工程力学第10章 组合变形

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10.5 弯曲与扭转的组合变形
一般机械传动轴，大多同时受到扭转力偶和横向力 的作用，而发生弯曲与扭转的组合变形。下面以图10.14 （a）所示的圆形截面杆件为例，说明弯、扭组合变形 时的强度计算方法。 10.5.1 内力与应力分析 图10.14（a）中，Me使杆件受扭，扭矩图如图10.14 （b）所示；F1使杆件在Oxz平面内发生平面弯曲，弯矩 图My如图10.14（c）所示；F2使杆件在Oxy平面内发生平 面弯曲，弯矩图Mz如图10.14（d）所示。
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10.5.2 强度计算 因危险点的应力状态为二向应力状态，在进行强度 计算时，必须应用强度理论。由图10.14（g）所示的单 元体，得危险点的主应力为
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习 题 10.1 不同截面的悬臂梁如图所示，在梁的自由端均 作用有垂直于梁轴线的集中力F。问：（1）哪些属于基 本变形？哪些属于组合变形？（2）属组合变形者是由 哪些基本变形组合的？ 10.2 木制矩形截面悬臂梁，在垂直和水平对称面内 分别受到F2=2.4kN，F1=1kN作用，已知木材的顺纹抗拉 许用应力［σt］=10 MPa，顺纹抗压许用应力［σc］=12 MPa，b=100mm，h=200mm 试校核木梁的正应力强度。
第10章 组合变形
10.1 概 述
10.1.1 什么叫组合变形 前面有关章节分别讨论了杆件在各基本变形情况下 的强度计算和刚度计算。在实际工程中，许多常用杆件 往往不仅是单一的基本变形，可能同时存在着几种基本 变形，它们的每一种变形所对应的应力或变形属同一量 级，在杆件设计计算时都必须考虑。
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例如图10.1（a）所示烟囱，其自重引起轴向压缩， 风荷载又引起它的弯曲；又如图10.1（b）所示的杆件， F作用下杆件发生弯曲变形，主动力偶Me作用下的杆件 发生扭转变形，F，Me共同作用下，杆件同时发生弯曲 和扭转两个基本变形；再如图10.1（c）所示梁，Fy作用 下梁在xy面内发生平面弯曲，Fz作用下梁在xz面内发生 平面弯曲，Fy，Fz共同作用下，梁同时在两个相互垂直 的形心主惯性平面内发生平面弯曲。杆件在荷载作用下， 同时产生两种或两种以上基本变形的情况称为组合变形 （combineddeformation）。
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10.4 偏心拉伸（压缩）与截面核心
10.4.1 偏心拉伸（压缩） 作用在杆上的拉力或压力的作用线平行于直杆的轴 线但不与轴线重合，此时，杆件发生的变形称为偏心拉 伸或压缩（eccentrictensionorcompression）。偏心拉伸 （压缩）是轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。在小 变形线弹性材料的前提下，仍用叠加法计算。下面以图 10.10（a）所示的偏心压缩为例进行分析。
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10.3 图示悬臂木梁，在自由端受集中力 F =2 kN，F 与 y轴夹角 φ =10°，木材的许用正应力［σ］=10 MPa， 若矩形截面 h/b=3，试确定截面尺寸。
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10.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 杆件上同时作用有轴向外力和横向外力时，轴向外 力使杆件拉伸（压缩），横向外力使杆件弯曲，此时杆 件的变形为拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。图10.1（a） 所示的烟囱就是轴向压缩与弯曲组合变形的实例。下面 结合图10.7所示的杆件，说明拉（压）与弯曲组合变形 时的横截面正应力和强度计算。横截面上切应力一般很 小，可忽略。
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10.2.1 斜弯曲的内力计算 先将外力F沿横截面两个形心主轴方向分解为Fy、Fz。
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10.2.2 横截面上任意点的应力 在横截面n-n上任意点K（y，z）处，对应于Mz，My 两平面弯曲的正应力分别为
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10.2.3 中性轴位置的确定 设横截面上中性轴上各点的坐标为（y0，z0），因 中性轴上各点的正应力等于零，把（y0，z0）代入式 （10.1）有
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10.2.4 斜弯曲梁的强度计算 中性轴确定后，对斜弯曲杆件来说，就不难算出危 险截面上的最大拉应力和最大压应力。对于矩形截面、 工字形截面等具有棱角的截面，常可以不预先确定中性 轴的位置，直接由同一横截面的My和Mz判定出点D1或 D2为应力绝对值最大的点，将ymax，zmax代入式（10.1） 写出这两点的应力表达式。截面形状没有明显棱角时， 可作中性轴的平行线，使它与截面相切于D1或D2点，则 D1或D2距中性轴最远，其正应力绝对值必为最大值（图 10.5所示）。
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10.4.2 截面核心 从式（10.10）看到，对偏心受压杆来说，当偏心压 力F的作用点变化时，中性轴在坐标轴上的截距也随之 变化。可见只要偏心压力F的作用点在截面形心附近的 某一区域时，中性轴就与截面相切或相离，这样，在偏 心压力作用下，截面上只产生压应力，而不出现拉应力。 通常将该区域称为截面核心（coreofacrosssection）。
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10.2 斜弯曲
在第7章讨论过平面弯曲，例如图10.2（a）所示的 矩形截面梁，外力F1，F2作用于同一纵向平面内，作用 线通过截面的弯心，且与形心主惯性之一平行，梁弯曲 后，梁的挠曲线位于外力所在的形心主惯性平面内，这 类弯曲为平面弯曲。图10.2（b）所示的矩形截面梁，外 力F的作用线虽然通过截面的弯心，但它与截面的形心 主惯性轴斜交，此时，梁弯曲后的挠曲线不再位于外力 F所在的纵向平面内，这类弯曲则称为斜弯曲 （obliquebending）。本节主要研究斜弯曲时的应力计算。
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10.1.2 组合变形的求解方法 在小变形、线弹性材料的前提下，杆件同时存在的 几种基本变形，它们的每一种基本变形都是彼此独立的， 即在组合变形中的任一种基本变形都不会改变另外一种 基本变形相应的应力和变形。这样，对于组合变形问题 就能够用叠加原理来进行计算。具体的方法及步骤是： （1）找出构成组合变形的所有基本变形，将荷载 化简为只引起这些基本变形的相当力系。 （2）按构件原始形状和尺寸，计算每一组基本变 形的应力和变形。 （3）叠加各基本变形的解（矢量和），得组合变 形问题的解，然后进行强度和刚度校核。