离散数学各章要点11
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主要内容
集合S和运算构成半群的条件（封闭性、结合律）；集合S和运算构成独异点的条件（封闭性、结合律、单位元）.
2.
半群与独异点的两条幂运算规则：x n x m=x n+m , (x n)m= x nm
3.
半群S的非空子集A构成子半群的条件（A对于S中运算封闭）；独异点S的非空子集A构成子独异点的条件（A对于S中运算封闭, 单位元属于A）
4.
通过笛卡儿积构造直积
5.
同态映射的判别：υ(xy)=υ(x)υ(y) （对于独异点要加上υ(e)=e）
6.
集合G和二元运算构成群的条件（封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆元）.
7.
特殊群的定义（有限与无限群、Abel群、平凡群）与群的阶.
8.
元素的幂与元素的阶
9.
群的性质：幂运算规则、消去律、群方程的唯一解、有关元素的阶的性质.
10
子群的定义
11
子群的三个判定定理及其应用
12
典型子群：由元素生成的子群,群G的中心C, 若干个子群的交集
13
陪集的定义及实例.
14
陪集及其代表元素之间的关系.
15
陪集的四条性质.
16
有限群G的拉格朗日定理(|G|=|H|[G:H])及两个推论.
17
正规子群的定义及实例.
18
正规子群的两个判别定理以及相应的四种判别方法.
19
商群的定义及其实例.
20
群同态映射的定义与典型同态映射的实例.
21
特殊同态的分类（单同态、满同态、同构、自同态）.
22
同态核与同态像
23
同态映射的性质：同态映射保持元素及子群的对应性, 同态核的性质, 同态基本定理.
24
循环群的定义及分类（无限循环群与有限循环群）
25
无限循环群G=只有两个生成元a和a-1；n阶循环群有υ(n)个生成元.
26
无限循环群G=有无数个子群, 对于任何自然数m, 都是G的子群；n阶循环群恰有d个子群, 其中d是n的正因子个数.
27
n元置换的不同表法之间的转换, 置换乘法及求逆.
28
n元对称群及其子群--n元交错群
学习要求
1.
判断给定集合和运算是否构成半群和独异点.
2.
了解半群及独异点中的幂运算规则.
3.
判断半群或独异点的子集是否构成子半群或子独异点.
4.
了解半群及独异点的直积概念.
5.
了解半群或独异点的同态映射的概念.
6.
能判断给定集合和运算是否构成群.
7.
了解有限群、无限群、平凡群、交换群、Abel群.
8.
会求有限群的阶、元素的幂、元素的阶.
9.
能求群方程的解.
10
能使用消去律及群的其他性质证明有关群的简单命题.
11
会证明群的子集是子群
12
了解几个典型子群的定义
13
在群G中会求已知子群H的右（或左）陪集.
14
了解陪集的性质, 特别是两个陪集相等的充要条件.
15
了解群G的陪集分解是怎样与G上的等价关系相对应的.
16
掌握拉格朗日定理及其推论的简单应用.
17
掌握正规子群的判别方法.
18
给定群G和它的正规子群H, 会求商群G/H.
19
给定群G1, G2和映射υ, 能够判别或证明υ是否为G1到G2的同态映射.
20
能够判别特殊同态的类型：满同态、单同态、同构.
21
掌握一些典型的群同态.
22
了解群同态映射的性质.
23
会应用群同态的性质证明群中的有关命题.
24
判断群G是否为循环群. 如果是, 是有限还是无限循环群.
25
求给定循环群的所有生成元.
26
求给定循环群的所有子群.
27
用三种方法表示n元置换：置换表示、轮换表示、对换表示.
28
会求n元置换的乘积和逆.
29
了解n元置换群的概念.
典型习题
1.
判断下列集合和运算是否构成半群和独异点.
2.
设V1=
3.
下列集合S和运算是否构成代数系统？构成哪一类代数系统？
4.
设Z为整数集, x,y∈Z,x·y=x+y-2, 说明Z关于·运算是否构成群.
5.
设Z18为模18整数加群, 求所有元素的阶.
6.
设G为群, a∈G是有限阶元,对于任意x∈G, 证明|xax-1|=|a|.
7.
设G为群, x∈G有x2=e, 证明G是交换群.
8.
证明偶数阶群必含2阶元.
9.
设G为群, a是G中的2 阶元, 证明G中与a可交换的元素构成G的子群.
10
求下列子群的陪集.
11
设H1,H2分别是群G的r,s 阶子群, 若(r,s)=1, 证明H1∩H2={e}.
12
设i为虚数单位, 即i2=-1, 令,则G关于矩阵乘法构成群. 求G的所有子群并证明它们都是正规子群.
13
设
14
给定群G1和G2, 函数f, 判断f是否为G1到G2的同态？为什么？如果是, 判别它们是否为单同态、满同态、同构并求出同态的核kerf.
15
定义群G上的函数f,f(x)=x-1,x∈G,证明f为自同构当且仅当G为交换群.
16
设H是G的子群, N是G的正规子群, 如果|H|与[G:N]互素, 证明H是N的子群.
17
G为群, H和K是G的正规子群且H K, 证明G/K(G/H)/(K/H).
18
给定群G, 判断G是否为循环群.
19
求出循环群的所有生成元和子群.
20
证明循环群是交换群.
21
设σ,τ是7元置换, 求τσ, στσ,τ-1, 将στσ表成不交的轮换之积和对换之积.