第八章图论第讲义13节

e
u
v
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有向图 D = ( V, A ) 中，弧 a = ( u, v )∈ A，称 顶点 u 是弧 a 的始点，称顶点 v 是弧 a 的终 点。
u
v
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2. 关联边（弧）
无向图 G = ( V, E ) 中，边 e = [ u, v ]∈ E，称边
e 是顶点 u 的关联边，也称边 e 是顶点 v 的关联
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3. 边和弧
图中，两顶点之间的连线为无向的（不带箭头），
称为边，记为 E = { ei }。一条连接顶点 vi 和 vj 的边
记为 [ vi , vj ] 。
vi
ei
vj
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图中，两顶点之间的连线为有向的（带箭头），称 为弧，弧为 A = { ai }。一条由顶点 vi 指向顶点 vj 的 弧记为 ( vi , vj ) 。
u
e
第19页
有向图 D =( V, A ) 中，弧 a = (u, u) ，即弧的始 点和终点相同，称该弧为环。
u
e
第20页
5. 简单图 无向图中，一个无多重边、无环的无向图，称为 简单图。 有向图中，一个无多重弧、无环的有向图，称为
简单图。
第21页
6. 多重图 无向图中，一个有多重边，但无环的无向图，
边。
e
u
v
第15页
有向图 D = ( V, A ) 中，弧 a = ( u, v ) ∈ A，称
弧 a 是始点 u 的关联弧，也称弧 a 是终点 v 的
关联弧。
u
a
v
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3. 多重边（弧）
无向图 G = ( V, E ) 中，边 e1=[u, v]、e2=[u, v]、…
、ek=[u, v]∈E，即两个端点 u 和 v 之间的边多于
第八章图论第13节
第一节 图的基本知识 第二节 欧拉图与中国邮路问题 第三节 树 第四节 最短路（链）问题 第五节 网络最大流问题 第六节 最小费用流问题
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1. 图论的产生
图论是运筹学应用十分广泛的一个分支。瑞士数学 家欧拉（E Euler）于 1736 年发表了一篇题为“依据 几何位置的解题方法”的论文，有效地解决了哥尼 斯堡七桥难题（欧拉证明了每个点都只与奇数条线 相关联，所以从某一点开始，不重复地走过7座桥， 最后回到出发点是不可能的），这是有记载的第一 篇图论论文，欧拉被公认为图论的创始人。
1936年——20世纪中期：电子计算机和离散数学问 题的发展，使得作为提供离散数学模型的图论得以 迅速发展。 目前图论被广泛应用到管理科学、计算机科学、信
息论、控制论等各个领域，并取得了丰硕的成果。
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第一节 图的基本知识
一、图的基本概念
1. 图 由一些点和一些点之间的连线所组成的二元组 ，称为图。 2. 顶点 图中点集 V = { v i } 中的元素 v i 称为顶点。
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无向图
有向图
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5. 无向图中顶点数、边数的表示方式
顶点数：p(G)，简记为p。 边 数：q(G)，简记为q。 6. 有向图中顶点数、弧数的表示方式 顶点数：p(D)，简记为p。 边 数：q(D)，简记为q。
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二、图的引申概念
1. 端点、始点、终点
无向图 G = ( V, E ) 中，边 e = [ u, v ]∈ E，称 顶点 u 和 v 是边 e 的端点，也称顶点 u 和 v 是 相邻的。
vi
ai
vj
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4. 有向图和无向图 由点和边所构成的图，称为无向图，记为 G= ( V, E ) ，式中 V 是无向图 G 的点集合； E 是无向图 G 的边 集合。
由点和弧所构成的图，称为有向图，记为 D = ( V, A ) ，式中 V 是有向图的点集合G ； A 是有向图 G 的弧集 合。
4. 奇点 次数为奇数的顶点称为奇点。
如上例中的顶点 v3 和 v4 。
5. 偶点 次数为偶数的顶点称为偶点。 如上例中的顶点 v1 和 v2 。
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例：
v2
v4
v5
e1
e4
e5
v1
e2
v3
e3
d(v5)=0 d(v1)=4
第3页
A C
B
D
第4页
2. 图论的发展
1736 年—— 1936 年：匈牙利数学家 O. KÖnig 于 1936 年出版了名为《有限图与无限图的理论》，为 图论研究的第一本专著。从 1736 年欧拉的第一篇 论文，到这本专著的出版，前后经历 200 年之久， 这一时期图论的发展是缓慢的。
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第24页v1e4源自e1v2e2
v4
e5
e3 e6 v3
e7
v6
e8
v5 e9 v7
d(v1)=2，d(v2)=2，d(v3)=4 d(v4)=3，d(v5)=3，d(v6)=2
d(v7)=2
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注：环的顶点的次数为 2 次。
例：
v2
v4
v5
e1
e4
e5
v1
e2
v3
e3
d(v1)=4，d(v2)=2， d(v2)=3，d(v4)=1，d(v5)=0
称为多重图。 有向图中，一个有多重弧，但无环的有向图， 称为多重图。
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例：
简单图
多重图
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三、顶点的次
1. 顶点的次 ➢在无向图中，以顶点 v 为端点的边的个数称为顶 点 v 的次，记为 d(v)。 ➢在有向图中，以顶点 v 为始点的弧数，称为顶点 v 的出次，记为 d + (v)。 ➢在有向图中，以顶点 v 为终点的弧数，称为顶点 v 的入次，记为 d - (v)。 ➢在有向图中，以顶点 v 的出次和入次之和，称为 顶点 v 的次，记为 d(v)。
一条，称这些边为多重边。
e1
u
ei
v
ek
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有向图 D = ( V, A ) 中，弧 a1=(u, v)、a2=(u, v)、… 、ak=(u, v)∈A，即由始点 u 指向终点 v 的弧多于 一条，称这些弧为多重弧。
a1
a1
u
ai
v
u
v
ak
a2
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4. 环 无向图 G = ( V, E ) 中，边 e = [ u, u ] ，即边的两 个端点相同，称该边为环。
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2. 悬挂点、悬挂边、悬挂弧 ➢次数为 1 的顶点称为悬挂点。
如上例中的顶点 v4。 ➢无向图中，连接悬挂点的边称为悬挂边。
如上例中的边 e5。 ➢有向图中，连接悬挂点的弧称为悬挂弧。
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例：
v2
v4
v5
e1
e4
e5
v1
e2
v3
e3
d(v4)=1
第28页
3. 孤立点 次数为 0 的顶点称为孤立点。 如上例中的顶点 v5 。