序列Z变换与反变换

罗朗级数公式：
若： X(z) x(n)zn,
n
Rx <z <Rx
则： x(n)21j
X(z)zn1dz,
c
c(Rx,Rx)
c为环形解析域内环绕原点的 一条逆时针闭合围线.
j Im[z]
R x
0
Re[z]
R x
10
c
Z反变换
为计算围线积分，由留数定理可知：
Ñ 1
2j
X(z)zn1dz
c
Res[X(z)zn1]zzk
(2)当Zr为l阶(多重)极点时的留数
R e s [X (z )zn 1 ]z z r (l 1 1 )!d d z l l1 1 [(z z r)lX (z )zn 1 ]z z r
12
例： 已知
X(z)
z2
, 1<z<4
(4z)(z1) 4
，求z反变换。
4
X(z)zn1 (4zz)n(z11) 4
Im z ROC
R x+
Re z
7
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X(z) x(n)zn
n
ROR C <z<R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
8Βιβλιοθήκη Baidu
z反变换
Ñ x(n) 1 X(z)zn1dz
2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
留数法
部分分式法 长除法
9
z反变换
1.留数法
n2
X(z) x(n)zn
nn1
(1 ) n 1 < 0 , n 2 > 0 时 ， R O C ： 0 < z<
( 2 )n 1 < 0 ,n 2 0 时 ， R O C ： 0 z< ( 3 ) n 1 0 , n 2 > 0 时 ， R O C ： 0 < z
ROC也可能包含0或∞点
5
几种不同序列z变换的ROC
(2) 右边序列
X(z) x(n)zn
nn1
若n1 0: z R
若n1 < 0: R < z <
R
x-
Im z ROC
Re z
因果序列的ROC包含∞点
6
几种不同序列z变换的ROC
(3) 左边序列
n2
X(z) x(n)zn
n
若n2 0 : z < R
若n2 0 : 0< z <R
X(z)的极点为z1=-1, z2=2 ，展成部分分式为
X (z)
z
A1 A2
z ( z 1)( z 2) z 1 z 2
A1
(z
1)
X
(z) z
z1
1 3
A2
(z
2)
X
(z) z
z2
2 3
18
例：已知
X(z)
z2
(z1)(z2)
的收敛域分别为(1) |z|>2 (2)|z|<1 (3)1<|z|<2, 分别求其 所对应的原序列。
x(n) -Res[zn1/(4z)(z14)]z4
(4)n1 4141154n2,n2
因此，
x(n)
1
15
1
15
4n , 4n2 ,
n 1 n 2
14
部分分式展开法基本思想
将X(z)分解成一些简单而常见的部分分式之和，然 后分别求出各部分分式的反变换，最后将各反变换 相加即得x(n)。
X (z)B A ((z z))X 1(z)X 2(z)LX k(z) x ( n ) Z 1 [ X 1 ( z ) ] Z 1 [ X 2 ( z ) ] L Z 1 [ X k ( z ) ]
符号表示
正变换：X(z)=Z{x(n)} 反变换： x(n) =Z1{X(z)}
或
x(n) zX(z)
2
z变换定义及收敛域
序列z变换的定义为
X(z) x(n)zn
n
能够使上式收敛的z值集合称为z变换的收敛域 (ROC)
充要条件:
x(n)zn M< 绝对可和
n
收敛域(ROC): R< |z|<R+
k
Ñ
1
2j
X(z)zn1dz
c
Res[X(z)zn1]zzm
m
z k 为c内的第k个极点，z m 为c外的第m个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。使用第二式的条件是分 母多项式中的z次数比分子多项式高二次以上。
11
Z反变换
• 留数的求法：
(1)当Zr为一阶极点时的留数
R e s [ X ( z ) z n 1 ] Z Z r [ ( z z r ) X ( z ) z n 1 ] z z r
序列 z 变换
z变换的定义与收敛域 z反变换 z变换的性质与定理 z变换与 Laplace, Fourier变换
1
z变换的定义及符号表示
z变换
X(z) x(n)zn
n
z反变换
Ñ x(n) 1 X(z)zn1dz
2πj c
C为X(z) 的收敛域(ROC )中的一闭合曲线
物理意义： 将离散信号分解为不同频率复指数esTk的线性组合
j Im[z]
4
0 Re[z] 1/4
1）当n≥-1时, zn1在z=0处不会构成极点，此时C内c
只有一个一阶极点
zr
1 4
。
x(n) Res[zn1/(4z)(z14)]z14
(1)n1 41 1 4n,n1
4
4 15
13
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
3
例：求下列信号的Z变换及收敛域。
x1(n) anu(n)
x2(n)anu(n1)
解：
X1(z)
n0
anzn 1 1az1
za
1
X2(z)
n
anzn1a 1z1
z<a
不同的序列可能对应着相同的z变换表达式，但收敛域 却不同。只有当两者均相同时，才能说两序列相等。
几种不同序列z变换的ROC
(1) 有限长序列
Ck(z1 i)rk (r 1k)! d(d z r1)krk[(1ziz1)rX(z)] zzi k1,2,L,r
根据上述系数，表达式收敛域，确定x(n)。
17
例：已知
X(z)
z2
(z1)(z2)
的收敛域分别为(1) |z|>2 (2)|z|<1 (3)1<|z|<2, 分别求其 所对应的原序列。
15
部分分式展开法计算过程
M
X(z)
B(z) A(z)
bi zi
i0 N
1 aizi
i1
MN n0
Bn
zn
Nr k1
1
Ak zk z1
r k1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
16
部分分式展开法计算过程
A k ( 1 z k z 1 )X (z )z z k R e s X z (z ) z z kk 1 ,2 ,L ,N r