空间力系。重心讲解
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8
力对轴的矩 的符号规定
右手法则
+
--
二、合力矩定理
与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：
mz
R
mz
F1
mz
F2
mz
Fn
mz
Fi
空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中各分力
对同一轴的矩的代数和。称为空间力系的合力矩定理
空间合力矩定理可以用来确定物体的重心位置
9
[例1] 已知P=2000N, C点在Oxy平面内。求力P对三个坐标 轴的矩。
x
F2
F1
13
对于空间平行于 z 轴的平行力系：
mz F 0
则 X 0
成为恒等式
Y 0
故空间平行于 z 轴的
F3
平行力系的平衡方程为：
Z 0
mx F 0 my F 0
x
z
Fn
F1 y O
F2
14
几种典型的空间约束
1、球形铰链
15
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承
16
g
b
O
Fy
Fx
6
§6-2 力对轴的矩
一、力对轴的矩的概念
7
由实例可知：力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
力对z轴的矩定义：
F
Fz — 平行于Z轴的分量 Fxy — 垂直于Z轴的平面内分量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
mz F mO Fxy Fxy d
2OA' B' 的 面 积
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是 代数量。其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影与力 臂d （轴与平面的交点到力在平面内投影的垂直距离）的 乘积，其符号按右手法则确定。
设作用在刚体上有 空间一般力系
F1 ,F2 ,F3 Fn
11
如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三
轴移动，也不能绕x、y、z三轴转动。即满足:
X 0, mx F 0
Y 0,
my
F
0
Z 0, mz F 0
空间力系一般的平衡方程
空间一般力系平衡的充要条件：
解：
Pz P sin 45
Px P cos 45 sin 60
Py P cos 45 cos 60
mx P mx Px mx Py mx Pz 0 0 6Pz
6P sin 45 84.8Nm
my P my Px my Py my Pz 0 0 5Pz
Fz
g
b
O
Fy
Fx Fz
g
O
Fx
Fy
Fxy
5
三、由坐标轴上的投影量求力F：
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力F在直角坐标轴的投影量。
则F的大小和方向： Fz
F Fx2 Fy2 Fz2
cos
Fx
Fx2 Fy2 Fz2
cos b
Fy
Fx2 Fy2 Fz2
cos g
Fz
Fx2 Fy2 Fz2
方位角确定。
4
二、力在空间坐标轴上的投影 1、一次投影法（直接投影法）
X Fx F cos Y Fy F cos b Z Fz F cos g
2、二次投影法（间接投影法） 先将 F 投影到xy面上，然后再 投影到x、y轴上。
X Fx F sing cos
Y Fy F sing sin Z Fz F cos g
mx 0， 200ZB 300Pz 50Q sin 20 0
ZB 2040N Z 0， ZA ZB Pz Q sin 20 0，Z A 385N
22
§6-5 重心的概念
一、物体重心的概念 物体的每个微小部分都受到重力作 用，可认为该力系是空间平行力系 平行力系的合力，称为物体的重力
平行力系的中心，称为物体的重心
Wi W
Wi W
二、研究物体重心的意义 重心位置会影响物体的平衡和稳定 例如：不倒翁玩具、飞机和船舶、高速旋转的转子等
23
§6-6 重心坐标公式
一、平行力系的中心 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是 空间平行力系的中心 由合力矩定理可得：
5Psin 45 70.7Nm
mz P mz Px mz Py mz Pz
6P cos 45 sin 60 5P cos 45cos 60 38.2N m
10
§6-4 空间力系的平衡方程
建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同， 都是采取力系简化的方法。只是对于空间力系推导平衡条件的 过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间一般力系平 衡方程。
3、滑动轴承
17
4、 止 推 轴 承
My
Mx
18
5、带有销子的夹板
19
6、空间固定端
20
[例1] 已知:RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求平衡时力Q和轴承A , B处的约束反力？ (Q力作用在C轮的最低点） 解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三轴 力矩的代数和都必须分别等于零。
共六个独立方程，可以求解独立的六个未知量。
12
对于空间汇交力系：（选取汇交点为原点）
mx F 0
则
my
F
0
成为恒等式
mz F 0
F3 z
Fn
故空间汇交力系的平衡方程为：
y
X 0 Y 0
O
Z 0
1
第六章 空间力系 重心
§6–1 工程中的空间力系问题
§6–2 力在空间坐标轴上的投影
§6–3 力对轴的矩
§6–4 空间力系的平衡方程
§6–5 重心的概念
§6–6 重心坐标公式
§6–7 物体重心的求法
习题课
2
§6-1 工程中的空间力系问题
空间力系：作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且
不能简化到某一平面时，这种力系称为空间力系。
最好每一个方程有一 个未知量，方便求解
Y 0， YA Py 0， YA Py 352N
my 0， Pz 50 100Q cos 20 0
Q 746N
21
mz 0， 300Px 50Py 200X B 50Q cos 20 0
X B 437N X 0， X A X B Px Q cos 20 0，X A 729N
例如： Z1
P1
Z2
P2 z
(a) 空间汇交力系； (b) 空间平行力系；
y (c) 空间一般力系。
X1
X2
x
迎面 风力
侧面 风力
3
b
§6-2 力在空间坐标轴上的投影
一、力在空间的表示：
g b
O
q
Fxy
力的三要素：
大小、方向、作用点
大小： F F
作用点：
在物体的哪点就是哪点
方向：
由力与坐标轴或平面的
力对轴的矩 的符号规定
右手法则
+
--
二、合力矩定理
与平面力系情况类同，空间力系的合力矩定理为：
mz
R
mz
F1
mz
F2
mz
Fn
mz
Fi
空间力系的合力对某一轴的矩，等于力系中各分力
对同一轴的矩的代数和。称为空间力系的合力矩定理
空间合力矩定理可以用来确定物体的重心位置
9
[例1] 已知P=2000N, C点在Oxy平面内。求力P对三个坐标 轴的矩。
x
F2
F1
13
对于空间平行于 z 轴的平行力系：
mz F 0
则 X 0
成为恒等式
Y 0
故空间平行于 z 轴的
F3
平行力系的平衡方程为：
Z 0
mx F 0 my F 0
x
z
Fn
F1 y O
F2
14
几种典型的空间约束
1、球形铰链
15
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承
16
g
b
O
Fy
Fx
6
§6-2 力对轴的矩
一、力对轴的矩的概念
7
由实例可知：力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
力对z轴的矩定义：
F
Fz — 平行于Z轴的分量 Fxy — 垂直于Z轴的平面内分量
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
mz F mO Fxy Fxy d
2OA' B' 的 面 积
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是 代数量。其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影与力 臂d （轴与平面的交点到力在平面内投影的垂直距离）的 乘积，其符号按右手法则确定。
设作用在刚体上有 空间一般力系
F1 ,F2 ,F3 Fn
11
如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三
轴移动，也不能绕x、y、z三轴转动。即满足:
X 0, mx F 0
Y 0,
my
F
0
Z 0, mz F 0
空间力系一般的平衡方程
空间一般力系平衡的充要条件：
解：
Pz P sin 45
Px P cos 45 sin 60
Py P cos 45 cos 60
mx P mx Px mx Py mx Pz 0 0 6Pz
6P sin 45 84.8Nm
my P my Px my Py my Pz 0 0 5Pz
Fz
g
b
O
Fy
Fx Fz
g
O
Fx
Fy
Fxy
5
三、由坐标轴上的投影量求力F：
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力F在直角坐标轴的投影量。
则F的大小和方向： Fz
F Fx2 Fy2 Fz2
cos
Fx
Fx2 Fy2 Fz2
cos b
Fy
Fx2 Fy2 Fz2
cos g
Fz
Fx2 Fy2 Fz2
方位角确定。
4
二、力在空间坐标轴上的投影 1、一次投影法（直接投影法）
X Fx F cos Y Fy F cos b Z Fz F cos g
2、二次投影法（间接投影法） 先将 F 投影到xy面上，然后再 投影到x、y轴上。
X Fx F sing cos
Y Fy F sing sin Z Fz F cos g
mx 0， 200ZB 300Pz 50Q sin 20 0
ZB 2040N Z 0， ZA ZB Pz Q sin 20 0，Z A 385N
22
§6-5 重心的概念
一、物体重心的概念 物体的每个微小部分都受到重力作 用，可认为该力系是空间平行力系 平行力系的合力，称为物体的重力
平行力系的中心，称为物体的重心
Wi W
Wi W
二、研究物体重心的意义 重心位置会影响物体的平衡和稳定 例如：不倒翁玩具、飞机和船舶、高速旋转的转子等
23
§6-6 重心坐标公式
一、平行力系的中心 空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是 空间平行力系的中心 由合力矩定理可得：
5Psin 45 70.7Nm
mz P mz Px mz Py mz Pz
6P cos 45 sin 60 5P cos 45cos 60 38.2N m
10
§6-4 空间力系的平衡方程
建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同， 都是采取力系简化的方法。只是对于空间力系推导平衡条件的 过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间一般力系平 衡方程。
3、滑动轴承
17
4、 止 推 轴 承
My
Mx
18
5、带有销子的夹板
19
6、空间固定端
20
[例1] 已知:RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N。求平衡时力Q和轴承A , B处的约束反力？ (Q力作用在C轮的最低点） 解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三轴 力矩的代数和都必须分别等于零。
共六个独立方程，可以求解独立的六个未知量。
12
对于空间汇交力系：（选取汇交点为原点）
mx F 0
则
my
F
0
成为恒等式
mz F 0
F3 z
Fn
故空间汇交力系的平衡方程为：
y
X 0 Y 0
O
Z 0
1
第六章 空间力系 重心
§6–1 工程中的空间力系问题
§6–2 力在空间坐标轴上的投影
§6–3 力对轴的矩
§6–4 空间力系的平衡方程
§6–5 重心的概念
§6–6 重心坐标公式
§6–7 物体重心的求法
习题课
2
§6-1 工程中的空间力系问题
空间力系：作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且
不能简化到某一平面时，这种力系称为空间力系。
最好每一个方程有一 个未知量，方便求解
Y 0， YA Py 0， YA Py 352N
my 0， Pz 50 100Q cos 20 0
Q 746N
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mz 0， 300Px 50Py 200X B 50Q cos 20 0
X B 437N X 0， X A X B Px Q cos 20 0，X A 729N
例如： Z1
P1
Z2
P2 z
(a) 空间汇交力系； (b) 空间平行力系；
y (c) 空间一般力系。
X1
X2
x
迎面 风力
侧面 风力
3
b
§6-2 力在空间坐标轴上的投影
一、力在空间的表示：
g b
O
q
Fxy
力的三要素：
大小、方向、作用点
大小： F F
作用点：
在物体的哪点就是哪点
方向：
由力与坐标轴或平面的