2013届华东师大版数学全国中考复习方案第16讲二次函数的应用

第16讲┃ 回归教材
中考变式
[2012· 嘉兴 ] 某汽车租赁公司拥有 20辆汽车．据统计， 当每辆车的日租金为 400元时，可全部租出；当每辆车的日 租金每增加 50元，未租出的车将增加 1辆；公司平均每日的 各项支出共 4800元．设公司每日租出 x辆时，日收益为 y 元． (日收益＝日租金收入－平均每日各项支出 ) (1)公司每日租出 x辆时，每辆车的日租金为 ________元 (用含 x的代数式表示)； (2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大 是多少元？ (3)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益不盈也不 亏？
第16讲┃ 归类示例
解： (1)根据题意，知这个正方体的底面边长 a＝ 2 x cm， EF＝ 2 a＝2x (cm)， ∴ x＋ 2x＋ x＝ 24 ， x＝ 6，a＝6 2 cm， V ＝ a3＝ (6 2 )3＝ 432 2(cm3)． (2)设包装盒的底面边长为 y cm，高为 h cm，则 y＝ 2x， 24－2x h＝ ＝ 2(12－x)， 2 ∴ S＝ 4yh＋ y2 ＝4 2 x· 2(12－x)＋( 2 x)2＝－ 6x2＋ 96x＝ － 6(x－ 8)2＋384， ∵ 0<x<12，∴当 x＝ 8时，S取得最大值 384 cm2.
第16讲┃ 归类示例
(3)当球正好过点 (18，0)时，y＝a(x－ 6)2＋h还过点(0， 2)点， 1 2＝ 36a＋ h， a＝－54， 代入解析式得： 解得： 0＝ 144a＋ h， h＝8， 3 1 2 8 此时二次函数解析式为： y＝－ (x－ 6) ＋ ， 54 3 8 此时球若不出边界则 h≥ . 3
第16讲┃ 归类示例
(2)某广告商要求包装盒的表面积 (不含下底面)S最大，试 问 x应取何值？
图 16－ 3
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据已知得出这个正方体的底面边长 a＝ 2x cm，EF＝ 2 a＝2x(cm)，再利用 AB＝24 cm，求出x进而 可得出这个包装盒的体积 V； (2)利用已知表示出包装盒的表面面积，进而利用函数 最值求出即可．
第16讲┃ 回归教材
解： (1)(1400－50x) (2)y＝ x(－50x＋1400)－ 4800＝－ 50x2＋ 1400x－4800 ＝－ 50(x－ 14)2＋ 5000. 当 x＝14时，在 0≤ x≤20范围内， y有最大值 5000. ∴当每日租出 14辆时，租赁公司日收益最大，最大值 为 5000元． (3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即 y＝ 0. 即－ 50(x－14)2＋5000＝ 0，解得 x1＝24，x2＝4. ∵ x＝24不合题意，舍去． ∴当每日租出 4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏 .
[2011· 盐城 ]ຫໍສະໝຸດ Baidu利民商店经销甲、乙两种商品．现有 如下信息：
图 16－ 2
第16讲┃ 归类示例
请根据以上信息，解答下列问题： (1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元？ (2)该商店平均每天卖出甲商品 500件和乙商品 300件．经 调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降 0.1元，这两种 商品每天可各多销售 100件．为了使每天获取更大的利润， 商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降 m元．在不考 虑其他因素的条件下，当 m定为多少时，才能使商店每天销 售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多 少？
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相 转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆 等知识解决问题，求二次函数的关系式是解题关键．
第16讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 利用二次函数解决抛物线形问题
命题角度： 1. 利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、跳 水等抛物线形问题； 2. 利用二次函数解决拱桥、护栏等问题．
图 16－ 1
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)利用h＝2.6，将 (0，2)代入解析式求出即可； 1 (2)利用当 x＝9时， y＝－ (x－ 6)2＋2.6＝2.45，当y＝0时， 60 1 － (x－6)2＋ 2.6＝ 0，分别得出即可； 60 (3)根据当球正好过点 (18，0)时， y＝a(x－6)2＋h的图象还过 (0，2)点，以及当球刚能过网，此时函数的图象过点 (9，2.43)， y＝ a(x－ 6)2＋ h的图象还过点 (0，2)分别得出h的取值范围，即可 得出答案．
第16讲┃二次函数的应用
第16讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 二次函数的应用
二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这 就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题， 应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方 案等问题．
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考点2
建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题
第16讲┃ 归类示例
[2012· 安徽 ] 如图 16－ 1，排球运动员站在点 O处练习发 球，将球从 O点正上方 2 m的 A处发出，把球看成点，其运行的高 度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 y＝ a(x－ 6)2＋ h.已知球 网与 O点的水平距离为 9 m，高度为 2.43 m，球场的边界距 O点的 水平距离为 18 m. (1)当 h＝ 2.6时，求 y与 x的关系式(不要求写出自变量 x的取值 范围 )； (2)当 h＝ 2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理 由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求 h的取值范围．
第16讲┃ 归类示例
[2012· 无锡 ] 如图 16－ 3，在边长为 24 cm的正方形 纸片 ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三 角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装 盒 (A、 B、 C、 D四个顶点正好重合于上底面上一点 )．已知 E、 F在 AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两 个端点，设 AE＝ BF＝ x cm. (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒 的体积 V；
第16讲┃ 归类示例
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根据实际问 题的特点建立直角坐标系，设出合适的二次函数的关系式， 把实际问题中已知条件转化为点的坐标，代入关系式求解， 最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之二 二次函数在营销问题方面的应用
命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
答：甲商品的进货单价是 2元，乙商品的进货单价是 3元 .
第16讲┃ 归类示例
(2)设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s元，则 m m s＝ (1－ m)500＋ 100× ＋ (5－3－ m)300＋ 100× 0.1 0.1 即 s＝－ 2000m2＋ 2200m＋ 1100 ＝－ 2000(m－ 0.55)2＋ 1705. ∴当 m＝ 0.55时， s有最大值，最大值为1705. 答：当 m定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商 品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元．
第16讲┃ 归类示例
当球刚能过网，此时函数图象过点 (9， 2.43)， y＝ a(x－ 6)2 ＋ h的图象还过点(0， 2)，将两点坐标代入解析式得： 43 2 a＝－2700， 2.43＝ a（ 9－ 6） ＋ h， 解得 2 2＝ a（ 0－ 6） ＋ h， h＝193， 75 193 8 193 8 此时球要过网则 h≥ .∵ ＞ ，∴ h≥ ， 75 3 75 3 故若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围是： 8 h≥ . 3
第16讲┃ 回归教材
回归教材
如何定价利润最大
教材母题 华东师大版九下P27T2
某商人开始时，将进价为每件 8元的某种商品按每件 10 元出售，每天可销出 100件．他想采用提高售价的办法来增 加利润．经试验，发现这种商品每件每提价 1元，每天的销 售量就会减少 10件． (1)写出每天所得的利润 y (元 )与售价 x(元/件)之间的函 数关系式； (2)每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最 大？
第16讲┃ 归类示例
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结合思 想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题 进行互相转化，充分运用三角函数解直角三角形，相似、 全等、圆等来解决问题，充分运用几何知识求关系式是关 键．二次函数与三角形、圆等几何知识结合时，往往涉及 最大面积，最小距离等问题，解决的过程中需要建立函数 关系，运用函数的性质求解．
第16讲┃ 归类示例
解： (1)∵ h＝ 2.6，球从 O点正上方 2 m的 A处发出， ∴ y＝ a(x－ 6)2＋ h过点(0， 2)， 1 2 ∴ 2＝ a(0－ 6) ＋ 2.6，解得： a＝－ ， 60 1 故 y与 x的关系式为： y＝－ (x－ 6)2＋ 2.6. 60 1 (2)当 x＝ 9时， y＝－ (9－ 6)2＋ 2.6＝ 2.45＞ 2.43， 60 所以球能过球网； 1 当 y＝ 0时，－ (x－ 6)2＋ 2.6＝ 0， 60 解得 x1＝ 6＋ 2 39＞ 18， x2＝ 6－ 2 39(舍去)． 故球会出界．
第16讲┃ 回归教材
解：(1)根据题意得，y＝(x－ 8)[100－10(x－ 10)]， 整理得y＝－10x2＋ 280x－1600. (2)配方得 y＝－10(x－ 14)2＋ 360，所以当 x＝ 14时有最大 值，即售价为 14元时利润最大．
第16讲┃ 回归教材
[点析] 根据问题情景建立函数关系式，然后根据二 次函数的最值求最大利润时自变量的值．
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)相等关系：甲、乙两种商品的进货单价之和 是5元；按零售价买甲商品 3件和乙商品2件，共付了 19元． (2)利润＝(售价－进价)×件数．
解： (1)设甲商品的进货单价是 x元，乙商品的进货单价 是 y元．
x＋ y＝ 5， 根据题意，得 3（ x＋ 1）＋ 2（ 2y－ 1）＝ 19， x＝ 2， 解得 y＝ 3
第16讲┃ 归类示例
二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问 题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系 式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的 取值解决利润最大问题．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1. 二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉 及最大面积，最小距离等； 2. 在写函数关系式时，要注意自变量的取值范围．