传热学-第三章 非稳态导热
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第三章
非稳态导热
第三章 非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点) 瞬态非稳态导热 (定义及特点)
第三章 非稳态导热
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
第三章 非稳态导热
此处Bn为离散面(特征值)
2 n a
n n 若令 则上式可改写为：
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n
补充求解过程（黑板推导）
第三章 非稳态导热
2 n
a
2
*
25
μ n为下面超越方程的根
t t e 0 t0 t
hA Vc
过余温度比
hA hV A2 其中的指数： 2 cV A V c h(V A)
a Biv Fov 2 (V A)
Biv
h(V A)
a Fov (V A) 2
Fov 是傅立叶数
2 t t a 2 x
( 0 x , 0 )
初始条件
t t0
t 0 x
0
x 0
(对称性)
边界条件
t h( t t ) x
第三章 非稳态导热
x
23
引入变量－－过余温度 令
上式化为：
( x , ) t( x , ) t
上式的几何意义：在整个非稳 态导热过程中平壁内过余温度 分布曲线在边界处的切线都通 过点 O( / h,0) 即 ， O( / Bi,0) 该点称为第三类边界条件的定 向点。
第三章 非稳态导热 8
(a) Bi0:平壁的导热热阻趋于零，平壁 内部各点温度在任一时刻都趋于一致，只 随时间而变化，变化的快慢取决于平壁表 面的对流换热强度。定向点在无穷远处。 工程上只要Bi0.1，就可以近似地按这 种情况处理，用集总参数法进行计算。 (b) Bi∞: 流换热热阻趋于零 ，非稳 对 态导热一开始平壁表面温度就立即变为流 体温度，相当于给定了壁面温度，即给定 了第一类边界条件，平壁内部的温度变化 完全取决于平壁的导热热阻。定向点位于 平壁表面上。 当Bi>100时可近似按此处理。 (c) 0<Bi<100，按一般情况处理。 第三章 非稳态导热
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
正规状况阶段 (正常情况阶段) 导热过程的三个阶段 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
温度分布主要受初始温 度分布控制
温度分布主要取决于边 界条件及物性
第三章 非稳态导热
4
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
1 e 36.8% 0
0
Biv Fov
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
第三章 非稳态导热 16
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时
间常数 ( Vc / hA) 小。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对
21
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的 无限长圆柱 对半径为R 的 球
M 1 1 M 2 1 M 3
第三章 非稳态导热
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ =const
a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
第三章 非稳态导热 22
此半块平板的数学描写： 导热微分方程
e 0
hA Vc
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 2 m hA w 1 m K Vc J s kg J 3 3 kg.K [m ] m
14
第三章 非稳态导热
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
第三章 非稳态导热
0
7 x
(3)毕渥数Bi对温度分布的影响的分析 平壁非稳态导热第三类边界条件表达式
h x x
x
x
x
x x h Bi
上式可改写为 ln m C Bi, x 2 该式说明，当Fo0.2时，即 0.2 a 时，平 壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并 且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段称为非 稳态导热的正规状况阶段 。 上式两边求导，可得 1 2 a m 1 2
的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义， 以及定义式中各个参数的意义。
第三章 非稳态导热 10
§3-2 集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi 0 ，温度分布只与时间有
2 a 2 x 0 0 x h x
第三章 非稳态导热
0 x , 0
0
x0 x
24
用分离变量法可得其分析解为：
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
c
)
c
)
第三章 非稳态导热
19
4
Biv Fov 物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周 围介质的温度。
9
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参 数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将 这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象， 或物理过程的主要特征，并且没有量纲。
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，
比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
方程式改写为：
d
hA d Vc
12
第三章 非稳态导热
d
hA d Vc
积分
hA 0 0 d Vc
d
hA ln 0 Vc
2 n a
( x, ) 2 sin( Hale Waihona Puke Baidu n ) cos( n x) ( ) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
n
2
a
2
x 因此 ( x , ) 是F0, Bi 和 函数，即 0
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
1 的量纲相同，当 Vc 时，则 即与 hA
hA 1 Vc
此时，
e 1 36.8% 0
Vc
时，物体的过
上式表明：当传热时间等于
hA 余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 Vc 称 为时间常数，用 c 表示。 hA
第三章 非稳态导热
15
c
m的物理意义是过余温度对时间 的相对变化率，单位是1/s，称 为冷却率（或加热率）。 上式说明，当Fo 0.2，进入正规状况阶段后，所 有各点的冷却率都相同，且不随时间而变化，其大小 取决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。 29 第三章 非稳态导热
流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
5倍时间常数时过余温度为0.67%，有些场合按5倍作为达到热平衡的标准
第三章 非稳态导热 17
3 瞬态热流量：
注意：特征值 n
特征数（准则数） 区别
第三章 非稳态导热 27
分析解的讨论 傅里叶数 Fo 对温度分布的影响 分析解的计算结果表明，当Fo 0.2时，可近似取级 数的第一项，对工程计算已足够精确，即 x, 2sin 1 x 12 Fo cos 1 e 0 1 sin 1 cos 1 a 因为 Fo 2 ，所以将上式左、右两边取对数，可得 2sin 1 x ln m ln 0 cos 1 1 sin 1 cos 1 2 a 式中 m 1 2 m为一与时间、地点无关的常数，只 取决于第三类边界条件、平壁的物性 与几何尺寸。 式右边的第二项只与Bi第三章 非稳态导热 、x/ 有关，与时间 无关。 28
第三章 非稳态导热 5
6 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
h
n ctg n h
为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
书上P73表3-1给出了部分Bi数下的μ1值
第三章 非稳态导热 26
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
第三章 非稳态导热 6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
hA Vc
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 Φ( )d Vc 0 (1 e
) J
Q Vc0 (1 e
c
)
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
第三章 非稳态导热
无量纲 时间
20
5 集总参数法的应用条件 采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
Biv
h( V A )
0.1M
M是与物体几何形状 有关的无量纲常数
V A A A V R 2 R A 2R 2 4 R 3 R V 3 2 A 4R 3 Biv Bi Bi Biv 2 Biv Bi 3
零维问题。 关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时，t t0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。
第三章 非稳态导热 11
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
dt （也能从微分方程直接得到此式） hA(t t ) - Vc d 令： t t — 过余温度，则有
上述可忽略固体内部导热热阻的加热或冷却又称为牛顿加热或冷却
第三章 非稳态导热 18
导热体在时间
由下式计算：
0~ 内传给流体的总热量也可
Q cV (t 0 t ) cV ((t 0 t ) (t t )) cV ( 0 ) cV ( 0 0 e cV 0 (1 e
非稳态导热
第三章 非稳态导热
1
§3-1 非稳态导热的基本概念
1 非稳态导热的定义 . 2 非稳态导热的分类
t f (r , )
周期性非稳态导热 (定义及特点) 瞬态非稳态导热 (定义及特点)
第三章 非稳态导热
2
着重讨论瞬态非稳态导热
3 温度分布：
t
1
4 3
2
1
t
0
0
第三章 非稳态导热
此处Bn为离散面(特征值)
2 n a
n n 若令 则上式可改写为：
2 sin n ( x , ) x cos( n ) e 0 n 1 n sin n cos n
补充求解过程（黑板推导）
第三章 非稳态导热
2 n
a
2
*
25
μ n为下面超越方程的根
t t e 0 t0 t
hA Vc
过余温度比
hA hV A2 其中的指数： 2 cV A V c h(V A)
a Biv Fov 2 (V A)
Biv
h(V A)
a Fov (V A) 2
Fov 是傅立叶数
2 t t a 2 x
( 0 x , 0 )
初始条件
t t0
t 0 x
0
x 0
(对称性)
边界条件
t h( t t ) x
第三章 非稳态导热
x
23
引入变量－－过余温度 令
上式化为：
( x , ) t( x , ) t
上式的几何意义：在整个非稳 态导热过程中平壁内过余温度 分布曲线在边界处的切线都通 过点 O( / h,0) 即 ， O( / Bi,0) 该点称为第三类边界条件的定 向点。
第三章 非稳态导热 8
(a) Bi0:平壁的导热热阻趋于零，平壁 内部各点温度在任一时刻都趋于一致，只 随时间而变化，变化的快慢取决于平壁表 面的对流换热强度。定向点在无穷远处。 工程上只要Bi0.1，就可以近似地按这 种情况处理，用集总参数法进行计算。 (b) Bi∞: 流换热热阻趋于零 ，非稳 对 态导热一开始平壁表面温度就立即变为流 体温度，相当于给定了壁面温度，即给定 了第一类边界条件，平壁内部的温度变化 完全取决于平壁的导热热阻。定向点位于 平壁表面上。 当Bi>100时可近似按此处理。 (c) 0<Bi<100，按一般情况处理。 第三章 非稳态导热
3
4 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段)
正规状况阶段 (正常情况阶段) 导热过程的三个阶段 非正规状况阶段（起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
温度分布主要受初始温 度分布控制
温度分布主要取决于边 界条件及物性
第三章 非稳态导热
4
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
1 e 36.8% 0
0
Biv Fov
应用集总参数法时，物体过余温度的变化曲线
第三章 非稳态导热 16
如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时
间常数 ( Vc / hA) 小。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对
21
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的 无限长圆柱 对半径为R 的 球
M 1 1 M 2 1 M 3
第三章 非稳态导热
§3-3 一维非稳态导热的分析解
1.无限大的平板的分析解
λ =const
a=const
h=const
因两边对称，只研究半块平壁
第三章 非稳态导热 22
此半块平板的数学描写： 导热微分方程
e 0
hA Vc
e
Biv Fov
物体中的温度 呈指数分布
方程中指数的量纲：
W 2 2 m hA w 1 m K Vc J s kg J 3 3 kg.K [m ] m
14
第三章 非稳态导热
tf
h
t
tf h
0
r
t
x
tf
h
r h Bi rh 1 h
第三章 非稳态导热
0
7 x
(3)毕渥数Bi对温度分布的影响的分析 平壁非稳态导热第三类边界条件表达式
h x x
x
x
x
x x h Bi
上式可改写为 ln m C Bi, x 2 该式说明，当Fo0.2时，即 0.2 a 时，平 壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并 且变化曲线的斜率都相等，这一温度变化阶段称为非 稳态导热的正规状况阶段 。 上式两边求导，可得 1 2 a m 1 2
的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义， 以及定义式中各个参数的意义。
第三章 非稳态导热 10
§3-2 集总参数法的简化分析
1 定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的
分析方法。此时，Bi 0 ，温度分布只与时间有
2 a 2 x 0 0 x h x
第三章 非稳态导热
0 x , 0
0
x0 x
24
用分离变量法可得其分析解为：
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
c
)
c
)
第三章 非稳态导热
19
4
Biv Fov 物理意义
l 物体内部导热热阻 Bi ＝ 1 h 物体表面对流换热热阻 hl
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体 内部，因而，物体各点地温度就越接近周 围介质的温度。
9
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参 数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将 这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象， 或物理过程的主要特征，并且没有量纲。
因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，
比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类似
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
方程式改写为：
d
hA d Vc
12
第三章 非稳态导热
d
hA d Vc
积分
hA 0 0 d Vc
d
hA ln 0 Vc
2 n a
( x, ) 2 sin( Hale Waihona Puke Baidu n ) cos( n x) ( ) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
n
2
a
2
x 因此 ( x , ) 是F0, Bi 和 函数，即 0
( x , ) x f ( F0 , Bi , ) 0
1 的量纲相同，当 Vc 时，则 即与 hA
hA 1 Vc
此时，
e 1 36.8% 0
Vc
时，物体的过
上式表明：当传热时间等于
hA 余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。 Vc 称 为时间常数，用 c 表示。 hA
第三章 非稳态导热
15
c
m的物理意义是过余温度对时间 的相对变化率，单位是1/s，称 为冷却率（或加热率）。 上式说明，当Fo 0.2，进入正规状况阶段后，所 有各点的冷却率都相同，且不随时间而变化，其大小 取决于物体的物性、几何形状与尺寸及表面传热系数。 29 第三章 非稳态导热
流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的
（微细热电偶、薄膜热电阻）
当 4 时， 1.83% hA 0 Vc
工程上认为=4 Vc / hA时 导热体已达到热平衡状态
5倍时间常数时过余温度为0.67%，有些场合按5倍作为达到热平衡的标准
第三章 非稳态导热 17
3 瞬态热流量：
注意：特征值 n
特征数（准则数） 区别
第三章 非稳态导热 27
分析解的讨论 傅里叶数 Fo 对温度分布的影响 分析解的计算结果表明，当Fo 0.2时，可近似取级 数的第一项，对工程计算已足够精确，即 x, 2sin 1 x 12 Fo cos 1 e 0 1 sin 1 cos 1 a 因为 Fo 2 ，所以将上式左、右两边取对数，可得 2sin 1 x ln m ln 0 cos 1 1 sin 1 cos 1 2 a 式中 m 1 2 m为一与时间、地点无关的常数，只 取决于第三类边界条件、平壁的物性 与几何尺寸。 式右边的第二项只与Bi第三章 非稳态导热 、x/ 有关，与时间 无关。 28
第三章 非稳态导热 5
6 学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
(2) 非稳态导热的导热微分方程式：
t t t t c ( ) ( ) ( ) x x y y z z
h
n ctg n h
为毕渥准则数，用符号 Bi 表示
书上P73表3-1给出了部分Bi数下的μ1值
第三章 非稳态导热 26
( x, ) 2 sin( n ) cos( n x) e 0 n 1 n sin( n ) cos( n )
(3) 求解方法： 分析解法、近似分析法、数值解法
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换 近似分析法： 集总参数法、积分法 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、 分子动力学模拟
第三章 非稳态导热 6
7 毕渥数
本章以第三类边界条件为重点。 (1) 问题的分析 如图所示，存在两个换热环节： a 流体与物体表面的对流换热环节 rh 1 h b 物体内部的导热 (2) 毕渥数的定义：
Φ ( ) hA(t ( ) t ) hA hA 0 e
hA Vc
W
hA Vc
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q 0 Φ( )d Vc 0 (1 e
) J
Q Vc0 (1 e
c
)
当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）
第三章 非稳态导热
无量纲 时间
20
5 集总参数法的应用条件 采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%
Biv
h( V A )
0.1M
M是与物体几何形状 有关的无量纲常数
V A A A V R 2 R A 2R 2 4 R 3 R V 3 2 A 4R 3 Biv Bi Bi Biv 2 Biv Bi 3
零维问题。 关，即 t f ( ) ，与空间位置无关，因此，也称为
2 温度分布
如图所示，任意形状的物体， 参数均为已知。
0时，t t0
将其突然置于温度恒为 t 的流 体中。
第三章 非稳态导热 11
当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知
dt （也能从微分方程直接得到此式） hA(t t ) - Vc d 令： t t — 过余温度，则有
上述可忽略固体内部导热热阻的加热或冷却又称为牛顿加热或冷却
第三章 非稳态导热 18
导热体在时间
由下式计算：
0~ 内传给流体的总热量也可
Q cV (t 0 t ) cV ((t 0 t ) (t t )) cV ( 0 ) cV ( 0 0 e cV 0 (1 e