逻辑学第二章

由上真值表知，对任意公式A，有等值关系：A ¬¬A 负命题的推导规则:
A 双重否定引入规则（¬¬+）：从A可推出A。图示： —— ¬¬A ¬¬ A 双重否定消去规则（¬¬-）：从A可推出A。图示： —— A
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联言命题
联言命题是由联言联结词(如“并且”)联结支命题而 形成的复合命题，又称合取命题。例如：
其推理形式为： p∨q, ¬p├ q 肯定一个选言支，不能否定另一个选言支。下述推理形式均错误： A∨B ,A├ ¬B； A∨B ，B ├ ¬A
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析取引入规则(记为∨＋ )： 从A可推出A∨B；
A —— A∨B
从B可推出A∨B。
B —— A ∨B
析取引入规则的应用实例： 小王是医生；所以，小王是医生，或者小王是教师。 其推理形式为：p├ p∨q
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相容选言命题及推理
相容选言命题的形式：p或者q(p∨q) ∨的真值表：
p q p ∨q T T T F
T
T F F
T
F T F
相容选言命题的逻辑特征： 相容选言命题为真，则它的选言支至少有一个为真；反过 来讲，当选言命题至少有一个选言支为真，选言命题一定 为真。
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在（1）、（2）中由“如果”、“只有”引出的支 命题称为前件 ，由“那么”、“才”引出的支命题 称为后件。 假言命题的种类
一、充分条件假言命题 二、必要条件假言命题 三、充分必要条件假言命题
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充分条件假言命题
充分条件假言命题亦称条件命题或者实质蕴涵命题,是用 “如果，那么”等联结词联结前、后件形成的假言命题， 例如： (1)如果你不断地坚持锻炼，你的身体就会康复。 (2)假如语言能创造财富，那么，夸夸其谈的人就会成为世界 上最富有的人。
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第二章 命题逻辑
第二节 复合命题及其推理
负命题
负命题由否定联结词(如“并非”)联结支命题而形成的复合命 题。例如： (1)并非选修逻辑的学生都是文科生。 (2)这个班的学生不都学英语。 (3)如果它是三角形，则内角和等于180°，这个观点不对。 注：负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
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命题的分类
简单命题
非模态命题 命 题
模态命题 复合命题
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命题分析的层次
将联结词所联结的命题作为一个完整的单位来看待
——研究关于联结词的推理(命题逻辑)
深入到命题内部，把命题分析为主项、谓项、量项和联项 ——研究关于量项和联项的推理(传统词项逻辑) 深入到命题内部，把命题分析为个体词、谓词、量词及联 结词
q q P (q r) (p
q)
r
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消去规则(记为
从A
_ ):
B和B可推出A；
B和A可推出B；从A
A B A —— B
从A
A B B —— A
B和 B可推出A；
B和 A可推出B；从A
A
A
B
A
B
B
—— B
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—— A
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假言命题
假言命题是由假言联结词(如 “如果，那么”、“只有， 才”、“当且仅当”等)联结支命题而形成的复合命题， 例如： （1）如果寒潮到来，那么气温就会下降。 （2）只有你去，我才放心。 （3）人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人。
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选言命题
选言命题用选言联结词联结支命题而形成的复合命题。
选言命题分为“相容选言命题”和“不相容选言命题 ”两种。 相容选言命题的选言支可以同时为真，如： (1)小王或者是班干部，或者是学生会干部(二者可以得兼)。 (2)这份统计材料，或者是原始材料有错误，或者是计算有错 误，或者两种情况都存在。 而不相容选言命题的选言支不能同时为真，如： (1)鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼。 (2)要么选老王当村长，要么选小李当村长。
——研究关于量词的推理(现代谓词逻辑)
把命题中包含的模态词分析出来 ——研究关于模态词的推理(模态逻辑)
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逻辑语形学与逻辑语义学
逻辑语形(语法)学:研究符号与符号关系的逻辑理论。 逻辑语义学:研究符号及其解释的逻辑理论，如:把p、q、r解释为取 真假值的命题变元，把∧、∨ 、→解释为真值集上的运算，把p∧q、 p∨q、p→q解释为真值函数的表达式。 推理是由前提和结论组成的，前提和结论之间的关系称为推出（推 论、推理）关系。例如： 小王既有缺点，又有优点，所以，小王有优点。 在推理中，前提是“小王既有缺点，又有优点”，结论是“小王 有优点”， “所以”标志前提和结论之间的推出关系。 推理形式：p且q，所以，q。 逻辑学是从语形和语义两个方面来研究推理的： (1)从前提和结论的形式方面进行 (2)从前提和结论的真假方面进行 语形和语义对推出关系的双重刻画
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命题和语句
任何命题都是通过语句来表达的，但语句和命题并非一一对应：
首先，有的语句不能直接表达命题，如： （1）西南大学在重庆吗? （2）请把门关上！ 一般来讲：陈述句与反诘句可以直接表达命题。 其次，同一命题可以用不同的语句来表达，如： “所有的鸟都会飞”与“没有鸟不会飞”表达了相同的命题。 此外，同一命题可用不同的民族语言的语句来表达。 再次，同一语句，可以表达不同的命题，如： 小张将书还给小王，因为他要回家了。
主讲人：何向东
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第二章 命题逻辑
第一节 命题逻辑概述
命题
命题是通过语句来反映事物情况的思维形态。例如：
（1）西南大学在重庆。 （2）闪光的东西都是金子。 （3）如果小王有作案动机，那么他就会作案。
命题的 主要特征： 命题有真假
符合实际的命题是真命题，不符合实际的命题是假命 题。上述（1）是真命题; 而（2）、（3）是假命题。
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必要条件假言命题
用“只有，才”wk.baidu.com结前、后件形成的假言命题，例如：
(1)只有由细菌引起的疾病，才能用抗生素治疗。 (2)我不去，除非你去。
必要条件假言命题的形式：只有p,才q(p←q)
在蕴涵式p←q中，p称为←的前件(左辖域)，q称为←的 后件(右辖域)。
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联言命题的推导规则
合取引入规则（∧+）：从A和B可推出A∧B。图示如下：
A B —— A∧B
合取消去规则（∧-）：从A∧B可推出A，从A∧B可推出B。图示如下： A∧B A∧B —— —— A B 小张喜爱音乐，小张喜爱体育，所以，小张不但喜爱音乐，也喜爱体育。 根据∧+作出一个形式正确的推理，推理形式为：p,q├ p∧q 。 小张既有优点，也有缺点，所以，小张是有优点的。 根据∧_作出一个形式正确的推理，推理形式为：p∧q├ p。
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←的真值表
p
T T F F
q
T F T F
p ←q
T T F T
必要条件假言命题的逻辑性质是：除了前件为
假而后件为真时充分条件假言命题是假的之外,其它 情况下, 充分条件假言命题都是真的。
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充分必要条件假言命题
充分必要条件假言命题又称双条件命题，简称充要条件 假言命题，是用“当且仅当”等作为联结词的命题，例 如： (1)a和b平行,当且仅当它们的同位角相等。 (2)人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。 充要条件假言命题的形式：p当且仅当q(pq)
负命题的形式: ¬p。其中p称为¬的辖域。 负命题的逻辑性质：负命题的真假与被否定的命题的真假是 相反的。
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负命题
真值表：真值集合只有两个元素｛T，F｝，其中T表示命题为真，而F表示命 题为假。因此，可用列表的方式表示真值运算的过程，这种表称为真值表。 真值函数：当p在真值集合｛T，F｝上取真值后， p 的真值也唯一确定。所 以， p是p的函数，表达形式为f(p)=p，这种函数称真值函数。 的真值表如下：
语句(陈述句和反诘句)有内涵也有外延:语句的内涵即它表达的命题； 语句的外延即真、假这两个真值。 采用这种观点的逻辑理论，称为 二值外延逻辑或经典逻辑。 逻辑学上所说的命题，一般指这种或者 为真或者为假的抽象语句。
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命题和判断
判断：就是被断定者断定了的命题。 判断的主要特征：有所断定。 一个命题是否能成为判断，与断定者的知识、 立场等有关。如：“杜甫是伟大的诗人”能否被 断定就与断定者的知识水平有很大关系。 充分假言命题被断定是前后件的关系，而不是 支命题。如：“如果物体受到摩擦，那么物体发 热”这个命题，我们既没有断定“物体受到摩 擦”，也没有断定“物体发热”，我们所断定的 只是前件是后件的充分条件。
（1）小张歌唱得好并且舞跳得好。 （2）这样建立的逻辑系统既有可靠性，又有完全性。
联言命题的形式：p并且q（p∧q）。 p称为∧的左辖域， q 称为∧的右辖域。
p∧q是二元真值函数： f(p,q)=p∧q。∧是在两个真值变元p 和q上进行运算的二元运算。
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合取词∧的真值表
充分条件假言命题的形式：如果p，那么q (p→q)
在蕴涵式p→q中，p称为→的前件(左辖域)，q称为→的后件 (右辖域)。
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→的真值表
p T T F F q T F T F p →q T F T T
充分条件假言命题的逻辑性质是：除了前件为真而后
件为假时充分条件假言命题是假的以外,在其它三种情况下, 充分条件假言命题都是真的。
p T T F F q T F T F p∧q T F F F
从上表可以得出联言命题的逻辑性质：当p、q同时为真 时，p∧q才为真；只要p、q其中一个为假，则p∧q为假。 由∧的真值表,可得出∧运算的规律: （1）∧的交换律：p∧qq∧p （2）∧的结合律：p∧(q∧r)(p∧q)∧r （3）∧的重言（幂等）律：p∧pp
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用真值表检验德· 摩根律：
p q p T T T F F T F F T q F T F p∧q T F F (p∧q) F T T p ∨q F T T
F F
T
T
F
T
T
从上真值表，可得：¬(p∧q) <=> ¬p∨¬q
应用德· 摩根律的实例:
并非这件衣服物美(而且)价廉这件衣服或者物不美，或者价不廉。 并非小李或者喜欢音乐，或者喜欢体育小李既不喜欢音乐，也不喜 欢体育。
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不相容选言命题及推理
形式：要么p,要么q（p
p
q）
q＝df(p∨q)∧(p∧q)
p T T F q T F T p F T T F q
的真值表
F
F
逻辑性质：不相 容选言命题为真， 当且仅当两个选 言支有且只有一 个为真。
的运算规律
的交换律：p 的结合律： p
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∨的运算规律 (1)∨的交换律：p∨q q∨p， (2)∨的结合律：p∨(q∨r) (p∨q)∨r (3)∨的重言律：p∨p p。 ∧和∨的混合运算规律 (1) ∧对∨的分配律: p∧(q∨r) (p∧q)∨(p∧r)。 (2) ∨对∧的分配律：p∨(q∧r) (p∨q)∧(p∨r)。 (3)吸收律：p∧(p∨q) p；p∨(p∧q) p。 (4)德· 摩根律： ¬(p∧q)¬p∨¬q；¬(p∨q)¬p∧¬q。
真值表的作用
p T F ¬p F T
根据这个真值表，也可以给f(p)=p这个一元真值函数作如下定义： p为真当且仅当p为假； p为假当且仅当p为真。
2018年12月11日星期二
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负命题
根据负命题的逻辑性质，可对¬p再否定得到¬¬p，其真值与 p相同，真值表如下：
p T F ¬p F T ¬¬p T F
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析取消去规则(∨－ ) 从A∨B和¬A可推出B；从A∨B和¬B可推出A。
A∨B ¬A —— B A∨B ¬B —— A
规则：否定一个选言支，就要肯定另一个选言支。 （只讨论有两个选言支的选言命题，下同） 析取消去规则的应用实例：
或者李某是嫌疑犯，或者王某是嫌疑犯(或者二者都是)；李某不是嫌疑 犯；所以，王某是嫌疑犯。