随机变量及其分布-课件
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随机变量函数的分布课件
解
X ~ N 0,1
fX x
1
x2
e 2,
x ,
2
第一步 先求Y的分布函数.
FY ( y) P(Y y) P( X 2 y)
① 当 y 0 时，FY y 0,
② 当 y 0 时，FY ( y) P(Y y) P( y X y )
1
y x2
2
y x2
e 2 dx
fY
(
y
)
f
X
0,
[h(
y)]
|
h(
y
)
|,
y
其他,
,
其中 min(g(), g()), max(g(), g()),
h(y)是g(x)的反函数.
例4 设随机变量 X ~ N 0,1 , 试证明X的线性函数
Y aX b, a 0 也服从正态分布．
解 X的概率密度为
fX (x)
1
( x μ)2
P 0.3 0.3 0.4
二、连续型随机变量函数的分布
1. 分布函数法 设连续型随机变量X的分布函数为FX ( x), Y g( x) 的概率分布？
方法：根据X的分布先求随机变量Y 的分布函数，
FY ( y) P(Y y) P{g( X ) y},
利用不等式等价变形，将事件“g( X ) y”转化为X的 不等式，然后通过分布函数求Y = g(X)的概率密度.
8
0 y 1 2, 2
所以Y的概率密度
y1
fY ( y)
8
,
0,
1 y 5, 其他.
例2 设随机变量X具有概率密度
f
X
(
x)
x 2
,
第七章随机变量及其分布小结PPT课件(人教版)
，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
第1课时 条件概率、乘法公式及全概率公式
条件概率公式：PA|B＝
PAB
，
PB
加法公式：如事件 B，C 互斥，则有 P( B
C | A) P( B | A) P(C | A).
乘法公式：PAB＝PBPA|B，
PAB
.
P ( A)
P ( A)
P ( B)
P ( B) 2
A产生，则B一定产生
P ( A)
由此可得， 若A B,则P ( B | A) 1,P ( A | B )
.
P ( B)
课本48页
夯实概念
2．下列说法正确的是(
)
P（B）
是可能的
P（A）
A．P(B|A)＝P(AB)
B．P(B|A)＝
C．0<P(B|A)<1
D．P(A|A)＝0
P（AB）
1
解析：∵ P(B|A)＝
，
≥1，
P（A） P（A）
∴P(B|A)≥P(AB)，故 A 不正确；
当 P(A)＝1 时，P(B)＝P(AB)，
P（B）
则 P(B|A)＝P(B)＝
，所以 B 正确；
P（A）
而 0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，∴ C、D 不正确．
击落，求飞机被击落的概率．
解：设 A＝{飞机被击落}，Bi＝{飞机被 i 人击中}，i＝1,2,3，则
P(A|B1)＝0.2，P(A|B2)＝0.6，P(A|B3)＝1．
P(B1)＝0.4×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＝0.36，
P(B2)＝0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＋0.6×0.5×0.7＝0.41，
《随机变量及分布》课件
应用
广泛应用于统计学和实证研究中的抽 样分布及模拟实验。
总结
• 随机变量与分布的概念 • 离散型随机变量及其分布 • 连续型随机变量及其分布 • 常见离散型与连续型随机变量分布 • 中心极限定理的应用
次数的概率分布。
3
几何分布
用于描述在成功与失败交替出现的是/
超几何分布
4
非试验中成功首次出现的概率分布。
用来描述无放回抽样实验中成功次数 的概率分布。
常见的连续型随机变量分布
均匀分布
在某个区间内取值的概率密度函数恒定的随 机变量。
指数分布
描述等待时间的概率分布。
正态分布
钟形曲线，广泛应用于自然科学和社会科学 中。
样本空间与事件
样本空间是所有可能的结果的集合，事件是样 本空间的子集。
离散型随机变量
概率分布函数
描述离散型随机变量的取值与可能取到的值与其概率乘积的 和。
概率质量函数
用来描述离散型随机变量分布的函数。
方差
测量随机变量离其期望值的平均距离。
连续型随机变量
概率密度函数
《随机变量及分布》PPT 课件
欢迎来到《随机变量及分布》PPT课件。本课程将带你深入了解随机变量的概 念、离散型和连续型随机变量的分布以及中心极限定理的应用。
随机变量
什么是随机变量
对随机试验结果的数值化描述，并依赖于试验 的具体情况。
离散型随机变量
取有限个或可数个数值的随机变量。
连续型随机变量
取连续数值的随机变量。
描述连续型随机变量在某个区间内取值的概率 密度。
累积分布函数
描述连续型随机变量在某个数值前取值的概率。
期望
随机变量每个可能取到的值与其概率密度乘积 的积分。
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
则称X服从参数为λ的泊松分布, 记为 X ~ P() .
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
HAINAN UNIVERSITY
概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
新教材选择性必修二8.2.1随机变量及其分布列课件(60张)
2．概率分布列 (1)定义 一般地，随机变量 X 有 n 个不同的取值，它们分别是 x1，x2，…，xn，且 P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n，① 称①为随机变量 X 的概率分布列，简称 X 的分布列．①也可以用下表的形式来表示．
X x1 x2 … xn P p1 P2 … pn 我们将上表称为随机变量 X 的概率分布表．它和①都叫作随机变量 X 的概率分布．
三、解答题 11．设 S 是不等式 x2－x－6≤0 的解集，整数 m，n∈S. (1)记“使得 m＋n＝0 成立的有序数组(m，n)”为事件 A，试列举 A 包含的基本事件； (2)设 X＝m2，求 X 的分布列．
【解析】(1)由 x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即 S＝{x|－2≤x≤3}．由于 m，n∈Z，m，n ∈S 且 m＋n＝0，所以 A 包含的基本事件为(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)， (0，0). (2)由于 m 的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3， 所以 X＝m2 的所有不同取值为 0，1，4，9， 且有 P(X＝0)＝61 ，P(X＝1)＝26 ＝13 ，
【解析】选 BCD.抛掷两枚骰子，点数之差满足小于等于－4 的只有三种情况，故第 一枚为 1 点、第二枚为 6 点，第一枚为 1 点、第二枚为 5 点，第一枚为 2 点、第二枚 为 6 点．
8．(多选题)(2021·成都高二检测)已知随机变量 X 的分布列如表(其中 a 为常数)：
X0 1 2 34 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 则下列计算结果正确的有( )
离散型随机变量及其分布列 随机变量及其分布列
基础认知·自主学习
1．随机变量 一般地，对于随机试验样本空间 Ω 中的每个样本点 ω 都有唯一的实数 X(ω)与之对应， 则称 X 为随机变量．通常用大写字母 X，Y，Z(或小写字母 ζ，η，ξ)等表示，而用小 写英文字母 x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
概率论与数理统计课件：随机变量及其分布
随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
随机变量及其分布
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
随机变量及其分布
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)
海南大学《概率论与数理统计》课件 第四章 随机变量及其分布
例如：X 0 取出的n个产品中没有次品；
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
随机变量的函数的分布ppt课件
布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为3e-2。求 任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。 解 由题意
X ~ p ( ) 且 P , X 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) 3 e 2
e e 3 e 2 2
P ( X 3 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 )
➢ k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, ….
注意: 2 = Var(X).
.
2.7.2 变异系数
方差（或标准差）反映了随机变量取值的 波动程度，但在比较两个随机变量大小时 会产生不合理的现象。 原因有二： （1）方差（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量 的方差（或标准差）也允许大一些。
52051 60 2
.
例5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公 司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际 费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外 开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资 方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况 下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合 理？
pY ( y)
pX [h( y)] | h( y) |
pX [ln
y]
1 y
1
y(1 ln 2 y)
由此得
pY ( y)
1 y(1 ln2
, y)
0,
y0 其它
.
正态变量的线性不变性
定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22).
习题
2、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且 P{X 1} P{X 2}，则 E（X）= ，D（X）=
X ~ p ( ) 且 P , X 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) 3 e 2
e e 3 e 2 2
P ( X 3 ) 1 P ( X 0 ) P ( X 1 ) P ( X 2 )
➢ k 阶中心矩：k = E[XE(X)]k ， k = 1, 2, ….
注意: 2 = Var(X).
.
2.7.2 变异系数
方差（或标准差）反映了随机变量取值的 波动程度，但在比较两个随机变量大小时 会产生不合理的现象。 原因有二： （1）方差（或标准差）是有量纲的； （2）有一个相对性问题，取值较大的随机变量 的方差（或标准差）也允许大一些。
52051 60 2
.
例5 设有一项工程有甲、乙两家公司投标承包。甲公 司要求投资2.8亿元，但预算外开支波动较大，设实际 费用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投资3亿元，但预算外 开支波动较小，设实际费用Y~N(3,0.22)。现假定工程资 方掌握资金(1)3亿元，(2)3.4亿元，为了在这两种情况 下，不至造成资金赤字，选择哪家公司来承包较为合 理？
pY ( y)
pX [h( y)] | h( y) |
pX [ln
y]
1 y
1
y(1 ln 2 y)
由此得
pY ( y)
1 y(1 ln2
, y)
0,
y0 其它
.
正态变量的线性不变性
定理2.6.2 设 X ~N (, 2)，则当a 0 时， Y = aX+b ~ N (a +b, a22).
习题
2、设随机变量 X 服从参数为的泊松分布，且 P{X 1} P{X 2}，则 E（X）= ，D（X）=
概率论与数理统计-第二章-随机变量及其分布函数ppt课件
表格: X
x1 x2
pk
p1 p2
概率分布图：
1P
xn
pn
0.5
x4 x3
x1
x2
X
.
由概率的性质易知离散型随机变量的分布列
pk
满足下列特征性质:
k 1
① pk 0(k 1,2,) [非负性]
②
pk 1 [规范性]用于确定待定参数
k 1
③ F( x) P( X x) P(X xi ). xi x
1. 2
.
【例2】设随机变量X的分布函数为
aex b, x 0
F(x)
0,
x0
解： 因为 F(x) 在 x=0 点右连续
求: 常数 a 和 b。
所以 lim F ( x) lim (ae x b) a b 0
x0
x0
又因为 F () lim (ae x b) b 1 x
1、两点分布 或（0 - 1）分布
two-point distribution
定义1 设离散型随机变量X的分布列为
X0 1 pk 1 p p
其中 0<p<1
则称 X 服从（0 - 1）分布，记作 X ～（0 - 1）分布
F(x)
（0 - 1）分布的分布函数
0 , x0 F ( x) 1 p, 0 x 1
X = “三次试验中 A 发生的次数”，
{ X 2} A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 P{X 2} P(A1A2 A3 A1A2 A3 A1A2 A3 )
P(A1A2 A3 ) P(A1A2 A3 ) P(A1A2A3 ) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2)P(A3) P(A1)P(A2 )P(A3 ) C32 p2(1 p)32
随机变量及其分布PPT课件
35
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
依题意x可取值0第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口118x表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务每出租一辆汽车可从出租公司得到3因代营业务每天加油站要多付给职工服务费60元
一般地，我们给出如下定义:
定义1 ：Байду номын сангаасxk(k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值，称
P(X xk ) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率分布列
简称分布列, 又称分布律.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
用这两条性质判断
k=1,2, … 一个函数是否是
P( X k) a k , k =0,1,2, …, 0
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
依题意x可取值0第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口118x表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口3路口2路口1路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123路口3路口2路口1第i个路口遇红灯i123某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务每出租一辆汽车可从出租公司得到3因代营业务每天加油站要多付给职工服务费60元
一般地，我们给出如下定义:
定义1 ：Байду номын сангаасxk(k=1,2, …)是离散型随 机变量X所取的一切可能值，称
P(X xk ) pk, k=1,2,… …
为离散型随机变量X的概率分布列
简称分布列, 又称分布律.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
用这两条性质判断
k=1,2, … 一个函数是否是
P( X k) a k , k =0,1,2, …, 0
概率论与数理统计课件：多维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
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在实际问题中, 试验结果有时需要同时用两个或两
个以上的随机变量来描述.
如， 炮弹的弹着点的位置, (X, Y)是一个二维随
机变量.
又如，研究天气变化状况，令X, Y, Z分别表示
温度、湿度、风速，则(X, Y, Z)是一个三维随机变量.
研究多维随机变量有必要将多个变量作为一个整
二元函数
F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P ( X x , Y y )
称为随机变量(X,Y)的联合分布函数。
一维随机变量X的联合分布
函数F ( x ) P ( X x ).
多维随机变量及其分布
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F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
y
F ( , y ) 0,
o
F ( x , ) 0,
F ( , ) 0, F ( , ) 1;
4 F ( x , y )关于x和y分别右连续；
x1
F ( x1 , y ) F ( x2 , y )
5 对于任意x1 x2 , y1 y2 , 有矩形公式
…
…
…
…
X
性质： 1 pij 0, i , j 1, 2, ;
2
p
i 1 j 1
多维随机变量及其分布
ij
1.
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例1 从1,2,3,4中任取一个数记为X、再从1,2, ⋯ ,
中任取一个数记为Y,求 ( X, Y ) 的联合分布律及P
( X=2Y ).
解：
可以证明，f(x,y)满足联合密度的性质。
随机变量及其分布复习课件.ppt
有
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
F(x) x f(t)dt，
则称X为连续型随机变量，其中f(x)称为X的概率 密度函数，简称概率密度。
（II）概率密度的性质
( 1 ) 非 负 性 ： f( x ) 0 ， x R .
(2)规 范 性 ：f(x)dx1. 4
( 3 )对 于 任 意 实 数 a b, 有
P{aXb}abf(x)dx . F(b)F(a)
求这个区间的端点,分二种情形讨论之：
17
（1）区间的一个端点是无穷大，即已知P(X < x) = p1 或P(X > x) = p2，求x .
利用 或
然后反查标准正态分布表，即可求出x （2）区间关于μ对称，不妨设为(μ−a,μ+a)，而 P(μ−a<X<μ+a) = p，求a
18
四.随机变量的函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布
几种重要的 离散型分布
均指 正 匀数 态 分分 分 布布 布
二项分布的 正态近似
二项分布的 泊松近似
二项 分布
泊几
松何
分分 布 布 21
例题选讲
例1 甲、乙、丙3人进行独立射击 每人的命中率依 次为03 04 06 设每人射击一次 试求3人命中总 数之概率分布律 分析 求离散型随机变量的概率分布的步骤为:(1) 写
23
例2 投掷一个均匀骰子n 次，求(1)恰好得到一个6点的概 率；(2)至少得到一个6点的概率；(3)为了以0.5的概率保 证至少得到一个6点，则至少要投掷几次？
所以至少要投掷4次.
24
例3 设 X 的分布律为 X 1012 1111 p 4444
求 Y X 2 的分布律 .
解 Y 的可能值为 (1)2, 02,12, 22; 即 0, 1, 4.
2.1随机变量及其分布(1,2)课件
(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a )
x a
任一随机变量 的分布函数 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布函数.
X 服从离散均匀分布.
三、分布函数 离散型随机变量的特点是： 其取值范围是有限集
或可列集. 其概率分布可用列表法表示: X x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
但有些随机变量是非离散的,它的取值可能是 某一
区间内的一切值.
x x
lim F x 1
(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a ) 证（1）0 F ( x ) P{ X x } 1 （2） a b 时, X a
1 P{ X 2 } P{ X 4 } P{ X 6 } ... P{ X 2n } ...
p 2 p 4 p 6 ... p 2 n ... 1 p2 1 2 2 2 1 p p 2p 1 p 2
p2
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1
A x2 xk
p2
pk
则对于集合 xn n 1,2,3,... 的任一子集 A, 事件
“ X 在 A 中取值” 即“X A ” 的概率为
P{ X A } pk
xk A
只有两种对立结果： 对于贝努利试验， “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中， A发生的次数， 即
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a )
x a
任一随机变量 的分布函数 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布函数.
X 服从离散均匀分布.
三、分布函数 离散型随机变量的特点是： 其取值范围是有限集
或可列集. 其概率分布可用列表法表示: X x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
但有些随机变量是非离散的,它的取值可能是 某一
区间内的一切值.
x x
lim F x 1
(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a ) 证（1）0 F ( x ) P{ X x } 1 （2） a b 时, X a
1 P{ X 2 } P{ X 4 } P{ X 6 } ... P{ X 2n } ...
p 2 p 4 p 6 ... p 2 n ... 1 p2 1 2 2 2 1 p p 2p 1 p 2
p2
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1
A x2 xk
p2
pk
则对于集合 xn n 1,2,3,... 的任一子集 A, 事件
“ X 在 A 中取值” 即“X A ” 的概率为
P{ X A } pk
xk A
只有两种对立结果： 对于贝努利试验， “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中， A发生的次数， 即
《随机变量 》课件
正态分布
广泛应用于自然和社会科学中， 形态对称且集中在均值附近的分 布。
随机变量的应用
统计学中的应用
随机变量在统计学中广泛应 用于推断、模型估计和假设 检验等领域。
金融学中的应用
随机变量在金融学中用于模 拟风险、计算期权定价和构 建投资组合等。
工程学中的应用
随机变量在工程学中有助于 分析不确定性、预测可靠性 和设计优化。
式，用于估计随机变量与其期望之间的
3
关系。
期望、方差和标准差
解释了随机变量的期望、方差和标准差， 并讨论了它们的重要性。
大数定理和中心极限定理
讲解了大数定理和中心极限定理，揭示 了随机变量的稳定性和分布规律。
一些常见的随机变量
二项分布
描述了具有两个互补结果的随机 试验的分布。
泊松分布
用于描述单位时间内独立随机事 件发生次数的分布。
频率函数用于描述离散随机变 量的分布，概率密度函数用于 描述连续随机变量的分布。
离散随机变的分布
介绍了常见的离散随机变量分 布，如二项分布和泊松分布。
连续随机变量的分布
介绍了常见的连续随机变量分 布，如正态分布和指数分布。
随机变量的数字特征1Fra bibliotek切比雪夫不等式和马尔科夫不等
2
式
介绍了切比雪夫不等式和马尔科夫不等
总结
随机变量是概率论和数理统计中的重要概念，掌握随机变量的定义、分布和 数字特征对于深入理解概率与统计学至关重要。
《随机变量 》PPT课件
本课件介绍了随机变量的基本概念、分布以及数字特征，还探讨了随机变量 在统计学、金融学和工程学中的应用。
什么是随机变量
定义
随机变量是表示随机实验结果的数值的变量。
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重复
• (1)试验可以在相同的情形明下确可知 进行；
பைடு நூலகம்
• (2)试一验个的所有可能结果是
并且不只
；
的，
一个
• (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中
的
，但在一次试验之前却不能肯定
这次试验试会验出结现果 哪一个结果．
• 这种试所验有取就值是可以一一个一随列出机试验，为了方便起 见，也简称试验．
• [例1] 投掷一枚均匀硬币一次，随机变量 为( )
• 2．1 离散型随机变量及其分 布列
• 2．1.1 离散型随机变量
• 1．通过实例了解随机变量的概念，理解离 散型随机变量的概念．
• 2．能写出离散型随机变量的可能取值，并 能解释其意义．
• 本节重点：随机变量、离散型随机变量的 概念．
• 本节难点：随机变量、离散型随机变量的 意义．
• 1．一个试验如果满足下列条件：
• [点评] 解此类题主要是运用离散型随机变 量的定义，透彻理解定义是解此类题的关 键．随机变量X满足三个特征：①可以用数 来表示；②试验之前可以判断其可能出现 的所有值；③在试验之前不能确定取何 值．
• 一、选择题 • 1．10件产品中有2件次品，从中任取一件，
随机变量为
•( ) • A．取到次品的个数 • B．取到产品的个数 • C．取到正品的概率 • D．取到次品的概率 • [答案] A • [解析] 由随机变量的定义知取到次品的
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/6
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
•
14、意志坚强的人能把世界放在手中 像泥块 一样任 意揉捏 。2021年3月6日星期 六2021/3/62021/3/62021/3/6
•
15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2021年3月2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/62021/3/6Marc h 6, 2021
• 二、填空题
• 4．一串钥匙有5枚，只有一把能打开锁， 依次试验，打不开的扔掉，直到找到能打 开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可 能取值为________．
• [答案] 4
5．已知 Y＝12X 为离散型随机变量，Y 的取值范围为 {18，16，14，12，1}，则 X 的取值范围为________．
• A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数 X
• B．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范 围内变化，该水位监测站所测水位H
• C．你每天早晨起床的时间
• D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X
• [答案] B
• [解析] 水位在(0,18]内变化，不能一一举 出，故不是离散型随机变量，故选B.
•
11、越是没有本领的就越加自命不凡 。2021/3/62021/3/62021/3/6M ar-216- Mar-21
•
12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人 的错儿 。2021/3/62021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
•
13、知人者智，自知者明。胜人者有 力，自 胜者强 。2021/3/62021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021
个数为随机变量，故选A.
• 2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个， 从袋中每次任意取出一个球，直到取出的 球是白色为止时，所需要的取球次数为随 机变量X，则X的可能取值为( )
• A．1,2，…，6 • B．1,2，…，7 • C．1,2，…，11 • D．1,2,3… • [答案] B
• 3．下列随机变量中，不是离散型随机变 量的是( )
• A．出现正面的次数 • B．出现正面或反面的次数 • C．掷硬币的次数 • D．出现正、反面次数之和 • [答案] A • [分析] 严格根据随机变量的定义进行判
断．
• [解析] 掷一枚硬币，可能出现的结果是 正面向上或反面向上，以一个标准如正面 向上的次数来描述一随机试验，那么正面 向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1， 故选A.而B中实际是总的掷币次数它不是 随机变量，C中掷硬币次数是1，不是随机 变量，D中对应的事件是必然事件，故B， C，D都不正确，故选A.
• (1)从一个装有编号为1号到10号的10个球 的袋中任取1球，被取出的球的编号为X；
• (2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从 中任取4个球，其中所含红球的个数为X；
• (3)投掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为 X，所得点数之和是偶数为Y.
• [分析] (1)所取球的编号X是离散型随机 变量，X可能取1,2，…，10，如X＝1表示 取出的是1号球；(2)从中任取4个球，所含 红球的个数X也为离散型随机变量，X可能 的取值为0,1,2,3,4，如X＝2表示取出2个红 球2个白球；(3)X和Y都是离散型随机变量， X的可能取值为2,3,4,5，…，12，Y的可能 取值为2,4,6,8,10,12.如X＝3表示两种情况， 甲掷出1点，乙掷出2点，记为(1,2)，或甲 掷出2点，乙掷出1点，记为(2,1)；Y＝2表 示(1,1)等．
• [解析] (1)X的可能取值为1,2,3，…，10， X＝k(k＝1,2，…，10)表示取出第k号球．
• (2)X的可能取值为0,1,2,3,4.X＝k表示取出k 个红球，4－k个白球，k＝0,1,2,3,4.
• (3)X的可能取值为2,3,4，…，12.若以(i，j) 表示投掷甲、乙两枚骰子后骰子甲得i点且 骰子乙得j点，则X＝2表示(1,1)；X＝3表 示 (1,2) ， (2,1) ； X ＝ 4 表 示 (1,3)(2,2)(3,1)；…；X＝12表示(6,6)．Y的 可能取值为2,4,6,8,10,12.
[答案] {14，13，12，1,2} [解析] 由题意可知 X＝2Y， 又 Y∈{18，16，14，12，1}， 所以 X∈{14，13，12，1,2}．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/62021/3/6Saturday, March 06, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/3/62021/3/62021/3/63/6/2021 9:50:12 AM
• [点评] 解此类题要透彻理解随机变量的 含义，随机变量从本质上讲就是以随机试 验的每一个可能结果为自变量的一个函数， 即随机变量的取值实质上是试验结果对应 的数，但这些数是预先知道的所有可能的 值，每一个值都是明确可知的，并且所有 可能的值不止一个，只是在试验前不知道 究竟是哪一个值．
• [例3] 写出下列各随机变量可能的取值， 并说明随机变量所取的值所表示的随机试 验的结果．