x10-3向量函数的微分

d r1 (t ) r2 (t ) dr1 (t ) r2 (t ) r1 (t ) dr2 (t )
证（5） r (s(t )) x(s(t )), y(s(t )), z(s(t ))
dr ( s ) dr ( s) dr s (t ) ds (t ) ds (t ) ds ds
i j k
(3) a b a x bx a y b y a z bz
(4)
a b ax bx ay by az bz
§10-3
向量函数的微分和积分
一、向量函数
1.向量函数定义
设x(t ), y (t ), z (t )是定义在集合I R上的实值函数，对任一个 t I，按r (t ) ( x(t ), y (t ), z (t ))就有唯一的向量 r (t )与之对应， 因此我们称r (t ) ( x(t ), y (t ), z (t ))为集合 I上的一个向量函数， z x(t ), y (t ), z (t )称为r (t )的分量函数。
向量函数 r (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
dr dt
t t0
r (t0 t ) r (t0 ) r lim lim r '(t0 ) t 0 t t 0 t
x (t0 t ) x (t0 ) lim y (t0 t ) y (t0 ) lim z (t0 t ) z (t0 ) ( lim , t 0 , t 0 ) t 0 t t t
（1
（2
d d d r1 (t ) r2 (t ) r1 (t ) r2 (t ) dt dt dt d r1 (t ) r2 (t ) dr1 (t ) dr2 (t ) d d (t ) dr (t ) r (t ) (t ) (t )r (t ) dt dt dt
x x(t ), y y (t ) 为曲线L的参数表示式. z z (t ),
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r (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
o
y
直线： r（t）=(x0+at，y0+bt, z0+ct) 摆线： r（t） =( a(t-sint), a(1-cost) ,0)
r (t t )
2.r’(t)的几何意义
r
t 0
r
r t
r (t )

r (t t )
o
t 0
例1 求螺旋线 r (t ) (2cos t , 2sin t, t )
在点（0，2,π/2)处的切线方程
z
o
x A
y
3.向量值函数的导数与微分运算法则
是连续函数的充分必要条件为： 分量函数
x(t ), y(t ), z (t )
都是数值连续函数
例 已知螺旋线
r (t ) (2cos t, 2sin t, t )
计算
lim r (t ) (2 lim cos t , 2 lim sin t , lim t )
r t 在 , 上连续，则切线方向连续变化，称曲线为光滑曲线；
2 2 d s (d x ) (d y ) 前面我们已经了解到弧微分
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, y y f ( x) B 弧长 s AM s( x) M s M M M M A y M x M M x x M M (x) 2 (y ) 2 o a x x b MM x x x MM y 2 M M 1 ( ) lim 1 x0 M M MM x s 2 s( x) lim 1 ( y ) x0 x 设
2
l ds




d r (t ) x '2 (t ) y '2 (t )dt

空间曲线 r (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
( t )
z
r(t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
其中 x(t),y(t),z(t)在[ , ]上具有连续导数.
x
在大多数应用中时间 t 常作为向量值函数 r (t ) ( x t , y t , z t ) 的自变量，这时向 量 值 函 数 r (t ) ( x t , y t , z t ) 代 表 着 质 点 P 在 空 间 的 位 置 ， 向 量 OP ( x t , y t , z t ) 的终点的轨迹形成的空间曲线称为质点的运动轨迹，向量值函数 r (t ) ( x t , y t , z t ) 是质点的位置向量函数.
r(t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
o
x
y
连续的向量函数和空间曲线有着密切的联系
2.向量函数的几何意义
向量函数
r(t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
表示为起点定在O点，终点为P ( x(t ), y(t ), z(t )) 的向量
当t变化时终点P描绘出图形是一条空间曲线 L. z
（2）如 为连续曲线，且对 t1 , t 2 , , t1 t 2 时，均有 r
/
t r t ，
1 2
则称 为简单曲线；简单曲线就是自身不相交的连续曲线。
（3）若
即 x(t)，y(t) ，z(t)在[α β >上有连续的导数且 x’2(t)+y’2(t)+z’2(t)>0
三、弧微分
向量函数 r (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) 起点定在O点，当t ∈ [α β ]变化时终点描绘出图形 是一条空间曲线弧。
（1） 设空间曲线 的方程为 r rt , t , 。如果 r rt 在 , 上连续， 则称 为连续曲线。
t 4
t 4 t 4 t 4
( 2, 2, ) r ( ) 4 4

连续
二、 向量函数导数与微分
1.定义： 向量函数 r (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
在t0处的导数
dr dt
t t0
r r (t0 t ) r (t0 ) r '(t ) 0 lim lim t 0 t 0 t t
例 空间质点在圆柱面 x y a 上以角速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 （其中 、 v 都是常数），质点构成的图形叫做螺旋 线．写出其向量函数表示式 z 解 取时间t为参数，
2 2 2
t
o
x A
M

x a cos t , y a sin t , 螺旋线的参数方程 z vt
r '(t ) ( x '(t ), y '(t ), z '(t ))
d r (t ) r '(t )dt ( x '(t )dt , y '(t )dt , z '(t )dt ) (dx(t ), dy (t ), dz (t ))
向量值函数r (t ) x(t ), y(t ), z(t ) (t (, ))的图象为R3中的一条曲线， 向量值函数r (t )的导数r (t )在几何上正好为该函数曲线在点t的 切向量. 且r(t )的方向指向参数增大一方，称为切线的正方向.
r (t ) r 0 若 lim r (t ) r 0 0则称 lim t t
0
即lim ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 0
t t0
则称向量 r
(t)的极限为r0
或称向量 r(t)按模收敛r0
o
r 0 ( x0 , y0 , z0 )
y
M
r(t ) (a cos t, a sin t, vt )
让我们欣赏几个向量函数表示的空间曲线
r(t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
3. 向量函数极限定义
t t0
r 0 ( x0 , y0 , z0 )
z
r(t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
o
y
弧微分
x ds d r (t ) r '(t ) dt
x ' (t ) y ' (t ) z ' (t ) dt
2 2 2
l ds




d r (t ) x '2 (t ) y '2 (t ) z '2 (t )dt

例2 求螺旋线： r（t） =( cost, sint，t)
ds 1 ( y) dx
2
或 ds (dx) 2 (d y ) 2
平面曲线弧 r (t ) ( x(t ), y(t ),0)
( t )
其中 x(t),y(t)在[ , ]上具有连续导数.
y
我们已经得到了弧微分公式
2 2
o
2
x x dx
x
ds (dx ) (dy ) x ' (t ) y ' (t ) dt r '(t ) dt d r (t )
d (t )r (t ) d (t )r (t ) (t )dr (t )
dr1 (t ) dr2 (t ) （4） d r r2 (t ) r1 (t ) 1 (t ) r2 (t ) dt dt dt
dr ( s) ds(t ) ds(t ) dr ( s) （5） d r s (t ) dt ds dt dt ds
第10章
向量的数量积和向量积 向量函数微分法
复习：
z
OM ( x, y, z ) xi yj zk
M2
j
y
k i
x
o
Q
设 a =(ax , ay , az) b =(bx , by , bz), 且为常数 (1) a b = (ax bx , ay by , az bz ) (2) a = (ax , ay , az)
d d d d r (s(t )) x(s(t )), y(s(t )), z ( s(t )) dt dt dt dt
dx ds dy ds dz ds , , ds dt ds dt ds dt
ds dr ( s ) ds dx dy dz , , dt ds dt ds ds ds
dr1 (t ) dr2 (t ) （3 d r r2 (t ) r1 (t ) 1 (t ) r2 (t ) dt dt dt d r1 (t ) r2 (t ) dr1 (t ) r2 (t ) r1 (t ) dr2 (t )
y
定理
x lim r (t ) (lim x(t ),lim y(t ),lim z(t ))
t t0 t t0 t t0 t t0
若 lim r (t ) r (t0 )
t t0
则称向量函数在t=t0连续
向量函数 r (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))