有关校车安排问题的数学建模

国贸一班钟传兴200910430118

关于校车的安排问题

摘要：校车安排问题涉及到最短距离的求出与资源的最优化配置，以及教师工作人员对这种安排的满意度，和相关经费等问题。关于这些问题的解决，可以利用计算机计算求解结果，然后统一实施安排。最后，我们充分考虑现实生活中存在的一些情况，提出一些建议，以提高乘车人员的满意度，而且可以有效节省运行成本及相关费用。

关键词：数学建模；最短距离；车辆安排；floyd函数；lingo函数；满意度；计算机计算，图论；MATLAB。

1.问题重述：

近年来，许多大学都建有新校区，自然就涉及到新老校区教师及有关工作人员的运送问题。主要体现在校车的合理安排上，一种情况是教师及有关工作人员到乘车点走的路太多，另一种情况是教师及有关工作人员在乘车点等待的时间太久，其次还有汽车的能耗问题，这就要求我们提供一种比较合理的令人满意的比较经济的乘车地点的选择和发车时间的安排。

依据题中所给的数据完成以下问题：

（1）、如要建立n个乘车点，为使各区人员到最近乘车点的距离最小，该将校车乘车点应建立在哪n个点。建立一般模型，并给出2,3

n=时的结果。

（2）、若考虑每个区的乘车人数，为使教师和工作人员满意度最大，该将校车乘车点应建立在哪n 个点。建立一般模型，并给出2,3

n=时的结果。

（3）、若建立3个乘车点，为使教师和工作人员尽量满意，至少需要安排多少辆车？给出每个乘车点的位置和车辆数。设每辆车最多载客47人（假定车只在起始站点载人）。

（4）、关于校车安排问题，你还有什么好的建议和考虑。可以提高乘车人员的满意度，又可节省运行成本

2.模型的假设及符号声明

2.1模型的假设

（1）、假设所有乘车点设立在各小区（点）上，乘车站点不设立在路上。

为简单起见，假设所有的站点和小区为一个质点不考虑它的实际大小。

（2）、题目中表1所给出的两区距离的两小区之间可以直达，未给出小区距离的两小区之间必须通过有已知距离小区绕行。

（3）、假设在校园里交通是畅通无阻的，在路上不会发生任何意外。

（4）、假设车的状况都相同。

（5）、忽略坐上车之后耗时（根据绝大多数人的心理，坐上车之后就感觉很快就会到达目的地）及其他因素对学生满意程度的影响。

（6）、假设人们对满意度的评价只和去乘车点所走路程总和为参考，假设所有人走路速度基本相同，假设人们坐上车就会很快出发。

2.2符号声明和术语声明

)

,2,,50

)

3.模型的分析

3.1问题一的分析

这是一个最优化问题。目的是在校园里设立n个乘车点，使各区人员到最近乘车点的距离最小。在假设所有乘车点都设在各区域内，而不设在路上前提下，50≤n的情况就没有意义，所以仅考虑1≤n≤50的情况。这时我们分四步思考：首先，我们从50个小区中任意选出n个小区作为乘车点；然后，算出每个小区分别到这n个乘车点的可能途径的路程，再经过比较确定每一个小区

到这n 个乘车点中每一个乘车点的最短路程；之后可确定每一个小区的最近乘车点，再把每一个小区到距离它最近的乘车点的路程加起来得∑，依次类推把这50

n C

种可能∑的都算出来；比

较这五十∑，其小的∑对应的n 个小区就作为建立n 个乘车点的最佳乘车点！

3.2问题二的分析

3.3问题三的分析

该问要同时求出最优的三个乘车点和最优的车辆分配方案，为简化模型起见，我们直接用问题二的3个点17，22，31点作为乘车点，使教师和工作人员尽量满意，我们假设这个满意度是以教师和工作人员到乘车点所走的总距离和为量度。

一、考虑到现实情况中并不是所有的教师会在同一时间坐车去新校区，因为并不是所有的教师都在同一时间上课，

二、考虑到因为是学校内部的教师专用车，所以通常教师坐车会集中在几个时间段，大致服从以下坐标系的分布

三、一般而言，早上坐车的老师在一天中所占比例最高，设为p1，这个比例的求出可以通过抽样调查的方式确定。对全体2501位老师进行抽样调查，得出他们在上午8点坐车的比例在每周的五个工作日的平均值。

3.4问题四的分析

我们要解决的问题是：提高乘车人员的满意度；节省运行成本。即协调乘车人员想随到随走的期望和运行商想车座满后再走的矛盾。

分两个方面考虑：乘车人员、运行商

4.模型的建立、求解及结果表示

4.1问题1的模型

4.1.1问题1模型的建立

用()B n 表示各小区到达n 个乘车点中距离各自最近的乘车点的最短路程之和

用()1,2,

,50i

j

Q j =表示小区()150j P j ≤≤到乘车点()150i Q i n ≤≤≤的最短路程

当选取n

个乘车点时，共有50n C 种选择情况，对于每一种情况均可得出以下两个矩阵

11

211122221323

3

1502

5050

n n n n

Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭

{}{}{}

{}1

2

3501111

2122

313

3

5015050min min min min i n

i n i n i n Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ⎛⎫= ⎪ ⎪= ⎪ ⎪= ⎪ ⎪

⎪= ⎪

⎝

⎭

（其中， 12350,,,,i i i i Q Q Q Q 有可能就是同一个乘车点）

从而可得：50

1

()

k

i k

k B n Q ==∑

针对每一种情况考虑()B

n ，对结果进行比较得到：

目标函数：min ()B n

得出min ()B n 所对应那一种组合（12n

Q Q Q ）即可得

n

个乘车点的具体位置

4.1.2问题一的求解

由题目给出的各区距离表1及假设1、2运用Floyd 算法（参见附录一 floyd.m 文件，矩阵a 表示表1各点之间的距离），可以求出50区中任意两区之间的最短路。

当n=2时，在50个点中一共有250

C

种取法，分别对每一种取法运用matlab 进行运算，可以得

到(2)B ,求出min (2)B 所对应的两乘车点（具体的matlab 运算程序参见附录二）

同理，当n=3时，在50个点中一共有350

C

种取法，分别对每一种取法运用matlab 进行运算，

可以得到(3)B ,求出min (3)B 所对应的三乘车点（具体的matlab 运算程序参见附录三）

当n>3时，在50个点中一共有50

n C

种取法，依然分别对每一种取法求出()B n ，求出min ()

B n 所对应的n 个乘车点。但随着n 值的增大，此时虽然在计算机编程上理论上可行，但是计算量明