示
部分分式展开法求序列
N(z) bmzm + am− 1zm− 1 + . . . + b1z + b0 X(z) = D(z) = anzn + an − 1zn − 1 + . . . + a1z + a0
Processing math: 100%
我们可以把它转换成一些特定的式子相加,根据z变换的线性性质,我们就可以知道原本的序列
把X(z)分母分解成n个因式相乘
X(z)
N1(z )
A1
Ak
令X1(z) = z = (z− p1) . . . (z− pn) = z− p1 + . . . z− pk x(n) = [A1(p1)n + . . . Ak(pk)n]u(n)
05第五讲 Z 反变 换
(1-66)
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 , zm ] 2j c m
(1-67)
第2章 Z变换
Res［X(z)zn-1, zk ］表示函数F(z)=X(z)zn-1 在极点z=zk 上的留
数。 式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z) 在围线c内部各极点的留数之和。式（1-67）说明，函数F(z)沿 围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之 和。由式（1-66）及式（1-67），可得
该积分路径c在半径为R的圆上，即 z=Rejθ Rx-<R<Rx+ 则
1 1 Rk k 1 k 1 j ( k 1) j c z dz 2j c R e d[Re ] 2 2j 1 0 k 0 k 0, k整数
e
jk
d
(1-65)
第2章 Z变换 这个积分公式（1-65）也称为柯西积分定律。因此
有三种： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展 开法。
第2章 Z变换
2.洛朗级数 设复变函数f ( z )在圆环域R1 z z0 R2内处处解析， 则f ( z )一定能在此圆环域中展 开为洛朗级数: 1 f ( z) n f ( z ) Cn z z0 其中Cn C z z0 n1 dz, 2j n 而C为此圆环内绕z0的任意一简单闭曲线 。 1 特别是当n 1时 : C1 C f ( z )dz 2j
Rx | z | Rx
(1-63)
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2j
c ( Rx , Rx )
第一课序列Z变换与反变换
Bn zn
N r k 1
1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
部分分式展开法计算过程
Ak
(1 zk z1) X (z) zzk
Res
X
(z) z
z
zk
(
1 v
)v1dv
max[Rx1 ,
1 ]< Rx2
v
<
min[Rx1 ,
1] Rx2
Z变换与Laplace 变换的关系
理想抽样信号 xa (t) 的Laplace变换
xa (t)＝xa (t)T (t) xa (nT ) (t nT )
n
Xa (s) L[xa (t)] xa (nT )ensT
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
1
Z[e
j0nu(n)]
1
1 e j0
z 1
,
z
e j0
1
故，Z[cos(0n)u(n)]
11
2
[ 1
e
j0
z
1
1 1 e j0 z1 ],
z
1
双边Z变换的主要性质
2．位移特性 x [n m] z mX(z) ROC = Rx
只有一个一阶极点
zr
1 4
。
x(n)
Res[ zn1
/(4
lesson6 Z变换的逆变换
X z 的收敛域内的一条环绕原点的积分围线。
3.留数定理法
xn X z z n 1dz 可用留数定 对于有理Z变换，围线积分 2 j C 理来计算。设在有限的Z平面上， ak , k 1,2,, N 是 X z z n1 1
在围线 C 内部的极点集， bk , k 1,2,, M 是 X z z n1 在围线 C 外部的极点集。根据柯西留数定理，有
X z A1 A2 1 2 z 1 1 0.5 z 1
2.部分分式展开法
(Partial Fraction Expansion)
例2.16 解(续)：其中
A1 X z 1 2 z
1
z 2
1 4 1 1 0.5 z z2 3 1 1 1 1 2 z z0.5 3
当 n 0 时，因为 X z z n1 在 C 外无极点，且 X z z n1 的分 母与分子多项式阶数之差为 2 n 1 1 n 2因为n为负值 ， 所以有 xn 0, n 0
最后得
1 a n 1 x n u n 1 a
1.幂级数法
解(续)：
1 4 z 1 7 z 2 1 2 z 1 z 2 4 z 1 z 2 4 z 1 8 z 2 4 z 3 7 z 2 4 z 3 7 z 2 14 z 3 7 z 4 10 z 3 7 z 4
A2 X z 1 0.5 z
1
z 0.5
即
1 4 1 X z 1 3 1 2 z 1 0.5 z 1
4 n 1 n 2 0.5 , x n 3 3 0, n0
数字信号处理 6-Z变换
总结：双边序列Z变换的收敛域为由极点限定的圆环
• 例 4.8 x(n)=b|n|， a为实数， 求x(n)的Z变换及其收敛域。
解：
X z
X 1 z
n
1
xn z n
n n
n
1
b n z n
n0
b n z n
z 1 b
X 2 z
z a
X(z)存在要求|a-1 z|<1， 即收敛域为|z|<|a|
4. 双边序列
一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为
X z
X 1 z
n
1
xn z n X 1 ( z ) X 2 ( z )
n
xn z n
0 z Rx
Rx z
X 2 z xn z n
n 0
X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。 如果Rx+>Rx其收敛域为Rx- <|z|< Rx+ ， 这是一个环状域， 如果Rx+ < Rx- ， 两 个收敛域没有公共区域， X(z)没有收敛域， 因此X(z)不存在。
例 4.5求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域
•
X ( z)
n
RN (n) z n z n
1 zN 1 z 1
这是一个因果的有限长序列， 因此收敛域为0<z≤∞。 但由结果 的分母可以看出似乎z=1是X(z)的极点， 但同时分子多项式在z=1 时也有一个零点， 极零点对消， X(z)在单位圆上仍存在，求RN(n) 的FT， 可将z=ejω代入X(z)得到， 其结果和例题4.2中的结果相同。
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
序列Z变换与反变换38页PPT
1、合法而稳定的权力在Байду номын сангаас用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
序列Z变换与反变换
注：若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消 时，收敛域会扩大！
例：已知 x(n) cos(0n)u(n) 求其z变换。
cos(0n)u(n)
1 2
[e
j0n
e
j0n
]u(n)
Z
[anu(n)]
1
1 az1
,
z
a
Z[e
j0nu(n)]
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
若n2 0 : 0 < z < R
Im z
ROC R x+ Re z
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X (z)
x(n)zn
n
ROC R < z < R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
z反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
4
4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
x(n)
-
Res[ zn1
/(4
z )( z
1 4
)]z
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzk
k
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzm
[数字信号处理]序列的z变换
![[数字信号处理]序列的z变换](https://img.taocdn.com/s3/m/938513233868011ca300a6c30c2259010202f394.png)
[数字信号处理]序列的z 变换序列的z 变换z 变换的定义z 变换的定义如下X (z )=∞∑n =−∞x (n )z −n其中z =e j ω,是⼀个复数.在复平⾯上,z 相当于单位圆上的⼀点.典型序列的z 变换单位脉冲序列的z 变换求序列δ(n )的z 变换X (z )=∞∑n =−∞δ(n )z −n =δ(0)z 0=1,0<|z |<∞最后的⼀句话是收敛域阶越序列的z 变换求序列u (n )的z 变换X (z )=∞∑n =−∞u (n )z −n =n =∞∑n =0z −n =11−z −1,|z |>1矩形序列的z 变换求序列R 4(n )的z 变换X (n )=∞∑n =∞R 4(n )z −n =3∑n =0z −n =1+z −1+z −2+z −3=1−z −41−z −1,0<|z |<∞收敛域z 变换的性质线性设x 1(n )的z 变换是X 1(z )x 2(n )的z 变换是X 2(z )如果x 3(n )=ax 1(n )+bx 2(n )那么X 3(z )=aX 1(z )+bX 2(z )X 3(z )的收敛域为X 1(z )的收敛域和X 2(z )的收敛域的交集移位性质双边序列x (n )为双边序列时设x (n )的z 变换是X (z )则x (n +n 0)的z 变换是z n 0X (z )序列移位不会改变z 变换的收敛域右边序列右移公式x (n )为右边序列设x (n )的z 变换是X (z )x (n −1)的z 变换是z −1X (z )+x (−1)x (n −2)的z 变换是z −2X (z )+z −1x (−1)+x (−2)如此类推右边序列左移公式x (n )为右边序列设x (n )的z 变换是X (z )x (n +1)的z 变换是z 1X (z )−x (1)x (n +2)的z 变换是z 2X (z )−z 1x (1)−x (2)如此类推序列乘实指数序列设x (n )的z 变换是X (z )y (n )=a n x (n )的z 变换Y (z )=X (a −1z )复共轭序列的z 变换设x (n )的z 变换是X (z )则x ∗(n )的z 变换是X ∗(z ∗)初值定理设x (n )的z 变换是X (z )则x (0)=lim终值定理设x(n)的z 变换是X(z) \\则x(\infty)=\lim_{z->1}(z-1)X(z)序列类型收敛域有限长序列$0<右边序列$左边序列$双边序列$R_{x-}<Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js帕斯维尔定理(能量定理)时域总能量等于z域总能量(能量守恒)E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega。
第3章离散时间序列及其Z变换
n
f1 (n)
2 1 0 1 2
2 1 3
n
f 2 (n) 3 2 1
f1 (k ) 2 1 0 1 2 3 2 1
k
f 2 (k ) 3 2 1 0 1 2
0
1
2
n
f 2 (− k ) 3 2 1
k
-2 -1
0
k
1、置换 、
2、反褶 反褶
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
n
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 1、单位抽样（脉冲）序列 δ (n) 、单位抽样（脉冲）
1 δ ( n) = 0
n=0 n≠0
1 δ (n − k ) = 0
n=k n≠k
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 2、单位阶跃序列u(n ) 、 ∞ n≥0 1 u( n) = , 也可表示为： u( n) = ∑ δ ( n − m ) 也可表示为： n<0 m=0 0 n≥ k 1 u( n − k ) = n<k 0
2012年 2012年4月4日星期三
第3章 第1节 离散时间信号
二、基本序列（离散时间信号） 基本序列（离散时间信号） 3、矩形序列 、
RN (n )
0 ≤ n ≤ N −1 1 RN ( n) = (其他 n） 0 RN ( n) = u( n) − u( n − N ) 或
第二章(2)序列的Z变换
z
n
Im [z ]
1 0
za
C
当 n 0时 , 因 为 z a， 围 线 c内 F ( z ) 有 一 个 单 阶 极 点 z a , 围 线 c 外 有 一 个 n阶 极 点 z
a R e [z ]
x(n) Re s[ X ( z ) z
k 1
1
n 1
, zk ] Re s[ F ( z ), a] ( z a)
n 1
n2
x(n) z
n
j Im(z )
若 n2 0, 级 数 没 有 负 幂 项 ， 其 收 敛 域 为 0 z R x 若 n2 0, 其 收 敛 域 为 0 z R x 总之，其收敛域是半径为的圆内部，是否包括 原点由的具体取值而定
0
Rx+
Re(z )
例 2 . 5 . 4 求 x ( n ) a u ( n 1)的 Z 变 换 并 确 定 其 收 敛 域
X (z)
n
x(n) z
n
收敛的所有Z值之集合，即
为X(z)的收敛域（ROC，Region of convergence)
2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。
n
x(n) z
n
（ 2 .6 .3 ）
j Im[ z ]
3. 序列的收敛半径
阿贝尔定理:
§2.5 序列的Z变换
2.5.1 Z变换定义 设某序列为x(n)，其Z变换定义为
双 边 Z变 换 X (z) X (z)
n
x (n ) z
n
(2 .6 .1 )
Z变换定义与性质
z sin0
z2 2z cos0 1
尺度变换性质
如果： f (n) F (z)
则： a n f (n) F ( z )
a
若 a = -1： (1)n f (n) F (z)
a0
a可为实数或复数
例2
f (n) an (n)
(n) z
z 1
an (n)
z
a z 1
z za
a
尺度变换性质
Z变换的性质
线性性质 尺度变换性质 时移性质 z域微分特性 卷积和特性
线性性质
如果： f1(n) F1(z)
f2 (n) F2 (z)
则： af1(n) bf2 (n) aF1(z) bF2 (z)
例1：
Z sin(0n) (n)
1 2 j
z z e j0
z z e j0
故
F(z) z za
za
图1 右边序列的收敛域
右边序列的收敛域是Z平面以原点为圆心，
以 a 为半径的圆外区域。
z变换定义和收敛域
。
例2 已知 f (n) bn(n 1),求其双边Z变换及收敛域
解
1
F(z) bn zn (b1z)n 1 (b1z)n
n
n1
n0
1
lim
n
1 (b1z)n 1 b1z
n0
记为： F (z) Z f (n)
称为序列f (n) 的 双边z变换
称为序列f (n) 的 单边z变换
原函数
Z反变换的定义
Ñ f (n) 1
F (z)zn1dz
2π j c
z变换对： f (n) Z -1 F ( z)
简记为： f (n) F(z)
Z变换
数字信号处理第四章Z变换授课教师：胡双红QQ:79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院教学内容Z变换意义Z变换定义Z变换性质Z反变换Z域系统描述差分方程Z变换意义总结DTFT：)便于计算正弦稳态响应；＋利用H(e jw)乘以H(e jw)，可计算LTI系统对绝对可加序列x(n)的响应＋将X (e jw－有用信号u(n)、nu(n)，由于不是绝对可加，DTFT不存在－系统由初始条件或者变化输入引起的暂态响应不能应用DTFT计算针对上述特点，我们引入DTFT的推广：Z变换。
其双边形式提供另一种域：Z域，使很大一类序列和系统都能在其中分析；其单边形式能用于在初始条件或变化输入下求系统响应。
§4.1 双边Z变换定义要点Z变换计算ROC性质定义：要点①复频率z=|z|e jw ，其中|z|为幅度，w 是实频率。
②ROC 是用幅度|z|定义的，所以其形状为圆环。
③如果R x+< R x-，则ROC 是一个零空间，z 变换不存在。
④函数|z|=1(即z=e jw )是z 平面内的单位圆，如果ROC 包括单位圆，在单位圆上对X(z)求值因此离散时间傅里叶变换X(e jw )也称为z 变换X(z)的特例. ⑤ROC 是一个鉴别特征，保证z 变换的唯一性。
()[]n x e n x e X z X n jw jw e z jw Ζ===∑∞−∞=−=)()(|)(例1变换求小结：ROC性质ROC总被某个圆所界定，因收敛条件由幅度|z|决定ROC是一个连通的区域，不会分成几片。
ROC内不包含极点；至少有一个极点位于ROC的边界上;右序列(n>n0)的ROC总是位于半径为Rx-的圆外；左序列(n<n0)的ROC总是位于半径为Rx+的圆内；双边序列的ROC总是一个位于Rx-<|z|< Rx+的圆环。
有限长序列(n2<n<n1)的ROC是整个z平面；若n1<0 ，ROC 不包括z=∞，若n2>0，ROC 不包括z=0；§4.2 z变换的性质性质常见信号Z变换利用conv_m计算表达式乘积 复杂信号z变换简单计算复共轭1 zz ∀变换3⎦⎣解：应用样本移位性质，ROC不变matlab确认>> b=[0,0,0,0.25,-0.5,0.0625];>>a=[1,-1,0.75,-0.25,0.0625];>> [delta,n]=impseq(0,0,8);x =1 0 0 0 0 0 0 0 0>> x=filter(b,a,delta)x =0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 0.0938 >>x=[(n-2).*(0.5).^(n-2).*cos(pi*(n-2)/3)].*stepseq(2,0,8) x =0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 0.0938例：设X1(z)=z+2+3z-1和X2(z)=2z2+3z+4+5z-1，求X3(z)=X1(z)X2(z)。
第二章_Z变换
− ∑ x( m)z −m ]
m =0
n
在单位圆上无极点， 因为 ( z − 1) X ( z ) 在单位圆上无极点，上式两端对 z = 1 取极限
lim( z − 1) X ( z ) = lim[ ∑ x(m + 1) − ∑ x(m)]
z →1 n →∞ m = −1 m =0 n n
Z变换总结
X ( z) =
n=−∞
x(n)z−n = ∑ x(n)z−n + ∑ x(n)z−n ∑
n=0 n=−∞
∞
∞
−1
= 右边序列 + 左边序列
1） 的模决定， （1）由于收敛条件由 |z| 的模决定，所以收敛于一个 圆的边界 收敛， 大的Z的模一定 （2）对右边序列：z > r1 收敛，则比 r1 大的 的模一定 ）对右边序列： 收敛， r1 是右边序列的极点 收敛， 收敛， 小的数一定收敛， （3）对左边序列：z < r2 收敛，比 r2 小的数一定收敛， ）对左边序列： r2 是左边序列的极点
Z [ x ( n + n 0 )] = x ( m ) z − m + n0 ∑
∞
m = −∞
∞ n0 −m = z ∑ x ( m ) z = z n0 X ( z ) m = −∞
20
时移后收敛域一般不发生变化（单边序列0和 有例外 有例外） 时移后收敛域一般不发生变化（单边序列 和∞有例外）
∑
x(n) z − n
要使上式收敛，只要求 n1 ≤ n ≤ n2 时， x(n) < ∞ ，且 且 如果 n1 < 0 ，则收敛域不包括 z = ∞ 点 如果 n 2 > 0 ，则收敛域不包括 z = 0 点 也就是说收敛域至少是除了 z = 0 及 z = ∞ 外的开域
2第二章-z变换
调用： num [ p0 , p1 , p2 , , pM ]
den [d 0 , d1 , d 2 , , d N ] H freqz(num, den, )
ˆ X a ( s)
X (z )
思考练习
?
X a (s)
2. Z变换与傅里叶变换
s j 的拉普拉斯变换即为傅里叶变换，
ze e
sT
jT
映射为z平面的单位圆
jT
X ( z ) z e jT X (e
ˆ ) X a ( j)
抽样序列在单位圆上的z变换，等于其理想抽 样信号的傅里叶变换。
c
c
| H (e j ) |2 d
c
Parseval定理
序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系
统进行分析。它是用{ 变换用{
jt
e
j n
}作为基函数对序
列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶
e
}对模拟信号进行展开相似。
4. 序列傅立叶变换的对称性
• 序列的共轭对称性质
xe (n) xe (n) 若序列 xe (n)满足
则称 xe (n)为共轭对称序列
若序列xo (n)满足 xo (n) x
o
( n)
则称 xo (n)为共轭反对称序列
任何序列 x(n)均可表示成上述两种序列之和，
即x(n) xe (n) xo (n) 1 xe ( n) {x( n) x ( n)} 2 其中 1 xo ( n) {x( n) x ( n)} 2
matlab中z变换例题
matlab中z变换例题Z变换是一种非常重要的信号处理工具，在Matlab中也有很多函数可以用来计算和分析Z变换。
下面是一些常见的Z变换的例题及其相关的参考内容。
例题1：计算Z变换求序列x(n) = {1, 2, 3, 4, 5}的Z变换。
解答：在Matlab中，可以使用ztrans函数来计算Z变换。
具体的函数调用是：X = ztrans(x)其中，x是输入序列，X是Z变换后的结果。
对于这个例子，可以这样计算：x = [1, 2, 3, 4, 5];X = ztrans(x)运行这段代码，将得到X的结果。
例题2：求反变换已知信号X(z) = 1 / (z - 0.5)，求其反变换对应的序列。
解答：在Matlab中，可以使用iztrans函数来计算Z变换的反变换。
具体的函数调用是：x = iztrans(X)其中，X是输入的Z变换结果，x是反变换后的序列。
对于这个例子，可以这样计算：X = 1 / (z - 0.5);x = iztrans(X)运行这段代码，将得到x的结果。
除了以上这些基本的 Z 变换操作之外，Matlab 还提供了很多其他的函数来帮助进行 Z 变换的计算和分析。
例如：1. ztrans函数：计算 Z 变换。
2. iztrans函数：计算 Z 变换的反变换。
3. zpk函数：从传递函数或差分方程中获取零点、极点和增益。
4. tf函数：将传递函数转换为系统对象，以便进行细致的分析。
5. c2d函数：将连续时间系统转换为离散时间系统。
6. residue函数：将传递函数表示为部分分式展开形式。
7. freqz函数：计算数字滤波器的频率响应。
以上是一些常用的 Matlab 函数，用于 Z 变换计算和分析。
在实际应用中，可以根据具体的需求选择合适的函数进行操作。
此外，在阅读 Matlab 文档时，可以查看帮助文档或使用搜索引擎来了解更多关于特定函数的详细信息。
Matlab 官方网站上也提供了大量的教程、示例和文档，可以帮助深入学习和了解 Z 变换在 Matlab 中的应用。
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(4)n1 4141154n2,n2
因此，
x(n)
1
15
1
15
4n , 4n2 ,
n 1 n 2
14
部分分式展开法基本思想
将X(z)分解成一些简单而常见的部分分式之和，然 后分别求出各部分分式的反变换，最后将各反变换 相加即得x(n)。
X (z)B A ((z z))X 1(z)X 2(z)LX k(z) x ( n ) Z 1 [ X 1 ( z ) ] Z 1 [ X 2 ( z ) ] L Z 1 [ X k ( z ) ]
序列 z 变换
z变换的定义与收敛域 z反变换 z变换的性质与定理 z变换与 Laplace, Fourier变换
1
z变换的定义及符号表示
z变换
X(z) x(n)zn
n
z反变换
Ñ x(n) 1 X(z)zn1dz
2πj c
C为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线
物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合
k
Ñ
1
2j
X(z)zn1dz
c
Res[X(z)zn1]zzm
m
z k 为c内的第k个极点，z m 为c外的第m个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。使用第二式的条件是分 母多项式中的z次数比分子多项式高二次以上。
11
Z反变换
• 留数的求法：
(1)当Zr为一阶极点时的留数
R e s [ X ( z ) z n 1 ] Z Z r [ ( z z r ) X ( z ) z n 1 ] z z r
(2)当Zr为l阶(多重)极点时的留数
R e s [X (z )zn 1 ]z z r (l 1 1 )!d d z l l1 1 [(z z r)lX (z )zn 1 ]z z r
12
例： 已知
X(z)
z2
, 1<z<4
(4z)(z1) 4
，求z反变换。
4
X(z)zn1 (4zz)n(z11) 4
3
例：求下列信号的Z变换及收敛域。
x1(n) anu(n)
x2(n)anu(n1)
解：
X1(z)
n0
anzn 1 1az1
za
1
X2(z)
n
anzn1a 1z1
z<a
不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域 却不同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。
几种不同序列z变换的ROC
(1) 有限长序列
15
部分分式展开法计算过程
M
X(z)
B(z) A(z)
bi zi
i0 N
1 aizi
i1
MN n0
Bn
zn
Nr k1
1
Ak zk z1
r k1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
16
部分分式展开法计算过程
A k ( 1 z k z 1 )X (z )z z k R e s X z (z ) z z kk 1 ,2 ,L ,N r
Ck(z1 i)rk (r 1k)! d(d z r1)krk[(1ziz1)rX(z)] zzi k1,2,L,r
根据上述系数，表达式收敛域，确定x(n)。
17
例：已知
X(z)
z2
(z1)(z2)
的收敛域分别为(1) |z|>2 (2)|z|<1 (3)1<|z|<2, 分别求其 所对应的原序列。
符号表示
正变换：X(z)=Z{x(n)} 反变换： x(n) =Z1{X(z)}
或
x(n) zX(z)
2
z变换定义及收敛域
序列z变换的定义为
X(z) x(n)zn
n
能够使上式收敛的z值集合称为z变换的收敛域 (ROC)
充要条件:
x(n)zn M< 绝对可和
n
收敛域(ROC): R< |z|<R+
Im z ROC
R x+
Re z
7
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X(z) x(n)zn
n
ROR C <z<R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
8
z反变换
Ñ x(n) 1 X(z)zn1dz
2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
留数法
部分分式法 长除法
9
z反变换
1.留数法
n2
X(z) x(n)zn
nn1
(1 ) n 1 < 0 , n 2 > 0 时 ， R O C ： 0 < z<
( 2 )n 1 < 0 ,n 2 0 时 ， R O C ： 0 z< ( 3 ) n 1 0 , n 2 > 0 时 ， R O C ： 0 < z
ROC也可能包含0或∞点
罗朗级数公式：
若： X(z) x(n)zn,
n
Rx <z <Rx
则： x(n)21j
X(z)zn1dz,
c
c(Rx,Rx)
c为环形解析域内环绕原点的 一条逆时针闭合围线.
j Im[z]
R x
0
Re[z]
R x
10
cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Z反变换
为计算围线积分，由留数定理可知：
Ñ 1
2j
X(z)zn1dz
c
Res[X(z)zn1]zzk
5
几种不同序列z变换的ROC
(2) 右边序列
X(z) x(n)zn
nn1
若n1 0: z R
若n1 < 0: R < z <
R
x-
Im z ROC
Re z
因果序列的ROC包含∞点
6
几种不同序列z变换的ROC
(3) 左边序列
n2
X(z) x(n)zn
n
若n2 0 : z < R
若n2 0 : 0< z <R
X(z)的极点为z1=-1, z2=2 ，展成部分分式为
X (z)
z
A1 A2
z ( z 1)( z 2) z 1 z 2
A1
(z
1)
X
(z) z
z1
1 3
A2
(z
2)
X
(z) z
z2
2 3
18
例：已知
X(z)
z2
(z1)(z2)
的收敛域分别为(1) |z|>2 (2)|z|<1 (3)1<|z|<2, 分别求其 所对应的原序列。
j Im[z]
4
0 Re[z] 1/4
1）当n≥-1时, zn1在z=0处不会构成极点，此时C内c
只有一个一阶极点
zr
1 4
。
x(n) Res[zn1/(4z)(z14)]z14
(1)n1 41 1 4n,n1
4
4 15
13
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上: