009-小波分析(第四讲)--小波新进展_信号的稀疏表示
小波变换及稀疏表述初步-梅树立
0 , 0 c 0 , 1 c 1 , 0 c 1 , 1 c
对应的矩阵形式为
* , , ... , 0 0 0 1 0 n c0 , , ... , * c 1 0 1 1 1 n 1
4
5
6
7
8
MC=F
F=
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1.5
data1 data2
1
0.5
0
-0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
Denoising By Energy Minimization
Many of the proposed denoising algorithms are related to the minimization of an energy function of the form
0 0 3 0. 5
1 2
0.5
0.5
0
a b dx
2
1
0. 5
(a ( x b) 2 )dx
1 2 1 1 0.5 0.5 0 .5
x dx 2b xdx x 3
3 1
a b dx
2
0.5 x 0.8 b x 2 0.5 a b 2 0 3 0
梅树立
2015/11/8
1
三维空间属于线性空间 大多数的信号如图像等，无法在线性空间描述 线性向量空间和泛函空间 典型的泛函空间：距离空间，Banah空间，内积空 间，Hilbert空间。 构成线性空间的元素是向量（N维），构成泛函空 间的基本元素是函数（基函数）。因此，泛函简称 为“函数的函数”
《小波分析》课件
小波变换与其他数学方法的结合
小波变换与傅里叶分析的结合
小波变换作为傅里叶分析的扩展，能够提供更灵活的时频分析能力，适用于非平稳信号 的处理。
小波变换与数值分析的结合
小波变换在数值分析中可用于函数逼近、数值积分、微分方程求解等领域，提高计算效 率和精度。
小波变换在大数据分析中的应用
特征提取
小波变换能够提取大数据中隐藏的时间或频 率特征，用于分类、聚类和预测等任务。
正则性
小波基的正则性是指其在时频域的连续性和光滑 性，影响信号重构的精度和稳定性。
01
小波变换在信号处 理中的应用
信号的降噪处理
总结词
通过小波变换，可以将信号中的噪声成 分与有用信号分离，从而实现降噪处理 。
VS
详细描述
小波变换具有多尺度分析的特点，能够将 信号在不同尺度上进行分解，从而将噪声 与有用信号分离。在降噪处理中，可以选 择合适的小波基和阈值处理方法，对噪声 进行抑制，保留有用信号。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
图像的压缩编码
01
通用性强
02
小波变换的通用性强，可以广泛 应用于各种类型的图像压缩，包 括灰度图像、彩色图像、静态图 像和动态图像等。
图像的边缘检测
精确检测
小波变换具有多尺度分析的特性，能 够检测到图像在不同尺度下的边缘信 息，实现更精确的边缘检测。
图像的边缘检测
抗噪能力强
小波变换能够有效地抑制噪声对边缘 检测的影响，提高边缘检测的准确性 和稳定性。
信号的压缩编码
总结词
小波变换可以将信号进行压缩编码，减小存储和传输所需的带宽和空间。
详细描述
基于小波域维纳滤波器的信号稀疏表示
(5)
然 而，l0 范 数 极 小 化 问 题 的 求 解 是 个 NP-hard 问 题， 于是可以将问题转化为[14] min α
l1
s.t. y = φα = ΦΨ T x
(6)
1
稀疏表示理论
设实 值 有 限 长 离 散 信 号 x ∈ RN ×1 ，Ψ = {ψ1 , ψ2 , · · · , ψN } 为 某 个 N × N 的 正 交 基，信 号 x 在 基 Ψ 上展开为
意 K 稀疏的矢量 v ， Φ 满足 Φv 2 1 − δK v 2
1 + δK
(4)
式中， δK > 0 称为 RIP 常数. 为解决式 (3) 从已知的线性测量值重构稀疏信号 的问题，一个最直观的想法是考虑 l0 范数极小化，目 的是在可行解集中寻找最稀疏的解， 即 min α
l0
s.t. y = φα = ΦΨ T x
此滤波器可记为对角矩阵形式 Hw = diag(hw (1), hw (2), · · · , hw (N )) 式 中，θ (i) 为 信 号 经 过 小 波变 换 W 后 的 系 数，ε2 为 一 个 很 小 的 常 数. 根 据 式 (7) 可 得 到 基 于 小 波 域 Wiener 滤波器的设计方案， 如图 1 所示. 其中， Hh 为 硬阈值函数，Hw 则为最终构造的小波域维纳滤波器. 经维纳滤波器， 最终得到的小波系数为 θ2 = Hw θ2 (8)
∆
式中， Φ ∈ RM ×N ， M N， y 即为对应于 x 的 M 个 线性测量值. 对式 (2) 所对应的线性方程组， 其未知数 的数目大于方程数，因此若希望直接求解来恢复 x 是 得不到确切解的. 将式 (1) 代入式 (2) 得 y = Φα = ΦΨ T x = Θx (3)
小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换
其他领域
正交小波变换还广泛应用于金 融、医学、地球物理等领域的 数据分析和处理。
03
多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都是小波分析中的重要概念，共同构成了小波 分析的基础。
多分辨分析为正交小波变换提供了理论框架，正交 小波变换是多分辨分析的具体实现。
正交小波变换可以看作是多分辨分析的一种特例， 其中尺度函数和小波函数都是正交的。
正交小波变换的应用场景
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ01
02
03
04
信号处理
正交小波变换在信号处理中主 要用于信号去噪、压缩和特征 提取等。
图像处理
正交小波变换在图像处理中主 要用于图像压缩、去噪、增强 和特征提取等。
数据压缩
正交小波变换可用于数据压缩 领域，特别是对于非平稳信号 和图像数据的压缩，具有较好 的压缩效果和重建精度。
多分辨分析与正交小波变换的区别
02
01
03
多分辨分析主要关注的是函数在不同尺度上的表示， 而正交小波变换更注重在不同尺度上的细节信息。
正交小波变换具有更好的灵活性和适应性，可以针对 特定问题设计特定的小波函数和尺度函数。
正交小波变换在信号处理、图像处理等领域的应用更 为广泛，而多分辨分析更多用于理论分析。
正交小波变换的算法与实现
算法
正交小波变换的算法主要包括一维离散正交小波变换和二维离散正交小波变换。一维离散正交小波变换的算法包 括Mallat算法和CWT算法等，而二维离散正交小波变换的算法主要基于图像分块处理。
实现
正交小波变换的实现通常需要使用数字信号处理库或图像处理库，如Python的PyWavelets库或OpenCV库等。
小波变换的稀疏表示与压缩感知在信号处理中的应用
小波变换的稀疏表示与压缩感知在信号处理中的应用信号处理是一门研究如何从原始信号中提取有用信息的学科。
在信号处理的领域中，小波变换的稀疏表示与压缩感知技术被广泛应用于信号的分析、压缩和重建等方面。
本文将探讨小波变换的稀疏表示和压缩感知技术在信号处理中的应用，以及它们的优势和局限性。
小波变换是一种数学工具，可以将信号从时域转换到频域。
与傅里叶变换相比，小波变换具有更好的时频局域性，能够更好地捕捉信号的瞬时特征。
稀疏表示是指信号在某个特定的基下表示时，只有少数系数是非零的，其余系数都是接近于零的。
小波变换在信号处理中的一个重要应用就是通过稀疏表示来提取信号的重要特征。
通过选择合适的小波基，可以使得信号在该基下的系数呈现出稀疏性，从而实现对信号的有效表示和分析。
稀疏表示的一个重要应用是信号压缩。
在传统的信号压缩方法中，通常使用离散余弦变换（DCT）或离散傅里叶变换（DFT）来对信号进行变换和压缩。
然而，这些方法并不能很好地处理非平稳信号，而小波变换则可以更好地处理非平稳信号的压缩。
通过小波变换的稀疏表示，可以将信号中的冗余信息去除，从而实现信号的高效压缩。
压缩感知技术则是一种新兴的信号压缩方法，它利用信号的稀疏表示和采样理论来实现高效的压缩。
压缩感知技术通过采样信号的部分信息，并通过稀疏表示算法重建信号，从而实现对信号的高效压缩和重建。
小波变换的稀疏表示和压缩感知技术在信号处理中有许多应用。
例如，在图像处理中，小波变换的稀疏表示可以用于图像的去噪和增强。
通过选择合适的小波基和稀疏表示算法，可以将图像中的噪声去除，并突出图像中的细节和纹理。
在语音处理中，小波变换的稀疏表示可以用于语音信号的压缩和识别。
通过选择合适的小波基和稀疏表示算法，可以将语音信号进行高效压缩，并提取出关键的语音特征用于语音识别。
在视频处理中，小波变换的稀疏表示可以用于视频的压缩和分析。
通过选择合适的小波基和稀疏表示算法，可以将视频信号进行高效压缩，并提取出视频中的运动信息和空间特征。
【课件】小波与小波分析初步4PPT
MEXIC帽小波及它的FOURIER 变换
Haar小波，高斯概率密度函数的一
2012-2-23
阶导数生成的小波，墨西哥帽小波
Wavelets analysis
小波族(WAVELETS)
引入小波函数ψ(t) 的平移与伸缩构成函数族
a,b
(t)
|
a
|
1 2
(
t
b a
),
a,b
R,
a
• % 装载实际信号 • load vonkoch • vonkoch=vonkoch(1:510); • lv=length(vonkoch); • subplot(312); • plot(vonkoch,'LineWidth',2); • legend('被分析信号');
• subplot(313); • % 执行连续小波 Mexican hat变换， • ccfs=cwt(vonkoch,1:32,'mexh','abslvl',[200 400]);
0,
|| a,b |||| ||
其中a 为尺度参数，b 为位移参数。
连续小波变换
• 小波变换是对Fourier变换、Gabor变换的进 一步伸延。
• 连续小波变换 设 f L2 (R) ，称
(W
f
)(a,
b)
:|
a
|
1 2
f
(t) (t
b )dt a
积分小波变换，也称为连续小波变换。
系数绝对值并考虑所有尺度的着色模式。
• Xlim＝[x1 x2]并且1<=x1 <= x2 <=length(S)。
009-小波分析(第四讲)--小波新进展_信号的稀疏表示
对于完备编码，需要两个向量， 但是对于过完备编码仅仅需要一 个系数如a1 或 a2 或b1或 b2。
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过完备表示
e2 = [0, 1] =
e1 = [1, 0] =
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过完备表示
e2 = [0, 1] =
e1 = [1, 0] =
100
150
200
250
300
350
400
450
500
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信号的表示---例3
信 号 的 时 域 表 示 (方 波 成 分 的 叠 加 ) 2 1 0 -1 -2 0 50 100 150 200 250
信号的频域表示 200 150 100 50 0
0
50
100
150
量，但是也可以仅仅需要一 个系数如b1或 b2。
f1 = [0.707, -0.707] =
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e2 = [0, 1] = 数据 = { 空间的点 } = {(a1, a2)}
e1 = [1, 0] =
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f2 = [0.707, 0.707] = 数据 = { 空间的点 } = {(b1, b2)}
e2 = [0, 1] = f2 = [0.707, 0.707] = Data = { Points in space } = {(a1, a2, b1, b2)}
e1 = [1, 0] =
f1 = [0.707, -0.707] =
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生物医学信号处理中的稀疏表示与压缩方法研究
生物医学信号处理中的稀疏表示与压缩方法研究一、引言近年来，生物医学信号处理中的稀疏表示与压缩方法成为了一个热门的研究领域，其应用涉及生物医学工程、电子工程、计算机科学等多个领域。
稀疏表示与压缩方法的研究旨在通过降低信号的冗余度，减少信号传输和保存所需的存储空间，从而提高信号处理的效率和准确性。
本文将从稀疏表示和压缩方法两方面探讨生物医学信号处理中的研究现状、应用场景以及未来发展趋势。
二、生物医学信号处理中的稀疏表示稀疏表示是指通过使用尽可能少数量的基向量来表示信号，以达到降低信号冗余、节省存储空间和提高信号处理速度的目的。
稀疏性表示方法在生物医学信号处理中得到了广泛应用，其中最常用的是基于小波变换的稀疏表示方法。
小波变换是一种多分辨率分析方法，将信号分解为不同频率的子带，使得高频细节和低频趋势可以分开处理。
在小波变换中，离散小波变换（DWT）和连续小波变换（CWT）是两种常用的变换形式。
离散小波变换通过一系列的卷积和下采样操作，将信号分解为不同的频带。
离散小波变换可以通过选取不同的小波基函数来实现不同的分解效果，例如Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
连续小波变换通过对信号进行连续的卷积和下采样操作，将信号分解为不同的频带。
连续小波变换主要有基于Morlet小波和基于Mexican hat小波的两种形式。
基于小波变换的稀疏表示方法广泛应用于生物医学信号处理中，如心电信号、脑电信号、语音信号等。
稀疏表示方法可用于信号的去噪、信号的高频补偿、信号的特征提取等方面，具有较好的效果和广泛的应用前景。
三、生物医学信号处理中的压缩方法压缩方法是指通过对信号进行编码压缩，以降低信号保存和传输所需的存储空间和带宽。
在生物医学信号处理中，压缩方法主要应用于图像和视频数据的压缩，例如医学影像数据、生物实验视频等。
基于压缩感知理论的压缩方法是当前比较流行的压缩方法之一。
压缩感知理论通过研究信号的稀疏表示，提出了一种数据压缩和重构的方法。
小波分析全章节讲解
虽然时变信号的频率特性 随着时间而改变，但是这种改 变是渐变的而非突变的，也就 是说，在一个特定的足够小的 区间（窗）内，可以认为信号 的特性是不变的，信号是局部 稳定的或准平稳的。
（二）加窗时频分析 1.时窗处理 将信号在时域内进行分段，等效于用位置不 同的窗函数 g ( t ) 与原信号 f ( t ) 相乘的结果，如下 图所示。在时域内，时间函数一般选取具有能量 局部化的函数。先选定一个基本窗函数 g ( t ) ， 然后将 g ( t ) 沿时间轴平移得到一组窗函数，
en , em 0, m n (m n) 1, m n
对应的傅里叶展开式为
f
f , en en
n 1
规范正交性存在于原基底与对偶基底之间， 展开式也相应的由原基底和对偶基底构成， 这种基称为双正交基，与互为对偶基底。
（6）框架 { 设H为Hilbert空间， k } 为H中的一个函数 序列，若 f H ，都存在实数A,B使得
小波分析的应用领域十分广泛，它包括： 数学领域的许多学科；信号分析、图象处理；量子 力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算 机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊 断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面； 例如： 在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。 在图象处理方面的图象压缩、分类、 识别与诊断，去污等。 在医学成像方面的减少B超、CT、 核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
f (t ) e
j t
d t f ( t ), e
j t
基于傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示
基于二维傅里叶变换和小波变换的图像稀疏表示一、基于二维傅里叶变换的图像稀疏表示傅里叶变换是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特征进行提取和分析。
一幅静止的数字图像可以看成是矩阵，因此，数字图像处理主要是对包含数据的矩阵进行处理。
经过对图像进行二维离散傅里叶变换可以得到它的频谱，进而得到我们所需要的特征。
二维离散傅里叶变换及逆变换可以表示为：其中u=0,1,2,...,M-1和v=0,1,2,...,N-1。
其中变量u和v用于确定它们的频率，频域系统是由F(u,v)所张成的坐标系，其中u和v用做（频率）变量。
空间域是由f(x,y)所张成的坐标系。
傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，其意义是指图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。
一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。
下图为cameraman原图像及其频谱分布图：cameraman原图像大小为256*256，其傅里叶变换频谱图大小为256*256。
图像从频域到时域的变换过程称为重构过程，通过峰值信噪比（PSNR）对图像进行评价，公式如下：PSNR=10*log10((2^n-1)^2/MSE)MSE是原图像与处理后图像之间均方误差，n是每个采样值的比特数。
通过取不同的大系数个数观察图像变化，单独取第1个大系数时：N=1PSNR=12.2353所取频谱系数对应图单独取第9个系数时：N=1PSNR=6.3108第9个频谱系数对应图N=2PSNR= 13.1553所取频谱系数对应图N=10PSNR=15.4961所取频谱系数对应图N=50PSNR= 17.1111所取频谱系数对应图N=100PSNR= 17.9232所取频谱系数对应图N=1000PSNR= 21.5791所取频谱系数对应图N=5000PSNR= 25.5610所取频谱系数对应图N=20000PSNR= 31.6995所取频谱系数对应图从以上图片中可以分析得到，随着大系数的数量不断加大，PSNR值逐步增加，重构图像的效果越好，在大系数到20000个时，图像效果已经较好。
信号处理中的稀疏表示技术研究
信号处理中的稀疏表示技术研究信号处理是一个非常广阔而重要的研究领域，其中涵盖了大量的技术和理论。
而稀疏表示技术则是其中最为重要的技术之一。
今天，我们将深入探讨什么是稀疏表示技术，以及它在信号处理中的应用。
什么是稀疏表示技术稀疏表示技术是指利用少量非零系数来近似表示一个向量或矩阵的技术。
它被广泛应用于信号处理、图像处理、计算机视觉和机器学习等领域，并且已经成为了这些领域中的基础性技术之一。
在稀疏表示技术中，我们假设我们的信号可以表示为向量x的线性组合，而这个向量只有很少的非零系数。
这种假设在实际中非常常见，因为大多数信号都是由少量的基函数或原子组合而成的。
比如说，可以将图像表示为少量的基函数（如小波基）的线性组合。
利用这种假设，我们可以通过优化问题来求解最优的系数向量，从而实现对信号的稀疏表示。
具体来说，稀疏表示问题可以表示为以下形式：minimize ||x-Da||_2subject to ||a||_0 <= k其中，x是我们想要表示的信号，D是表示信号的原子库，a是系数向量，k是我们想要的非零系数的数量。
在这个问题中，我们通过最小化表示误差来求解最优的系数向量a，同时限制a中非零元素的数量不超过k个，从而实现稀疏表示。
稀疏表示技术在信号处理中的应用稀疏表示技术在信号处理中有着非常广泛的应用，下面我们将详细介绍其中的几个方面。
1. 压缩感知压缩感知是一种利用稀疏表示来实现信号压缩的方法。
它通过使用较少的测量样本（比如说，对信号进行采样）来重构完整的信号。
具体来说，压缩感知算法可以表示为以下形式：minimize ||a||_1subject to y = Ax其中，a是系数向量，y是我们的测量向量，A是测量矩阵，x是原始信号。
这个问题可以通过基于稀疏表示的算法来求解，比如说OMP（正交匹配追踪）和MP（匹配追踪）算法等。
2. 图像处理稀疏表示技术在图像处理中有着广泛的应用。
通过将图像表示为稀疏系数向量的形式，我们可以实现对图像的降噪、去模糊、超分辨等操作。
小波变换及稀疏表述初步-梅树立60页文档
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
小波变换及稀疏表述初步-梅树立
1、纪律是管理关系的形式。——阿法 纳西耶 夫 2、改革如果不讲纪律，就难以成功。
3、道德行为训练，不是通过语言影响 ，而是 让儿童 练习良 好道德 行为， 克服懒 惰、轻 率、不 守纪律 、颓废 等不良 行为。 4、学校没有纪律便如磨房里没有水。 ——夸 美纽斯
5、教导儿童服从真理、服从集体，养 成儿童 自觉的 纪律性 ，这是 儿童道 德教育 最重要 的部分 。—— 陈鹤琴
25、学习是劳动Biblioteka 是充满思想的劳动。——乌申斯基谢谢！
小波分析系列讲座4
总结一下前面所讲的内容思想任何一个事物都对应着多个描述空间（从不同角度观察），每个描述空间都由自身的特征描述基构成，若这些特征基可以描述出S中不同事物，则称特征基在S中是完备的。
若这些特征基两两之间不相关，则称其为正交。
当然完备并不要求正交，正交的好处在于每个特征基上描述的信息和其他特征基不相关。
从而消除了信息的冗余（部分重复）表示。
--描述空间也称描述域。
不同特征基也有不同描述和运算规则。
故此我们可以将事物在A描述空间上的特征转为在B空间（也成变换域）的特征，从而更符合于我们的观察或认知角度。
传统的傅里叶变换即是引入无穷余玄基和正玄基来无穷逼近L2空间中的函数。
因余玄基和正玄基的许多优秀性质而被广泛应用。
在图像压缩中，我们就是利用了图像数据的特性，将其转化为符合其特性描述的空间上，从而更好的描述了图像而达到压缩的目的。
而自然图像的数据特性就是其中相邻的象素点的颜色在一个大的概率上相关，否则我们将要看到一片颜色乱变的点。
对此，我们引入图像的频域的描述空间概念，对于大范围内平缓变化的信息，我们称其为低频信息，对于小范围内变化很快的信息，我们称其为高频信息，并将这些信息对应频域上的数值。
低频和高频信息完全在于人为，并不一定要有统一形式。
离散傅里叶变换即是这样一种变换。
它以变化平缓的波来描述低频信息，以变化快速的波来描述高频信息。
因自然图像相关性，故低频信息描述了整体的信息，而高频信息描述了局部细节。
由此知，大部分高频信息的值应该在一个较小的范围内，再结合其他特性，进行压缩。
但傅里叶变换存在一些不足。
例如，要想取得较好的低频信息，我们需要相对较长的变换窗口，而要想取得较好的高频信息，我们又需要较短的窗口。
(非常短窗口的低频信息和非常长窗口的高频信息都几乎没什么很大的意义) , 这样就引起一对矛盾。
小波变换应运而生，为了解决傅里叶变换的不足，它就需要用长窗口来提取低频信息，用短窗口来提取高频信息。
那么它是如何做的呢正如第0节讲到的变换，它就满足了这个要求。
小波分析理论ppt课件
S(w,t ) f (t)g*(w t ) eiwt d t R
(1.12)
25
其中，“*”表示复共轭；g(t)为有紧支集的函数；f(t)为被 分析的信号。在这个变换中，ejwt起着频限的作用，g(t)起 着时限的作用。随着时间t的变化，g(t)所确定的“时间窗” 在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。因此g(t)往往被称为
(1.4)
为序列{X(k)}的离散傅里叶逆变换(IDFT)。 在式(1.4)中，n相当于对时间域的离散化，k相当于频
率域的离散化，且它们都是以N点为周期的。离散傅里叶 变换序列{X(k)}是以2p为周期的，且具有共轭对称性。
9
若f(t)是实轴上以2p为周期的函数，即f(t)∈L2(0，2p) ，则f(t)可以表示成傅里叶级数的形式，即
(1.1)
F(w)的傅里叶逆变换定义为
f (t) 1 eiwt F (w)dw 2 π -
(1.2)
6
为了计算傅里叶变换，需要用数值积分，即取f(t)在R 上的离散点上的值来计算这个积分。在实际应用中，我们 希望在计算机上实现信号的频谱分析及其他方面的处理工 作，对信号的要求是：在时域和频域应是离散的，且都应 是有限长的。下面给出离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)的定义。
。将母函数y(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序
列。
对于连续的情况，小波序列为
y a,b (t)
2
其中，短时傅里叶变换和小波变换也是因传统的傅里叶变 换不能够满足信号处理的要求而产生的。短时傅里叶变换 分析的基本思想是：假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的 一个短时间间隔内是平稳(伪平稳)的，并移动分析窗函数，
小波分析讲稿
8. 离散小波变换
（1）一阶滤波：近似与细节
（2）离散小波旳多尺度分解
按照上述一阶滤波旳过程，信号旳低频部分能 够被继续分解，从而实现了小波旳尺度分解
举例：对一种实际旳信号进行小波分解
3.Wavelet Analysis
小波变换是时间－尺度（时间－频率）分析措施，具有多辨别率分析旳 特点，即窗口大小固定但其形状可变化，时间窗和频率窗可变化旳时频 局部化分析措施。 在低频部分具有较高旳频率辨别率和较低旳时间辨别率； 在高频部分具有较高旳时间辨别率和较低旳频率辨别率。 优点：适合探测正常信号中夹带旳瞬态反常现象并展示其成份，所以被 誉为分析信号旳显微镜，利用小波变换进行动态系统故障检测与诊疗具 有良好旳效果。
－－利用小波包旳多尺度分解能力，把信号分解到多种频率带， 经过检测各频率带信号旳能量变化，能够对点蚀故障进行辨认
实际应用
2.小波消噪 在实际信号测量中，传感器、传播线、电源等所带来旳背
景噪声，往往使测量成果产生误差，严重时甚至可能淹没有用 信号，使测量成果不能正确反应被测对象旳真实状态，降低了 信号分析旳可信度，所以信号消噪是信号处理旳首要问题。
白噪声旳小波变换系数模值随分解尺度旳增长而变旳越来 越小，而信号旳小波变换系数模值随分解尺度旳增长而变旳越 来越大，故可对若干尺度上旳小波系数设置阈值，将分解尺度 上旳噪声所相应旳小波系数进行阈值化置零，保存有效信号所 相应旳小波系数，然后进行重构，则重构后旳信号就是基于小 波变换旳消噪信号。
4、用于机器运营状态监测和故障诊疗
小波包能量谱监测。实际振动中某些常见旳摩擦、冲击等信号，一般 不能以某些正弦分量来表达。所以，有时采用按频带进行能量监测旳措 施，比频谱分析更为合理。
信号处理的小波导引——稀疏方法
信号处理的小波导引——稀疏方法信号处理的小波导引——稀疏方法简介•信号处理是一种重要的技术，可用于从各种信号中获取有用的信息。
在信号处理领域中，小波是一种强大的工具，可用于分析、压缩和恢复信号。
•稀疏方法是一种常用的技术，在信号处理中起着重要的作用。
利用稀疏性，我们可以更有效地处理和表示信号。
本文将详细介绍小波稀疏方法及其在信号处理中的应用。
什么是小波？•小波是一种函数，具有有限长度和局部性。
它可以将信号分解成不同频率的组成部分，并提供时间和频率上的信息。
•与傅里叶变换相比，小波变换可以提供更好的时频局部性，并对非平稳信号具有更好的适应性。
小波稀疏方法•稀疏方法是利用信号的稀疏性来表示和处理信号的技术。
一个信号被称为稀疏的，如果它在某个基向量下的表示具有很少的非零系数。
•小波稀疏方法是一种通过小波变换来实现稀疏表示的技术。
它利用小波基函数和信号的系数来表示信号，其中具有较大系数的部分对应于信号的重要信息。
小波稀疏方法的应用1. 信号压缩•利用小波稀疏方法，我们可以将信号表示为少量的系数。
通过保留较大的系数并置零较小的系数，可以实现对信号的压缩。
•小波压缩可以应用于图像压缩、音频压缩等多个领域，提供更高的压缩比和较好的信号恢复质量。
2. 信号去噪•小波稀疏方法还可以用于信号去噪。
通过对信号进行小波变换，并对小波系数进行阈值处理，可以去除信号中的噪声成分。
•这种方法广泛应用于语音信号去噪、图像去噪等领域，可有效提高信号的质量和清晰度。
3. 信号恢复•在某些应用中，信号可能会受到损坏或丢失。
小波稀疏方法可以用于信号的恢复，即从损坏的信号中恢复出原始信号。
•通过对损坏信号进行小波变换，并利用稀疏表示的特性，可以实现对信号的重建和恢复。
结论•小波稀疏方法是一种重要的信号处理技术，可应用于信号压缩、信号去噪和信号恢复等多个领域。
•它通过利用小波基函数和信号的系数来表示信号，实现了对信号的高效处理和表示。
•借助小波稀疏方法，我们可以更好地理解信号的时频特性，并从中提取有用的信息。
《小波分析》PPT课件
级数的系数k, j 正好是信号f(x)的
小波变W f换a, b
在二进离散点：
2k , 2k j
(37)
上的取值。这说明：对于正交小波来说，任 何信号在二进离散点上的小波变换包含了它 的小波变换的全部信息，所以
正交小波具有优美的谱吸收特点。
小波变换与Fourier变换
Fourier变换：
➢ 对于任何信号f(x)，只有当它是时间有 限时，它的谱F()(Fourier变换)才是频 率吸收的；
a ,b
a ,b
a ,b
b aE a , b + aE a
E a a , E a a
(32)
Appendix B Fig.2. 小波在时-频相平面上的窗
1
0
2 t
t0
t1
2.3.4. 小波的时-频特性
小 波 时 - 频 窗 的 面 4积 恒 等
于
；
小波的时-频窗是时-频相平面中的
注释
注释：如果小波母函数 x
的
Fourier
0
变换
在原0点 0
是于连是续
明
x的d，x 那 0么公式(2)说
R
，
这说明函数 x 有波动的特点，公
式(1)又说明函x数
有衰减的特
点，因此 ，x称函数
为“小
1.2 小波变换(Wavelet Transform)
对 于 任 意 的 函 数f x或L2R者 信
对于正交小波 x ， k, j x; k, j Z 2
是一个标准正交基，所以，对于任何信号 f(X)，可以展开成小波级数：
f x
k, j k, j x
k j
(35)
小波变换及稀疏表述初步-梅树立PPT文档60页
35、不要以为自己功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
小波变换及稀疏表述初步-梅 树立
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
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谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
小波变换及稀疏表述初步-梅树立
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
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信号的表示---例4
信 号 的 时 域 表 示 (方 波 与 正 弦 波 的 叠 加 ) 5
0
-5 0 50 100 150 200 250
信号的频域表示 600
400
200
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
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100
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200
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400
450
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信号的表示---例3
信 号 的 时 域 表 示 (方 波 成 分 的 叠 加 ) 2 1 0 -1 -2 0 50 100 150 200 250
信号的频域表示 200 150 100 50 0
0
50
100
150
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信号的表示---例2
信 号 的 时 域 表 示 (正 弦 成 分 的 叠 加 ) 2 1 0 -1 -2 0 50 100 150 200 250
信号的频域表示 150
100
50
0
0
50
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像素基→傅里叶基
e2 = [0, 1] = Image = Point in space = a1e1 + a2e2 =
w2
e1 = [1, 0] =
w1
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图像在傅里叶基上的表示
f2 = [0.707, 0.707] =
(低频)
图像= 空间的点
f1 = [0.707, -0.707] =
e5 e1 = [1, 0] =
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过完备表示
e2 = [0, 1] = e4 e3
e5 e1 = [1, 0] = e6
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过完备表示
e2 = [0, 1] =
e3
e1 = [1, 0] =
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过完备表示
e2 = [0, 1] =
e3
e1 = [1, 0] =
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过完备表示
e2 = [0, 1] = e4 e3
e1 = [1, 0] =
小波分析技术的新发展
──信号的稀疏表示
阳建宏
北京科技大学
2013-11-18
信号的表示
信号的表示是建立在内积之上的 设M 为一个线性赋范空间，由基底
i ; i 1, 2,, n
生成，则任一
x M 可由下式给出
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i 1 i
n
i
两边取内积
x , ( , )
n j i 1 i i j
j 1, 2,, n
解联立方程组，得 i
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信号的表示
信号的表示是建立信号在一组基下的分解系数定义了 信号的一种表示，这种表示可以描述信号的某种性质
1 n 2 x i i 1 , 2 , , n i 1 n
(高频)
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图像在傅里叶基上的表示
f2 = [0.707, 0.707] =
(low frequency)
b2
图像= 空间的点 = b1f1 + b2f2
=
f1 = [0.707, -0.707] =
(high frequency)
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f2 = [0.707, 0.707] = 数据 = { 空间的点 } = {(b1, b2)}
f1 = [0.707, -0.707] =
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f2 = [0.707, 0.707] = Data = { Points in space } 对于完备编码，需要两个向 = {(b1, b2)}
0
-5 0 50 100 150 200 250
信号的稀疏表示 1
0.5
?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
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0
信号的表示---例5
成分1 4 2 0 -2 -4 4 2 0 -2 -4
?
0 50 100 成分2 150 200 250
图像在像素基上的表示
e2 = [0, 1] = 图像= 空间的点
e1 = [1, 0] =
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图像在像素基上的表示
e2 = [0, 1] = 图像= 空间的点 = a1e1 + a2e2
e1 = [1, 0] =
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图像在像素基上的表示
f2 = [0.707, 0.707] =
数据 = { 空间的点 } = {(b1, b2)}
= {b2}
f1 = [0.707, -0.707] =
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e2 = [0, 1] = 数据 = { 空间的点 } = {(a1, a2)}
e1 = [1, 0] =
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小波变换的不足使人们开始寻求更好的非线性 逼近工具.
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边缘在小波的各个尺度上扩散
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稀疏几何表示
过去几年,在数学分析、计算机视觉、模式识别、 统计分析等不同学科中,分别独立地发展着一种 彼此极其相似的理论:多尺度几何分析.发展多 尺度几何分析的目的是为了检测、表示、处理 某些高维奇异性. 对于二维图像,奇异性主要由边缘所刻画,因此 主要的任务是处理边缘。目前,提出的多尺度几 何分析方法主要有: Ridgelet、Curvelet、 Bandelet、Contourlet等.
信号的表示---例4
成分1 4 2 0 -2 -4 4 2 0 -2 -4 4 2 0 -2 -4
0
50
100 成分2
150
200
250
0
50
100 成分3
150
200
250
0
50
100 150 200 信 号 的 时 域 表 示 (方 波 与 正 弦 波 的 叠 加 )
250
5 0 -5 0 50 100 150 200 250
对于完备编码，需要两个向量， 但是对于过完备编码仅仅需要一 个系数如a1 或 a2 或b1或 b2。
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过完备表示
e2 = [0, 1] =
e1 = [1, 0] =
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过完备表示
e2 = [0, 1] =
e1 = [1, 0] =
信号的表示---例4
信 号 的 时 域 表 示 (方 波 与 正 弦 波 的 叠 加 ) 6 4 2 0 -2 -4 -6 0 50 100 150 200 250
信号的稀疏表示 50 40 30 20 10 0 -10 0 100 200 300 400 500 600
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e2 = [0, 1] = 数据 = { 空间的点 } = {(a1, a2)} = {a2}
e1 = [1, 0] =
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e2 = [0, 1] = 数据 = { 空间的点 } = {(a1, a2)}
e1 = [1, 0] =
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信号的稀疏表示
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过完备
有众多的例子说明单一的基不能有效地表示信号； 例如：傅里叶基可以很好的表示谐波信号，但不能 有效地表示瞬变信号。 可以通过组合几个基，从而提高信号表示(变换)的有 效性； 若干个基的组合 过完备的。 (单一基------完备的） 组合得到的过完备基又称为原子库。
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过完备表示
e2 = [0, 1] = e4 e3
e1 = [1, 0] =
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过完备表示
e2 = [0, 1] = e4 e3
e5 e1 = [1, 0] =
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过完备表示
e2 = [0, 1] = e4 e3
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信号的表示---例5
信 号 的 时 域 表 示 (?) 5
0
-5 0 50 100 150 200 250
信号的频域表示 300
200
100
0
0
50
100
150
200
250