第八章 空间解析几何
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，，
B
b
O
S
OAB
1 2
|
a
||
a
|
cos
sin
ab ab
(2
b
2
)
1 2
|
a
||
a
|
cos
sin
结 论 成 立
| a b || a || b | cos , | a b || a || b | sin
(2) 当 a与b 的夹角为何值时, △OAB的面积取最大值.
解:
由S
OAB
1 2
|
a
||
a
（3） (a b) c a (b c).
方向
（4） (a b) c a (b c).
bc
c
b
ab
(a b)c
a
a (b c)
（5） (a b) c a (b c).
（6） (a b) [(b c) (c a)] 0. 解 : 因为 (a b) (b c) (c a) 0
3z
3
0
与点 P(2,0,-1)
的平面方程.
解: 设所求平面方程为
(2x 5y z 4) (x 6y 3z 3) 0 将点 P(2,0,-1) 代入上式得 1
所以三向量 a b, b c, c a 构成一三角形，
因此三向量共面， 故混合积为零。
2. 证明 （1） c [(b c) a (a c) b]. 证明: c [(b c) a (a c) b]
(c a)(b c) (c b)(a c) (c a)(b c) (c a)(b c) 0 c [(b c) a (a c) b]
3 12 6
a, b , c 共面.
解 (2) : 设 c a b , 则
(3,12,6) ( 2,3 3,2 4)
2 3
即
3
3
Fra Baidu bibliotek
12
2 4 6
解方程组得
5 1
c 5a b .
解 (3) :
Pr
ja
bc
a (b c) |bc |
0
i jk b c 2 3 4 (30,0,15)
D
C
AG AC CG AG AB BG
AG BC (AC CG) BG (AB BG) GC AC BG , AB GC , GC CG
AG BC 0 AD BC
题组二： 空间平面与直线
1. 设平面π过点 P (2,3,-5) 且与已知平面 x-y+z=1垂直,
又与直线 15(x 1) 3( y 2) 5(z 7) 平行,
3 12 6
2 3 4 [bca] 3 12 6 0
1 3 2
4. 设 a, b, c 均为非零向量，且 a b c, b c a,
c ab, 求 a b c .
解: 由题设可知: 三向量 a, b, c 两两垂直. 所以
| a || b || c |
| a | 0 | a || a || c |2
求 a与b 的夹角. ( P50(8) )
解: (a 3b) (7a 5b) 0
7 | a |2 16a b 15 | b |2 0 7 | a |2 30a b 8 | b |2 0
(a 4b) (7a 2b) 0
a b 1 | b |2 2
7 | a |2 16a b
|
cos
sin知，
当sin 2 1时，△OAB的面积取最大值. 即 时，△OAB的面积取最大值.
4
8. 用向量证明: 三角形 的三条高交于一点. A
证明: 作三角形如图. 其中两条高BE和CF
交于点G, 要证过G点的AD 垂直于BC.
BC BG GC
FG E
B
AG BC AG BG AG GC
求平面π的方程.
解: 设平面π的法向量为 n, 则 n (1, 1,1) n (1,5,3) n / /(1,1,1) (1,5,3) i jk n 1 1 1 (2,4,6) 1 5 3
平面π的方程为 x 2y 3z 11 0
2x 5y z 4 0
2.
求过直线
L
:
x
6
y
下周六或周日就要考试了希望同学在 下面好好复习
第八章空间解析几何与向量代数 (习题课)
题组一： 向量及其 运算 1. 是非题
（1）若 a b a c且a 0，则b c.
a (b c) 0 a (b c) （2）若 a b a c且a 0, 则b c.
a (b c) 0 a / /(b c)
2a c 2a a b c b a b a b b c a c b
ac
3. 设 a (1,3,2), b (2,3,4), c (3,12,6)
（1）试证 a,b,c共面.
（2）沿 a,b分解c. （3）求 a在b c上的投影.
解(1) :
1 3 2
[a,b,c] 2 3 4 0
5. 设 a b c 0 且 a 3 , b 2，c 5， 求ab b c c a
解: a b c 0 (a b c) (a b c) 0
2(a b b c c a) (| a |2 | b |2 | c |2)
a
b
b
c
c
a
1 2
(9
4
25)
19
6. 设 a 3b 7a 5b, a 4b 7a 2b
| c | 1
| b || c || a |
| b || c || a | | c || a || b |
| b | 0 | b || b || a |2
| a | 1
| c || a || b | | a || b || c |
| c | 0 | c || b |2| c |
| b | 1
| a | | b | | c | 3
15 | b |2 0
| a || b |
a
b
1 2
|
b
|2
a
b
1 2
|
a
||
b
|
cos 1
2
7. 已知 OA a,OB b, OBA 2
(1) 证明 OAB的面积 a b a b
解:
S
OAB
1 2
|
a
b
|
1 2
|
a
|| b
|
sin
A
2
(2 b ). a
| b || a | cos
(2)
(a b)2
ab
2
a
2
2
b.
证明: (a b)2 a b 2
(| a || b | cos )2 (| a || b | sin )2
a
2
b
2
.
(3) (2a b) (c a) (b c) (a b) a c. 证明(3): (2a b) (c a) (b c) (a b)
B
b
O
S
OAB
1 2
|
a
||
a
|
cos
sin
ab ab
(2
b
2
)
1 2
|
a
||
a
|
cos
sin
结 论 成 立
| a b || a || b | cos , | a b || a || b | sin
(2) 当 a与b 的夹角为何值时, △OAB的面积取最大值.
解:
由S
OAB
1 2
|
a
||
a
（3） (a b) c a (b c).
方向
（4） (a b) c a (b c).
bc
c
b
ab
(a b)c
a
a (b c)
（5） (a b) c a (b c).
（6） (a b) [(b c) (c a)] 0. 解 : 因为 (a b) (b c) (c a) 0
3z
3
0
与点 P(2,0,-1)
的平面方程.
解: 设所求平面方程为
(2x 5y z 4) (x 6y 3z 3) 0 将点 P(2,0,-1) 代入上式得 1
所以三向量 a b, b c, c a 构成一三角形，
因此三向量共面， 故混合积为零。
2. 证明 （1） c [(b c) a (a c) b]. 证明: c [(b c) a (a c) b]
(c a)(b c) (c b)(a c) (c a)(b c) (c a)(b c) 0 c [(b c) a (a c) b]
3 12 6
a, b , c 共面.
解 (2) : 设 c a b , 则
(3,12,6) ( 2,3 3,2 4)
2 3
即
3
3
Fra Baidu bibliotek
12
2 4 6
解方程组得
5 1
c 5a b .
解 (3) :
Pr
ja
bc
a (b c) |bc |
0
i jk b c 2 3 4 (30,0,15)
D
C
AG AC CG AG AB BG
AG BC (AC CG) BG (AB BG) GC AC BG , AB GC , GC CG
AG BC 0 AD BC
题组二： 空间平面与直线
1. 设平面π过点 P (2,3,-5) 且与已知平面 x-y+z=1垂直,
又与直线 15(x 1) 3( y 2) 5(z 7) 平行,
3 12 6
2 3 4 [bca] 3 12 6 0
1 3 2
4. 设 a, b, c 均为非零向量，且 a b c, b c a,
c ab, 求 a b c .
解: 由题设可知: 三向量 a, b, c 两两垂直. 所以
| a || b || c |
| a | 0 | a || a || c |2
求 a与b 的夹角. ( P50(8) )
解: (a 3b) (7a 5b) 0
7 | a |2 16a b 15 | b |2 0 7 | a |2 30a b 8 | b |2 0
(a 4b) (7a 2b) 0
a b 1 | b |2 2
7 | a |2 16a b
|
cos
sin知，
当sin 2 1时，△OAB的面积取最大值. 即 时，△OAB的面积取最大值.
4
8. 用向量证明: 三角形 的三条高交于一点. A
证明: 作三角形如图. 其中两条高BE和CF
交于点G, 要证过G点的AD 垂直于BC.
BC BG GC
FG E
B
AG BC AG BG AG GC
求平面π的方程.
解: 设平面π的法向量为 n, 则 n (1, 1,1) n (1,5,3) n / /(1,1,1) (1,5,3) i jk n 1 1 1 (2,4,6) 1 5 3
平面π的方程为 x 2y 3z 11 0
2x 5y z 4 0
2.
求过直线
L
:
x
6
y
下周六或周日就要考试了希望同学在 下面好好复习
第八章空间解析几何与向量代数 (习题课)
题组一： 向量及其 运算 1. 是非题
（1）若 a b a c且a 0，则b c.
a (b c) 0 a (b c) （2）若 a b a c且a 0, 则b c.
a (b c) 0 a / /(b c)
2a c 2a a b c b a b a b b c a c b
ac
3. 设 a (1,3,2), b (2,3,4), c (3,12,6)
（1）试证 a,b,c共面.
（2）沿 a,b分解c. （3）求 a在b c上的投影.
解(1) :
1 3 2
[a,b,c] 2 3 4 0
5. 设 a b c 0 且 a 3 , b 2，c 5， 求ab b c c a
解: a b c 0 (a b c) (a b c) 0
2(a b b c c a) (| a |2 | b |2 | c |2)
a
b
b
c
c
a
1 2
(9
4
25)
19
6. 设 a 3b 7a 5b, a 4b 7a 2b
| c | 1
| b || c || a |
| b || c || a | | c || a || b |
| b | 0 | b || b || a |2
| a | 1
| c || a || b | | a || b || c |
| c | 0 | c || b |2| c |
| b | 1
| a | | b | | c | 3
15 | b |2 0
| a || b |
a
b
1 2
|
b
|2
a
b
1 2
|
a
||
b
|
cos 1
2
7. 已知 OA a,OB b, OBA 2
(1) 证明 OAB的面积 a b a b
解:
S
OAB
1 2
|
a
b
|
1 2
|
a
|| b
|
sin
A
2
(2 b ). a
| b || a | cos
(2)
(a b)2
ab
2
a
2
2
b.
证明: (a b)2 a b 2
(| a || b | cos )2 (| a || b | sin )2
a
2
b
2
.
(3) (2a b) (c a) (b c) (a b) a c. 证明(3): (2a b) (c a) (b c) (a b)