工科离散数学第8章图

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离散数学第八章第3讲课件.ppt

6
5 u0 fedb
acg69 Nhomakorabea6
6 u0 fedba cg
9
6
7 u0 fedbag c
9
8 u0 fedbagc
S
S’ l(a) l(b) l(c) l(d) l(e) l(f) l(g)
利用Dijkstra算法求最短路径结果
f
2
e
71 2
35 1
a
8
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4
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g3
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d
b
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f
2
e
71 2
35 1
a
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u0 4
4
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g3
46
d
b
6c
算法执行过程
f
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e
35
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a
8 u0 4
24
7
3
3
4g 6
d
1 u0
2 u0 f 3 u0 fe 4 u0 fed
b
6c
abcdefg 8 4 ∞ ∞ 2 1 7
abcdeg 8 4 ∞ 4 2
7
abcdg 8 4 ∞ 3
7
abcg
849
１．邻接矩阵
定义：设Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞是简单图，其中V={v1,v2,…vn}，定义一个nxn的矩阵A，并把其中各元素 aij 表示成：
aij
1 0
若〈vi ,v j〉 E 若〈vi ,v j〉 E
则称矩阵A为图G的邻接矩阵。
例：图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞和其邻接矩阵如下图所示：
０１００
A
００１１１１０１

(优选)离散数学图论版

(3)G1与G2的差,定义为图G3＝〈V3,E3〉,记为G3=G1-G2。其中E3=E1-E2,V3=(V1-V2)∪{E3中边所关联的顶点}。 (4)G1与G2的环和,定义为图G3＝〈V3,E3〉,
G3=(G1∪G2)-(G1∩G2),记为G3=G1 G2。
除以上4种运算外,还有以下两种操作:
E={e1,e2}={(v1,v2),(ห้องสมุดไป่ตู้2,v3)};
f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11;
g(e1)=4.6,g(e2)=7.5
8.1.2 结点的次数
定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v); 以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度), 记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点 v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。
i 1
i 1
定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。
证设次数为偶数的结点有n1个,记为(i=1,2,…,n1)。次数为奇数的结点有n2个,记为(i=1,2,…,n2)。
由上一定理得
n
n1
n2
2m deg(i ) deg(Ei ) deg(Oi )
i 1
i 1
i 1
因为次数为偶数的各结点次数之和为偶数。所以
孤立结点的次数为零。
定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为
V={v1,v2,…,vn},则 n
deg(i ) 2m
i 1
证因为每一条边提供两个次数,而所有各结点次数
之和为m条边所提供,所以上式成立。

离散数学第八章

12
欧拉图(续)
例图中, (1), (4)为欧拉图; (2), (5)为半欧拉图; (3)，(6)既不是欧拉图, 也不是半欧拉图. 在(3), (6)中各至少加几条边才能成为欧拉图?
13
欧拉图的判别法
定理无向图G为欧拉图当且仅当G连通且无奇度顶点. 无向图G是半欧拉图当且仅当G连通且恰有两个奇度顶点. 定理有向图D是欧拉图当且仅当D连通且每个顶点的入度都等于出度. 有向图D具有欧拉通路当且仅当D连通且恰有两个奇度顶点, 其中一个入度比出度大1, 另一个出度比入度大1, 其余顶点的入度等于出度.
9
8.2 欧拉图
欧拉通路欧拉回路欧拉图半欧拉图
10
哥尼斯堡七桥问题
欧拉图是能一笔画出的边不重复的回路.
11
欧拉图
欧拉通路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的通路. 欧拉回路: 图中行遍所有顶点且恰好经过每条边一次的回路. 欧拉图: 有欧拉回路的图. 半欧拉图: 有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明：上述定义对无向图和有向图都适用. 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路, 欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.
第8章一些特殊的图
8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密顿图 8.4 平面图
1
8.1 二部图二部图完全二部图匹配极大匹配最大匹配匹配数完备匹配
2
二部图
定义设无向图 G=<V,E>, 若能将V 划分成V1 和 V2 (V1V2=V, V1V2=), 使得G中的每条边的两个端点都一个属于V1, 另一个属于V2, 则称G为二部图, 记为<V1,V2,E>, 称V1和V2为互补顶点子集. 又若G 是简单图, 且V1中每个顶点都与V2中每个顶点相邻, 则称G为完全二部图, 记为Kr,s, 其中r=|V1|, s=|V2|. 注意: n 阶零图为二部图.

工科离散数学第8章图

[定义8-3：度] 一个图G= <V,E>中，与结点v V关联的边数称作该结点的度（度
数）（degree），记作dG(v) ，或简记为d(v) 。有向图中，射出v的边数称为v的出度，记作d+(v) ，射入v的边数称为v的入度，记作d-(v) 。
注意：(1)也可用d+(v)表示入度，用 d-(v)作为出度。
图能提供对问题和已知信息的一种清晰和直观的表达。一般认为，图论（graph theory）作为数学的一个分支，起源于欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究，但它的应用几乎遍布于科学研究与生产实践的每个领域。
8.1 图的基本概念
Discrete mathematics
[直观的图] 简单地说，图是由结点和结点之间的连线组成的图形，线长及结点位置无关紧要。图论关心的是图形的拓扑结构，即研究与大小、形状无关的点和线之间的关系。
8.1.2 结点的度与握手定理
Discrete mathematics
[定义8-4] 若G为无向图，称 (G)=maxv V{d(v)}为图G的最大度，称 δ(G)=minv V{d(v)}为图G的最小度。有向图G中，分别称
+(G)=maxv V{d+(v)} 、 δ+(G)=minv V{d+(v)}为最大出度和最小出度， -(G)=maxv V{d-(v)} 、 δ-(G)=minv V{d-(v)}为最大入度和最小入度。
01
命题逻辑
02
谓词逻辑
03
集合的概念与运算
目录
04 05
关系
函数
06
运算与代数系统
07
环、域、格、布尔代数
08
图论

离散数学课件_8 图的基本概念

13 2014-9-23
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9 2014-9-23
第六节哈密尔顿图(2)
(1) 设 G=(V,E) 是哈密尔顿图，则对 V 的任意非空子集 S均有W(G-S) ≦|S|, 其中GS表示在G中删除S中的点以及以S为端点的边后所构成的图； W(G-S) 表示 G-S 的连通分支数; (2)设G=(V,E)是n阶无向简单图，若对G中任意不相邻的顶点 u,v 都有 d(u)+d(v) ≧n-1,则G存在哈密尔顿路，因此G是半哈密尔顿图； (3) 设 G 是 n 阶简单图，则是哈密尔顿图当且仅当其闭包是哈密尔顿图.

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11 2014-9-23
第七节二分图(2)
(2)图G的匹配M是最大匹配当且仅当G不含 M的可扩路; (3)设G=(V,E)为二分图,顶点划分为V= V1 ∪ V2 ,则G存在饱和V1的每个顶点匹配的充要条件是对任何S V1均有 |N(S)|≧|S|； 3.算法：匈牙利算法，解决了二分图的匹配问题。

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6 2014-9-23
第五节欧拉图(1)
欧拉图是一类非常著名的图，之所以如此，不仅是因为欧拉是图论的创始人，更主要是欧拉图具有对边（弧）的“遍历性”. 1.概念有:欧拉路,欧拉图,半欧拉路,半欧拉图,割边等；

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7 2014-9-23
第五节欧拉图(2)
2.结论有:(1)无向连通图G是欧拉图的充要条件是G中每个顶点的度均为偶数； (2)设G是无向连通图，则G是半欧拉图的充要条件是G恰含有两个奇数度点. 3.算法:在欧拉图中找欧拉路的Fleury算法.
第八章图的基本概念

离散数学第8章树(祝清顺版)88页PPT文档

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离散数学
第八章树
2007年8月20日
生成树的存在条件
定理3 任何无向连通图G 至少存在一棵生成树.
[证] 若连通图G中无回路, 则G为自身的生成树. 若G中包含回路, 则随意地删除回路上的一条边, 而
vVdeg(vi) =2m =2(n1). 另一方面, 设T有x片树叶, 可得
2(n1)= vVdeg(vi) ≥x+2(nx) 由上式解出x≥2.
离散数学
第八章树
2007年8月20日
例题
例2 设T为6条边的树, 其顶点度为1, 2, 3. 如果T恰有3个度为2的顶点，那么T有多少片树叶？并画出满足要求的非同构的无向树. [解] 设T有x片树叶, 于是结点总数为
本章将对树进行详细的讨论，主要包括：
树的基本性质和生成树，
根树、有向树中的n元树、有序树和搜索树等。
离散数学
第八章树
2007年8月20日
Discrete Mathematics
科学出版社
第1节树
主讲：祝清顺教授
树的概念
定义1 连通而无简单回路的无向图称为无向树, 简称树, 常用T表示树. 在树中度数为1的结点称为树叶, 度数大于1的结点称为分支结点.
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e4 e2 e7 e8
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e5 e3Fra biblioteke10
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e1 e4 e2 e5
e3

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生成树T1
离散数学
第八章树

离散数学第8章图论剖析

例1 设 V ={v1，v2，v3，v4，v5},
E = {v1, v2}, {v1, v3}, {v2, v3}, {v2,v4}, {v3, v4},{v3, v5}, {v4 , v5}
则 G=（V，E）是一个图。
2. 图的表示方法
(1) 图解表示法
例2 下图(a).(b)分别给出了例1中图G的图解表示。
若中有相同的结点，设为ur= uk（r<k），则子路ur+1…uk可以从中删去而形成一条较短的路= viu1…ur uk+1…uh–1 vj，仍连接vi到 vj。若中还有相同的结点，那么重复上述过程又可形成一条
更短的路，…。这样，最后必得到一条真路，它连接vi到vj，并短于前述任一非真路。因此，只有真路才能是短程。
将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算（参看第 2章2.4节，P34）
1．由A，计算 A(2) , A(3), …, A(n) ; 2．计算 C=A+A(2)+…+ A(n) ; C便是所要求的连接矩阵。
例4 根据例1图的邻接矩阵A，用布尔运算的方法，求其连接矩阵。
则称H是G的分图。
注: （2）的言外之意是：H是G的最大连通子图。
例
解（b）显然不是G的分图，因为（b）不连通；
（c）也不是G的分图；（d）是G的分图；（e）是G的分图。
1．割点：如果在图G中删去结点v（及与其相关联的所有边后），图G的分图数增加，则称结点v是G的割点。 2．割边：如果在图G中删去边{ vi，vj}后，图G的分图数增加，则称边{ vi，vj}是G的割边。例10 下图中v4 ，v6均是割点；
1 0

离散数学屈婉玲第八章ppt课件.ppt

f g={<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c2>}
g:B→C 和 f g:A→C是满射的, 但 f:A→B不是满射的.
18
反函数
反函数存在的条件 (1) 任给函数F, 它的逆F 1不一定是函数, 只是一个二元关系. (2) 任给单射函数 f:A→B, 则f 1是函数, 且是从ranf 到A的双
Z： 0 1 1 2 2 3 3 …
↓ ↓↓↓↓ ↓ ↓
N： 0 1 2 3 4 5 6 …
这种对应所表示的函数是：
f：Z
N,
f
(x)
2x 2x
1
0 x0
(4) 令 f :[π/2,3π/2]→[1,1] f(x) = sinx
10
某些重要函数
定义8.7 (1)设 f:A→B, 如果存在c∈B使得对所有的 x∈A都有 f(x)=c,
射函数, 但不一定是从B到A的双射函数 (3) 对于双射函数 f:A→B, f 1:B→A是从B到A的双射函数.
定理8.4 设 f:A→B是双射的, 则f 1:B→A也是双射的. 证明思路：先证明 f 1:B→A，即f 1是函数，且domf 1=B, ranf 1=A. 再证明f 1:B→A的双射性质.
|A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm A=, 则BA=B={} A≠且B=, 则BA=A=
3
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA.
BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}

离散数学第八章第1讲课件.ppt

B
C
例：
一个3阶有向图的度序列是2，2，4，入度序列是
2，0，2，出度序列是
.
定理3：在任何有向图中，所有结点的入度和等于所有结点的出度之和。
证：因为每一条有向边必对应一个入度和出度，若一个结点具有一个入度或出度，则必关联一条有向边，所以，有向图中各结点入度和等于边数，各结点出度和也是等于边数，因此，任何有向图中，入度之和等于出度和。
A
最大度,记为：△(G)=max{d(v)| vV} B
E
最小度,记为：δ(G)=min{d(v)| vV}
D
C
定理1 (握手定理) ：每个图中，结点度数的总和等于边数的两倍。即
deg(v) 2 E
vV
证：∵每条边必关联两个结点，而一条边给于关联的每个结点的度数为1。故上述定理成立。
例：在一次10周年同学聚会上，想统计所有人握手的次数之和，应该如何建立该问题的图论模型？
如下图，（a）和（b）互为补图。
v1
v1
v2
v5
v4
v3 （a）
v2 v3
v5 v4 （b）
例：对于n阶简单无向图G，若其边数为m，试计算G 的补图的边数。
（12）子图：设图G =<V，E>，如果有图G=<V，E>，且EE，VV，则称 G 为 G 的子图。
如下图， =<V，E>及图G=<V，E>，如果存在一双射函数g：vi→vi且e=（vi，vj）是G的一条边，当且仅当 e=（g（vi ），g（vj））是 G 的一条边，则称G与G同构，记作G≌G。
两个图同构的充要条件是：两个图的结点和边分别存在着一一对应的关系，且保持关联关系。

离散数学8

再证R传递：任取 a,b,cA 设<a,b>R，
<b,c>R。(要证出<a,c>R ) 由R是对称的,得<b,a>R ，由 <b,a>R且<b,c>R，根据已知条件得 <a,c>R ，所以R是传递的。
(4). R是A上关系，设 S={<a,b>|c∈A∧<a,c>∈R∧<c,b>∈R} 求证若R是等价关系，则S也是等价关系。证明：a)证S自反：任取a∈A，∵R是自反的，∴有 <a,a>∈R,由S定义得<a,a>∈S, (S定义中c就是a)∴ S自反. b)证S对称: 任取a,b∈A，且有<a,b>∈S,由S定义得 c∈A∧<a,c>∈R∧<c,b>∈R, 由R对称得 c∈A∧<b,c>∈R∧<c,a>∈R,由S定义得<b,a>∈S,S对称. c)证S传递:任取a,b,c∈A,有<a,b>∈S,<b,c>∈S,由S定义得 (d∈A∧<a,d>∈R∧<d,b>∈R)∧(e∈A∧<b,e>∈R∧ <e,c>∈R) , 由于R传递,所以有<a,b>∈R,<b,c>∈R, 由S定义得<a,c>∈S, 所以S传递. 所以S是A上等价关系. (6). R是A上对称和传递的关系，证明如果a∈A,b∈A, 使得<a,b>∈R,则R是一个等价关系. 证明:任取a∈A,有已知得b∈A,使得<a,b>∈R,由R对称得<b,a>∈R,又由R传递得, <a,a>∈R,R自反, ∴R是等价关系.

离散数学第四版课后答案(第8章)

第8 章习题解答8.1 图8.6 中,(1)所示的图为,3,1K (2) 所示的图为,3,2K (3)所示的图为,2,2K 它们分别各有不同的同构形式.8.2 若G 为零图,用一种颜色就够了,若G 是非零图的二部图,用两种颜色就够了.分析根据二部图的定义可知,n 阶零图(无边的图)是三部图(含平凡图),对n 阶零图的每个顶点都用同一种颜色染色,因为无边,所以,不会出现相邻顶点染同色,因而一种颜色就够用了.8.3 完全二部图,,s r K 中的边数rs m =.分析设完全二部图s r K ,的顶点集为V, 则∅==2121,V V V V V ,且,||,||21s V r V ==s r K ,是简单图,且1V 中每个顶点与2V 中所有顶点相邻,而且1V 中任何两个不同顶点关联的边互不相同,所以,边数rs m =.8.4 完全二部图s r K ,中匹配数},m in{1s r =β,即1β等于s r ,中的小者.分析不妨设,s r ≤且二部图s r K ,中,,||,||21s V r V ==由Hall 定理可知,图中存在1V 到2V 的完备匹配,设M 为一个完备匹配,则1V 中顶点全为M 饱和点,所以,.1r =β8.5 能安排多种方案,使每个工人去完成一项他们各自能胜任的任务.分析设},,{1丙乙甲=V ,则1V 为工人集合, },,{2c b a V =,则2V为任务集合.令}|),{(,21y x y x E V V V 能胜任== ,得无向图>=<E V G ,,则G 为二部图,见图8.7 所示.本题是求图中完美匹配问题. 给图中一个完美匹配就对应一个分配方案.图8.7 满足Hall 定理中的相异性条件,所以,存在完备匹配,又因为,3||||21==V V 所以,完备匹配也为完美匹配.其实,从图上,可以找到多个完美匹配. 取)},(),,(),,{(1c b a M 丙乙甲=此匹配对应的方案为甲完成a,乙完成b, 丙完成c,见图中粗边所示的匹配.)},(),,(),,{(2c a b M 丙乙甲=2M 对应的分配方案为甲完成b,乙完成a,丙完成c.请读者再找出其余的分配方案.8.6 本题的答案太多,如果不限定画出的图为简单图,非常容易地给出4族图分别满足要求.(1) n (n 为偶数,且2≥n )阶圈都是偶数个顶点,偶数条边的欧拉图.(2) n (n 为奇数,且1≥n )阶圈都是奇数个顶点,奇数条边的欧拉图.(3) 在(1) 中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所得图为偶数个顶点,奇数条边的欧拉图.（4）在(2) 中的圈上任选一个顶点,在此顶点处加一个环,所得图为奇数个顶点,偶数条边的欧拉图.分析上面给出的4族图都是连通的,并且所有顶点的度数都是偶数,所以,都是欧拉图.并且(1),(2) 中的图都是简单图.而(3),(4)中的图都带环,因而都是非简单图. 于是,如果要求所给出的图必须是简单图,则(3),(4)中的图不满足要求.其实,欧拉图是若干个边不重的图的并,由这种性质,同样可以得到满足(3),(4)中要求的简单欧拉图.设k G G G ,,,21 是长度大于等于3的k 个奇圈(长度为奇数的圈称为奇圈),其中k 为偶数,将1G 中某个顶点与2G 中的某顶点重合,但边不重合, 2G 中某顶点与3G 中某顶点重合,但边不重合,继续地,最后将1-k G 中某顶点与k G 中某顶点重合,边不重合,设最后得连通图为G,则G 中有奇数个顶点,偶数条边,且所有顶点度数均为偶数,所以,这样的一族图满足(4)的要求,其中一个特例为图8.8中(1)所示.在以上各图中,若k G G G ,,,21 中有一个偶圈,其他条件不变,构造方法同上,则所得图G 为偶数个顶点,奇数条边的简单欧拉图,满足(3)的要求,图8.8中(2)所示为一个特殊的情况.8.7 本题的讨论类似于8.6题,只是将所有无向圈全变成有向圈即可,请读者自己画出满足要求的一些特殊有向欧拉图.8.8 本题的答案也是很多的,这里给出满足要求的最简单一些图案,而且全为简单图.(1) n (3≥n )阶圈,它们都是欧拉图,又都是哈密尔顿图.(2) 给定k (2≥k )个长度大于等于3的初级回路,即圈k G G G ,,,21 ,用8.6题方法构造的图G 均为欧拉图,但都不是哈密尔顿图,图8.8给出的两个图是这里的特例.(3)n (4≥n )阶圈中,找两个不相邻的顶点,在它们之间加一条边,所得图均为哈密尔顿图,但都不是欧拉图.(4) 在(2)中的图中,设存在长度大于等于4的圈,比如说1G ,在1G 中找两个不相邻的相邻顶点,在它们之间加一条新边,然后用8.6题方法构造图G,则G 既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图,见图8.9所示的图.分析 (1) 中图满足要求是显然的.(2) 中构造的图G 是连通的,并且各顶点度数均为偶数,所以,都是欧拉图,但因为G 中存在割点,将割点从G 中删除,所得图至少有两个连通分支,这破坏了哈密尔顿图的必要条件,所以,G不是哈密尔顿图.(3) 中构造的图中,所有顶点都排在一个圈上,所以,图中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图,但因图中有奇度顶点(度数为奇数的顶点),所以,不是欧拉图. 由以上讨论可知,(4) 中图既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图.其实,读者可以找许多族图,分别满足题中的要求.8.9 请读者自己讨论.8.10 其逆命题不真.分析若D是强连通的有向图,则D中任何两个顶点都是相互可达的,但并没有要求D中每个顶点的入度都等于出度. 在图8.2 所示的3个强连通的有向图都不是欧拉图.8.11 除K不是哈密尔顿图之外, n K(3≥n)全是哈密尔2顿图.K(n为奇数)为欧拉图. 规定1K(平凡图)既是欧拉图, n又是哈密尔顿图.分析从哈密尔顿图的定义不难看出,n阶图G是否为哈密尔顿图,就看是否能将G中的所有顶点排在G中的一个长为n的初级回路,即圈上.K(3≥n)中存在多个这样的生成n圈(含所有顶点的图), 所以K(3≥n)都是哈密尔顿图.n在完全图K中,各顶点的度数均为n-1,若n K为欧拉图,n则必有1-n为偶数,即n为奇数,于是,当n为奇数时,K连通n且无度顶点,所以,K(n为奇数) 都是欧拉图.当n为偶数时,n各顶点的度数均为奇数,当然不是欧拉图.8.12 有割点的图也可以为欧拉图.分析无向图G 为欧拉图当且仅当G 连通且没有奇度顶点.只要G 连通且无奇度顶点(割点的度数也为偶数),G 就是欧拉图.图8.8所示的两个图都有割点,但它们都是欧拉图.8.13 将7个人排座在圆桌周围,其排法为.abdfgeca 分析做无向图>=<E V G ,,其中,},,,,,,{g f e d c b a V =},|),{(有共同语言与且v u V v u v u E ∈=图G 为图8.10所示.图G 是连通图,于是,能否将这7个人排座在圆桌周围,使得每个人能与两边的人交谈,就转化成了图G 中是否存在哈密尔顿回路(也就是G 是否为哈密尔顿图).通过观察发现G 中存在哈密尔顿回路, abdfgeca 就是其中的一条哈密尔顿回路.8.14 用i v 表示颜色.6,,2,1, =i i 做无向图>=<E V G ,,其中 },,,,,,{654321v v v v v v V =}.,,|),{(能搭配与并且且v u v u V v u v u E ≠∈=对于任意的)(,v d V v ∈表示顶点v 与别的能搭配的颜色个数,易知G 是简单图,且对于任意的V v u ∈,,均有633)()(=+≥+v d u d ,由定理8.9可知,G 为哈密尔顿图,因而G 中存在哈密尔顿回路,不妨设1654321i i i i i i i v v v v v v v 为其中的一条,在这种回路上,每个顶点工表的颜色都能与它相邻顶点代表的颜色相.于是,让1i v 与2i v ,3i v 与4i v ,5i v 与6i v 所代表的颜色相搭配就能织出3种双色布,包含了6种颜色.8.15∑=⨯======300321,10220)deg(.12)deg(,3)deg(,1)deg(,4)deg(i i R R R R R 而本图边数m=10.分析平面图(平面嵌入)的面i R 的次数等于包围它的边界的回路的长度,这里所说回路,可能是初级的,可能是简单的,也可能是复杂的,还可能由若干个回路组成.图8.1所示图中,321,,R R R 的边界都是初级回路,而0R 的边界为复杂回路(有的边在回路中重复出现),即432110987654321e e e e e e e e e e e e e e ,长度为12,其中边65,e e 在其中各出现两次.8.16 图8.11中,实线边所示的图为图8.1中图G,虚线边,实心点图为它的对偶图的顶点数*n ,边数*m ,面数*r 分别为4,10和8,于是有分析从图8.11还可以发现,G 的每个顶点位于的一个面中,且的每个面只含G 的一个顶点,所以,这是连通平面图G 是具有k 个连通分支的平面图2≥k ,则应有1*+-=k n r .读者自己给出一个非连通的平面图,求出它的对偶图来验证这个结论.另外,用图8.1还可以验证,对于任意的*v (*G 中的顶点),若它处于G 的面i R 中,则应有)deg()(*i R v d =.8.17 不能与G 同构.分析任意平面图的对偶图都是连通的,因而与都是连通图,而G 是具有3个连通分支的非连通图,连通图与非连通图显然是不能同构的.图 8.12 中, 这线边图为图8.2中的图G,虚线边图为G 的对偶图,带小杠的边组成的图是*G 的对偶图,显然.~**G G ≠ 8.18 因为彼得森图中有长度为奇数的圈,根据定理8.1可知它不是二部图.图中每个顶点的度数均为3,由定8.5可知它不是欧拉图.又因为它可以收缩成5K ,由库拉图期基定理可知它也不是平面图.其实,彼得森图也不是哈密尔顿图图,这里就不给出证明了.8.19 将图8.4重画在图8.13中,并且将顶点标定.图中afbdcea 为图中哈密尔顿回路,见图中粗边所示,所以,该图为哈密尔顿图.将图中边),(),,(),,(d f f e e d 三条去掉,所得图为原来图的子图,它为3,3K ,可取},,{1c b a V =},,{2f e d V =,由库拉图期基定理可知,该图不是平面图.8.20 图8.14所示图为图8.25所示图的平面嵌入.分析该图为极大平面图.此图G 中,顶点数9=n ,边数.12=m 若G 是不是极大平面图,则应该存在不相邻的顶点,,v u 在它们之间再加一条边所得'G 还应该是简单平面图, 'G 的顶点数131,6''=+===n m n n ,于是会有.126313''=->=n m这与定理8.16矛盾,所以,G 为极大平面图.其实,n ( 3≥n )阶简单平面图G 为极大平面图当且仅当G 的每个面的次数均为3.由图8.14可知,G 的每个面的次数均为3,所以,G 为极大平面图.8.21 答案 A,B,C,D 全为②分析 (1) 只有n 为奇数时命题为真,见8.11的解答与分析.(2) 2≠n 时,命题为真,见8.11的解答与分析.(3) 只有m n ,都是偶数时,m n K ,中才无奇度数顶点,因而m n K ,为欧拉图,其他情况下,即m n ,中至少有一个是奇数,这时m n K ,中必有奇度顶点,因而不是欧拉图.(4) 只有m n =时, m n K ,中存在哈密尔顿回路,因而为哈密尔顿图.当m n ≠时,不妨设m n <,并且在二部图m n K ,中,m V n V ==||,||21,则n V m V G p =>=-||)(11,这与定理8.8矛盾. 所以, m n ≠时, m n K ,不是哈密尔顿图.8.22 答案 A:②;B ②;C ②.分析图8.15中,两个实边图是同构的,但它们的对偶力(虚边图)是不同构的.(2) 任何平面图的对偶图都是连通图.设G 是非连通的平面图,显然有.**~G G ≠(3) 当G 是非连通的平面图时,,1*+-=k n r 其中k 为G 的连通分支数.8.23 答案 A:④;B ②;C ②.分析根据库期基定理可知,所求的图必含有5K 或3,3K 同胚子图,或含可收缩成5K 或3,3K 的子图.由于顶点数和边数均已限定,因而由3,3K 加2条边的图可满足要求,由5K 增加一个顶点,一条边的图可满足要求,将所有的非同构的简单图画出来,共有4个,其中由K产生的有2个,由5K产生的有2个.3,3见图8.16所示.。

离散数学(第二版)第8章图的基本概念

第八章图的基本概念
用反证法，设G中各顶点的度数均不相同，则度数列为0，1，2，…，n-1，说明图中有孤立顶点，这与有n-1度顶点相矛盾(因为是简单图)，所以必有两个顶点的度数相同。
2. 子图在深入研究图的性质及图的局部性质时，子图的概念是非常重要的。所谓子图，就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图，子图的顶点集和边集是原图的顶点集和边集的子集。
第八章图的基本概念
一般称长度为奇数的圈为奇圈，称长度为偶数的圈为偶圈。显然，初级通路必是简单通路，非简单通路称为复杂通路。在应用中，常常只用边的序列表示通路，对于简单图亦可用顶点序列表示通路，这样更方便。
第八章图的基本概念
定理8.2.1 在一个n阶图中，若从顶点u到顶点v(u≠v) 存在通路，则必存在从u到v的初级通路且路长小于等于n1。
第八章图的基本概念
图8.1.2 图与子图
第八章图的基本概念
3. 补图定义8.1.3 G为n阶简单图，由G的所有顶点和能使G 成为完全图的添加边所构成的图称为G的相对于完全图的补图，简称G的补图，记作。【例8.1.6】图8.1.3(a)中的G 1是G1相对于K5的补图。图8.1.3(b)中的G 2 是G2相对于四阶有向完全图D4的补图。对于补图，显然有以下结论： (1) G与 G 互为补图，即 G =G。 (2) E(G)∪E(G )=E(完全图)且E(G)∩E( G )= 。 (3) 完全图与n阶零图互为补图。 (4) G与G 均是完全图的生成子图。
所谓子图就是适当地去掉一些顶点或一些边后所形成的图子图的顶点集和边集是原图的顶点第八章图的基本概念定义812设gvegve均是图同为第八章图的基本概念导出的导出子图记作gv第八章图的基本概念例815在图812中g均是g的真子图其中g第八章图的基本概念图812第八章图的基本概念补图定义813g为n阶简单图由g的所有顶点和能使g成为完全图的添加边所构成的图称为g的相对于完全图的补图简称g的补图记作

离散数学离散数学第8章一些特殊的图 PPT课件

在23岁时，他发表了他还是一个17岁的孩子时作出的“奇怪的发现”，…即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于光学，就象拉格朗日的《分析力学》之于力学。
哈密尔顿最深刻的悲剧既不是酒精，也不是他的婚姻，而是他顽固地
相信，四元数是解决物质宇宙的数学关键。…从来没有一个伟大的数学
家这样毫无希望地错误过。
2
1
3
4
(2) 有限面与无限面：面积有限的区域称为有限面(或内部面)，否则为无限面(或外部面) 。上图中，面4是无限面。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
24
(3) 面的次数等于面边界的边数(注意：悬挂边算2 次)，记为deg(R).
(4) 平面图中面的次数之和等于边数m的两倍，即
d(u)+d(v)≥n-1 则G是半哈密尔顿图。
注意:
此定理条件显然不是必要条件，如n≥6的n边形，对于任意不相邻的顶点u, v, d(u)+d(v)=4，4<n-1，而n边形显然有哈密尔顿通路。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
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哈密尔顿图的充分条件
❖ 设G是n(n≥3)阶无向简单图，若G中任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)≥n 则G是哈密尔顿图。
a
bc
d
e
f g
h
i j
k
l
ba
d
g
e j
f
l
b
a
c
d
g
j
i
e
h
f
k
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离散数学及其应用课件第8章特殊图

例8.1.2 在下图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
Dijkstra算法
8.2.3 中国邮路问题
– 一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过他负责范围内的每一条街道，如何选择投递路线，邮递员可以走尽可能少的路程？这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮路问题．
中国邮路问题
首先注意到，若图G有奇数度结点，则G的奇数度结点必是偶数个．把奇数度结点配为若干对，每对结点之间在G中有相应的最短路，将这些最短路画在一起构成一个附加的边子集E1．令G1 =G+E1，即把附加边子集E1 叠加在原图G上形成一个多重图G1，这时G1中没有奇度数结点．显然 G1是一个欧拉图，因而可以求出G1的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图 G中每条边，同时还通过E1 中的每条边，且均仅一次．邮递员问题的难点在于当G的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E1 的权数W(E1)为最小。
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路，称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路，称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。

离散数学第8章图的基本概念课件

素数目等于结点vj的引入次数。即

deg(vi)=
和deg(vj)=
。
5.由给定简单图G的邻接矩阵A可计算出矩阵A的l次幂，
即Al。则第i行第j列上的元素alij便是G中从
结点vi到结点vj长度为l的通路的数目。
给出下面Байду номын сангаас理

定理设A为简单图G的邻接矩阵，则Al中的i行j列元素alij等于G中联结vi到vj的长度为l的通路的数目。
0 0 0 1 1 0 C 0 0 1 0 0 0 1 1 0 BC 1 1 0
例2
v5
v1 v2
v3
v4
0 0 A 1 0 0
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 P 1 0 0 0 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
多重图、无向图及权图
则该有向图的邻接距阵为：
则该无向图的邻接距阵为：

已知加权的简单图G=<V,E>，定义一个矩阵
A=(aij)，其中：

aij=
{
ω, ω是边（vi,vj）的权
0， vi与vj没有边相连
则称A为图G的权矩阵
例: 权图
a
5
b
4
w(ab)=5 w(aa)=0 w(ac)=12 w(bd)= ∞ w(ad)=8
8
12
20
d
c
0 5 12 8 5 0 4 A 12 4 0 20 8 20 0

离散数学第八章.ppt

解令G=<V1,V2,E>, 其中V1={s, g, x}, V2={a, b, c, d, e}, E={(u,v) | uV1, vV2, v想去u},
其中s, g, x分别表示上海、广州和香港. G如图所示.
G 满足相异性条件，因而可给出派遣方案，共有9种派遣方案 (请给出这9种方案).
8
注意: n 阶零图为二部图.
2
二部图的判别法
定理无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈例下述各图都是二部图
3
匹配
设G=<V,E>, 匹配(边独立集): 任2条边均不相邻的边子集极大匹配: 添加任一条边后都不再是匹配的匹配最大匹配: 边数最多的匹配
匹配数: 最大匹配中的边数, 记为1
Hall定理中的条件称为“相异性条件”, 第二个定理中的条
件
称为 t 条件. 满足 t 条件的二部图一定满足相异性条件.
7
一个应用实例
例某课题组要从a, b, c, d, e 5人中派3人分别到上海、广州、香港去开会. 已知a只想去上海，b只想去广州，c, d, e都表示想去广州或香港. 问该课题组在满足个人要求的条件下，共有几种派遣方案？
(2) 若G是K2(K2有桥), 它显然不是哈密顿图. 除K2 外, 其他的有桥连通图均有割点. 由(1), 得证G不是哈密顿图.
20
无向哈密顿图的一个充分条件
定理设G是n阶无向简单图, 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于n1, 则G中存在哈密顿通路.
当n3时, 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于n, 则G中存在哈密顿回路, 从而G为哈密顿图.
M2是完美匹配
M1

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(优选)离散数学图论版

离散数学 第八章

工科离散数学 第8章 图

离散数学课件_8 图的基本概念

离散数学 第8章 树(祝清顺版)88页PPT文档

离散数学第8章图论剖析

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离散数学8

离散数学第四版课后答案(第8章)

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离散数学及其应用课件第8章特殊图

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工科离散数学第8章图

离散数学第八章

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