四边形知识题型总结

6. ※ 梯形的中位线 （1）定义 :连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
（2）梯形的中位线定理 : 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半
.
（3）梯形的面积
S=1 2
×（上底
+下底）
×高 =中位线
×高
7.几种特殊四边形的对角线 ① 矩形对角线交角为 60 (120 )时 ,可得：
60 60
等边三角形和含 30 角直角三角形
则 ABCD 的周长为
．
2．在 ABCD 中，∠ C=60 o,DE⊥ AB 于 E,DF⊥ BC 于 F．
（ 1）则∠ EDF=
；
D
C
（ 2）如图，若 AE=4 ， CF=7 ，
则 ABCD 周长 =
;
F
A
(3) 若 AE=3 ， CF=7 ，请作出对应图形，并求
E
B
ABCD 周长．
3． (1) 在平行四边形 ABCD 中，若∠ C=∠ B+ ∠ D，则∠ A=
D
F
C
②若⊿ AEF 绕 A 点旋转，保持∠ EAF=45 o，
问⊿ CEF 的周长是否随⊿ AEF 位置的变化而变化？
E
11
A
B
图 27(1)
（2）如图 27(2) ，已知正方形 ABCD 的边长为 1， BC 、CD 上各有一点 E、F，如果⊿ CEF 的周长为 2． 求∠ EAF 的度数．
D
18．已知点 E、 F 在正方形 ABCD 的边 BC 、CD 上，
（1）若 BE=CF ，如图 13(1)．求证： AE=BF 并且 AE ⊥BF ；
A
D
F G
BE
C
（2）若 E、 F 分别是 BC 、 EF 的中点，如图 13(2)，求证： GD=AD ．
A
D
F
9
G
B
E
C
19．（ 2007 浙江金华）国家级历史文化名城——金华， 风光秀丽， 花木葱茏． 某 E
E C B
\
（三） 转化的思想——将梯形问题通过化归、 分割、 拼接转化成三角形和平
行四边形问题 . 如图所示：
13．填空 （1）等腰梯形上底长为
则下底长是
3cm，腰长为 4cm，其中锐角等于 60o， ．
7
（2）等腰梯形一个底角是 60o，它的上、下底分别是 8 和 18，则这梯形的
腰长是
，高是
，面积是
．
（3）在直角梯形中，垂直于底的腰长 5cm，上底长 3cm，另一腰与下底的
夹角为 30o，则另一腰长为
，下底长为
．
（4）等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为
6，则高为
，
面积为
．
（5）已知在梯形 ABCD 中， AD//BC ，若两底 AD 、 BC 的长分别为 2、 8，
两条对角线 BD=6 ， AC=8 ，则梯形的面积为
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6（. 2007 甘肃陇南） 顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是
()
A ．平行四边形
B．菱形
7.（ 2007 四川眉山）下列命题中的假命题是
C ．矩形 ()
D ．正方形
A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形
广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图） ，分别种有红、黄、蓝、绿、
橙、紫 6 种颜色的花．如果有 AB ∥ EF ∥ DC ， BC ∥ GH ∥ AD ，那么
下列说法中错误的是（
）
A ．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等
D ．蓝花、黄花种植面积一定相等
(1) 顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是
_______________
(2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点 , 构成的四边形是 __________
(3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是
_______
(4) 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是
_________
F
C
E
A
B
图 27（2）
（3）如图 27(3) ，已知正方形 ABCD ， F 为 BC 中点 A
D
E 为 CD 边上一点，且满足∠ BAF= ∠ FAE ．
求证： AE=BC+CE ．
E
B
F
C
图 27（ 3）
（五）知识的联系与综合
28．已知 ABCD 的顶点 A 、 B、 C 的坐标为 (-2,3),(-5,-4),(1,-4) ，则 D 点
A.4< a<16
B.4< a<26
C. 12<a<20
D.8< a<32
23.平行四边形中一边长为 10cm，那么两条对角线的长度可以是（
）
A ．4cm 和 6cm
B． 6cm 和 8cm
C． 8cm 和 12cm
D． 20cm 和 30cm
24.（ 07 北京市 23）如图，已知 △ ABC ． (1) 请你在 BC 边上分别取两点 D， E （ BC 的中点除外） ，连结 AD，AE ，
两次反射后的光线 O`B 平行于 ，则角 等于
．
31．已知矩形的对角线长为 13，周长为 34，则这个矩形的面积为
．
32.（05,潍坊）如图 ,在直角坐标系中 ,将长方形 OABC 沿 OB 对折 ,使点 A 落
在 A 处,已知 OA= 3 ,A B=1则, 点 A 的坐标是（
）
1
1
A.（
3,3） 22
30 （①图）
② 菱形有一个角为 60 时, 可得：
③ 正方形中可得：
含 30 角的四个全等直角三角形
四大四小等腰直角三角形
60 60
（②图） ④ 对角线互相垂直的梯形 , 平移腰可得：双垂图
（③图） ⑤ 对角线互相垂直的等腰梯形
可得：等腰直角三角形
A
D
（④图）
B
E
C
F
（⑤图）
8. 中点四边形 : （顶点为各边的中点，需讨论对角线 & 中位线）
AF 、DE 相交于点 G，CE、 BF 交于点 H ．求证：四边形 GEHF 是平行
四边形 .
A
F
D
G
H
B
E
C
8
16．平行四边形 ABCD 中， 点 E、F 分别在 BC、AD 上， 且 AF=CE ，,求证：
四边形 AECF 是平行四边形 .
A
F
D
B
EC
17．求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形．
断四边形 PQMN 的形状．
P
CQ
l1
D B
N
A
M
l2
11．如图，在正方形 ABCD 中， E、F、 G、 H 分别为正方形边上的点，而
且 AE=BF=CG=DH ，求证：四边形 EFGH 为正方形．A
H D
E
G
6
B
F
C
12．如图，在矩形 ABCD 中， E 是 CD 边上一点， D
AE=AB ， AB=2AD ，求∠ EBC 的度数 A
写出使此图中只存．在．两．对．． 面积相等的三角形的相应条件， 并表示出面积相等 的三角形；
(2) 请你根据使（ 1）成立的相应条件，证明 AB AC AD AE ．
A
B
C
10
25．如图已知 △ ABC ，过顶点 A 作∠ B、∠ C 的平分线的
垂线， AD ⊥ BD 于 D， AE ⊥ CE 于 E．求证： ED//BC ．
（2）从属关系 （依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形， 等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中， 其中每一个圆代表一种图形）
1
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和
常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算
.
名称
平行四边形
矩形
菱形
CHale Waihona Puke Baidu
9.（ 2007 浙江嘉兴）如图，在菱形 ABCD 中，不一定成立的（
）
Ａ． ABCD Ｂ． AC ⊥BD Ｃ．等边△ ABD Ｄ．∠ CAB＝∠ CAD
（二）图形的性质和判定方法
10．如图，已知四边形 ABCD 是正方形，分别过 A 、 C 两点作 1 // 2 ，作
BM ⊥ 2 于 M ，DN ⊥ 2 于 N，直线 MB 、ND 分别交 1 、 2 于 Q、P，试判
BC
图2
（ 2）同底 (等底 )同高（等高）的平行四边形面积相等 .如图 2，
S ABCD =S BCFE
4.三角形中位线定理 定义 : 定理 :
叫做三角形中位线 （与中线的区分） ;
作用 :可以证明两条直线平行 ;线段的相等或倍分 .
拓展 :三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个
的
小三角形， 其面积和周长分别为原三角形面积和周长的
坐标为
29. 如图，已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于平面直角坐标系的
原点，点 A 的坐标为 (-2,3)，则点 C 的坐标为（ ）
A 、 (-3,2) y
A
B、 (-2,-3)
C、 (3,-2)
D 12
D 、 (2,-3) y
A1
O
x
C
B
B
O A
O'
第 30 题图
第 32 题图
30．如图，两平面镜 、 的夹角为 ，入射光线 AO 平行于 入射到 ，
B.（ 3 , 3） C.（ 3 , 3 ）
第十九章 四边形知识与题型总结
一 .本章知识要求和结构
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内
在关系 . （1）演变关系图：
一个内角 为Rt
一个内角为 Rt , 一组邻边相等
四边形
行 平 边 对 组 两 且一另组一对组边对平边行不平行
一组邻边 相等 一个内角 为Rt
一组邻边 相等
A
D
∠ABE＝90°，则∠ F ＝
°．
B
C
E
F
4．（ 2007 福建福州）下列命题中，错误的是（
）
A ．矩形的对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．等腰梯形的两条对角线相等 D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
5
5.（ 2007 浙江义乌）在下列命题中，正确的是（
）
A ．一组对边平行的四边形是平行四边形
A
G紫 黄 蓝
B F
D 绿
红H 橙
C
20.（ 06 盐城）已知
ABCD 的面积为 4，对角线交于 O，
则 S△AOB =
．
21.若 A,B,C 三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（
）
A ．1 个
B．2 个
C． 3 个
D． 4 个
22.平行四边形一边长为 10，一条对角线长为 6，则它的另一条对角线 a 的 取值范围是（ ）
和
;
（4 ）直角三角形的性质 定理 : 直角三角形斜边上的中线 5.正方形：
（1）对角线：若正方形的边长为 a，则对角线的长为 2a ;
正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等
3
（3）面积：正方形的面积等于边长的平方 ; 等于两条对角线的乘积的一半 . 周长相等的四边形中， 正方形的面积最大 .
4
顺次连结矩形各边中点构成的四边形是 顺次连结菱形各边中点构成的四边形是
_________ _________
顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是 __________
顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是 __________
二．典型题型归纳
（一）概念题
1． ABCD 中，∠ A 的平分线分 BC 成 4cm 和 3cm 两条线段，
E
A F
B
C
26．如图，已知 BD 、CE 是⊿ ABC 的两条高， M 、 N 分别是 BC、 DE 的中点．
求证：（ 1）EM=DM ；（ 2） MN ⊥ DE．
B
A
E
N
D
M
C
27．（ 1）如图 27(1) ，正方形 ABCD ， E、 F 分别为 BC、 CD 边上一点．
①若∠ EAF=45 o．求证： EF=BE+DF ．
B ．一组邻边相等的矩形是正方形
C． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
A
D ．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
8.（ 2007 四川成都）下列命题中，真命题是（
）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形
B
D
Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
定
义 的四边形是平行四
的 平 行 四 边 形 是 矩 的平行四边形是
边形
形
菱形
正方形
的平 行四边形是 正方形
边
性角 对 角
质线 对 称 性
边
判
角
定
对
角
线
面
积
2
周 长
3. （ 1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积
.
如图 1， S ABCD =BC·AE=CD·BF
A
D
B E
C
F
图1
AD
EF
.
(2)已知在 ABCD ,∠ A 比∠ B 小 20o，则∠ C 的度数是
．
(3)在 ABCD 中，周长为 100cm，AB-BC=20cm ，则 AB=
,
BC=
.
（ 4）在 ABCD 中，周长为 30cm，且 AB ：BC=3 ：2，则 AB=
cm.
（ 5）（ 2007 河北省）如图， 若□ABCD 与 □EBCF 关于 BC 所在直线对称，
．
（四）推理论证的进一步巩固
14．（ 2007 恩施自治州）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交 于点 O,E 、F 是直线 AC 上的两点，并且 AE=CF, 求证：四边形 BFDE
是平行四边形 .
15．如图，在平行四边形 ABCD 中， E、F 分别是直线 AB 、 CD 的中点，