离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

实验报告

课程名称：信号分析与处理 指导老师 成绩： 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 同组学生姓名： 一、实验目的和要求（必填） 二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填） 四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理 六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得

一、实验目的和要求

1. 掌握DFT 的原理和实现

2. 掌握FFT 的原理和实现，掌握用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。

二、实验内容和原理 2.1 DTFT 和DFT

序列x (n )的离散事件傅里叶变换（DTFT ）表示为：n

j n j e

n x e

X Ω-∞

-∞

=Ω

∑=

)()(

，

如果x (n )为因果有限长序列，n =0,1,...,N-1，则x (n )的DTFT 表示为：n j N n j e n x e

X Ω--=Ω

∑=1

)()(

，

x(n)的离散傅里叶变换（DFT ）表达式为：)1,...,1,0()()(21

-==

--=∑N k e

n x k X nk N

j

N n π

，

序列的N 点DFT 是DTFT 在 [0,2π]上的N 点等间隔采样，采样间隔为2π/N 。通过DFT ，可以完成由一组有限个信号采样值x (n )直接计算得到一组有限个频谱采样值X (k )。X (k )的幅度谱为)()()(22k X k X k X I R +=，X R (k)和X I (k)分别为X(k)的实部和虚部。X (k )的相位谱

为)

()

(arctan

)(k X k X k R I =ϕ。

离散傅里叶反变换（IDFT ）定义为)1,...,1,0()(1

)(21

-==

∑-=N n e

k X N

n x nk N

j

N n π

。

2.2 FFT

快速傅里叶变换（FFT ）是DFT 的快速算法，它减少了DFT 的运算量，使数字信号的处理速度大大提高。

三、主要仪器设备

PC 一台，matlab 软件

四、实验内容 4.1第一题

求有限长离散时间信号x (n )的离散时间．．傅里叶变换（DTFT ）X (e j Ω

)并绘图。 （1）已知⎩⎨

⎧≤≤-=其他

0221)(n n x ；（2）已知1002

)(≤≤=n n x n

。

4.1.1理论分析

1) 由DTFT 计算式，

()25 2.5 2.52

0.50.52

e 1e e e sin(2.5)

()()e

e

1e e e sin(0.5)

j j j j j n

j n

j j j n n X x n Ω-ΩΩ-Ω+∞

-Ω-Ω-Ω

Ω-Ω=-∞

=---ΩΩ=

=

=

==

--Ω∑∑ X （Ω）是实数，可以直接作出它的图像。

Figure 1 X （Ω）曲线

2) 由DTFT 计算式：

1111111110

12e 2e ()()e

2e

12e 12e

j j j n

n j n

j j n n X x n -Ω-Ω+∞

-Ω-Ω-Ω-Ω

=-∞

=--Ω=

==≈--∑∑ 11

2()12e

j X -Ω

Ω≈- 可以发现X （Ω）周期为2π；而X （Ω）的相位在2π周期内有约十次振荡。

4.1.2编程计算作图

编写一个计算DTFT 的函数。

function DTFT(x,n1,n2)

w=-2*pi:2*pi/1000:2*pi; %表示Ω X=zeros(size(w));

for i=n1:n2 %DTFT 计算式

X=X+x(i-n1+1)*exp((-1)*j*w*i); end angle(X); subplot(2,1,1); plot(w, abs(X),'r');

xlabel('\Omega');ylabel('|X(\Omega)|');hold on ; %作幅频图 subplot(2,1,2); plot(w,angle(X),'b');

xlabel('\Omega');ylabel('\angle(\Omega)'); %作相频图 end

输入序列x ，和n 的取值范围，即可计算其DTFT 。

1)输入：

x=[1 1 1 1 1];

DTFT(x,-2,2);

（因为X（Ω）是实数，所以实际计算过程中对相频曲线取了绝对值）

结果：

Figure 2 X（Ω）的频谱

可以看出，X（Ω）的相位只有0和π两种取值，X（Ω）是实函数，而且其幅度频谱与理论计算得到的相同。

2)输入：

n=0:10;

x=2.^n;

DTFT(x,0,10)

结果：

Figure 3 第1题（2）中X（Ω）的频谱

4.2第二题

已知有限长序列x(n)={8,7,9,5,1,7,9,5},试分别采用DFT和FFT求其离散傅里叶变换X(k)的幅度、相位图。

4.2.1理论分析

由FFT蝶形运算得到，X(k)= 51,7,-9-j4,7,3,7,-9+j4,7

4.2.2编程计算作图

1.DFT

编写一个计算DTFT的函数。DFT（序列x，长度N）

function DFT(x,N)

k=0:N-1;

X=zeros(size(k));

for n=0:N-1

X=X+x(n+1)*exp((-1)*j*2*pi/N*n*k);%DFT计算式

end

subplot(2,1,1);

stem(k,abs(X),'.'); xlabel('k');ylabel('|X(k)|');hold on; %幅频图subplot(2,1,2);

stem(k,angle(X),'*');xlabel('k');ylabel('Angle(k)');%相频图

end

输入：

x=[8 7 9 5 1 7 9 5];

DFT(x,8);

结果：

Figure 4 第2题DFT结果