现代控制理论第8讲

[例3-2] 判断下述控制系统的是否能控
解
x
4
1
5 5
0
x
1
u
4 I A
5 2 4 5 ( 5)( 1) 0
1
1 5 , 2 1
T P1
P2
5
1
1 1
T 1 116
1
6 5
T 1b 116
1
6 5
5
1
1 0
6 6
6 6
z
T
1 AT
z
T
1b
1 0
T
1
1
12 21
0
0
1
0
T 1
1
1
0 1
0
T 1b
1
1
0 1
二、直接从A与B判别系统的能控性
1、单输入系统
定理：n阶线性定常单输入系统 x Ax bu 能控的
充要条件为能控判别阵：
M [b Ab A2b An1b] 的秩等于n。
[证明]
x(t) (t t0 )x(t0) tt0 (t )bu( )d
x2
0
x3 0
1
1
0
0 x1 b11
0
x2
0
3 x3 b31
b12
0
b32
u1
u
2
x1 1 1 0 0 0 x1 b1
x2
0
1
1
0
0
x2
b2
4
x3 x4
0 0
0 1 0 0 0 4
0
1
x3 x4
b3
b4
u
x5 0 0 0 0 4 x5 0
本章主要内容： 1、能控性和能观性的定义；
2、判别系统能控性和能观性的准则； 3、能控性和能观性的对偶关系； 4、能控标准型能观标准型； 5、不完全能控系统和不完全能观型的结构分解； 6、传递函数的最小实现。
本次课主要内容:
1、能控性的定义 线性连续定常系统 线性连续时变系统 离散系统 2、能控性判别 具有约旦标准型的能控性判别 直接从A与B判别系统的能控性
t t0
根据能控性定义，对于任意的初始矢量 x(t0 ) ，应该
能找到u(t),使之在有限的时间内转移到零状态
令：
t t f , x(t f ) 0
t (t f
t0 )x(
)
0
tf t0
(t f
)bu( )d
x(t0) tt0f
凯来--哈密顿定理
(t0 )bu( )d
Ak
n 1
jk A
§3—1 能控性的定义
能控性研究的问题：
系统在控制输入作用下，状态矢量的转移情况。
一、线性连续定常系统的能控性定义
状态可控：对于线性连续定常系统，如果存在一个分段连续的
输入u(t),能在有限时间区间[t0 , tf]内，使系统由某一初始状 态x(t0),转移到指定的任一终端状态，则称此状态是可控的。
(2)
M b
Ab
b1 b2
b1 b2
b2
M b1b2 b2 (b1 b2 ) b22
当 b2 0 ，时|M|≠0,系统完全可控。
2、多输入系统
定理： 对于多输入n阶连续定常系统
x Ax Bu
其中A为n×n阶阵，B为n×r阶阵，u为r维输入。系 统能控的充要条件为能控判别阵
M [B AB A2 B An1B]
现代控制理论第八讲
王凯明
长安大学理学院数学与信息科学系
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
能控性(Controllability)和能观性(Observability)是现 代控制理论两个重要的概念，是状态分析的根本问题。它是卡 尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计 基础。
0
1
0
x2
b2
u
x&3 0 0 3 x3 b3
x1 1 1 0 0 0 x1 0 1
x2
0
1
1
0
0
x2
0
0
2
x3 x4
0 0
0 1 0 0 0 4
0
1
x3
x4
3 0
0 u 0
x5 0 0 0 0 4 x5 1 2
3
x1 1
0 M 0
1
0 1 a2
1
a2 1 a1 a22
Rank(M ) 3
系统是完全可控的
【例】 试分析下列系统的可控性。
(1)
x
1
0
0
2
x
b1 b2
u
(2)
解: (1)
M b
Ab
b1 b2
b11
b22
x
0
1
x
b1 b2
u
M b1b22 b1b21 b1b2 (2 1) 当 b1b2 0，且λ1≠λ2时，|M|≠0,系统完全可控。
26 6 17
MM T
6
3
2
17 2 21
∵ Rank（M）=3， ∴
MM T 0
系统完全能控。
定理： 系统状态方程 x Ax Bu
如果输入u(t)对状态X(t)的传递函数（阵）没有零极点对消， 那么系统可控，否则系统不可控。
【例】
已知
x
0 2.5
1 1.5
x
1 1
u
，分析其可控性。
解：u(t)对X(t)的传递函数为：
x
1
0
0 0
2
x
b2
u
,
y c1
c2
标量微分方程：
x1 1x1 x2 2 x2 b2 u
0
x
x2
（2）有重根，系统矩阵为约旦型，控制矩阵第一行为零
x
1
0
1 0
1xຫໍສະໝຸດ b2u,y c1
c2
标量微分方程： x1 1x1 x2 x2 1x2 b2 u
（3）有重根，系统矩阵为约旦型，控制矩阵第二行为零
x
1
0
1
1
x
b1
0
u
,
y c1
c2
标量微分方程： x1 1x1 x2 b1 u x2 1x2
结论：
1、系统的能控性取决于系统矩阵A和控制矩阵b;
2、系统矩阵为对角型，如果b的元素有零时，系统是不完 全可控的；
3、系统矩阵为约旦标准型，只有当b中相应与约旦块的最 后一行的元素为零时，系统为不完全可控的；
1 T
3 2 0
1
3
0
2 1 1
1 T
3 2
1
3
2 1
1
z
0
0
0
2
0
0
0
3
z 1 T
3 2
1
3
u
2 1
2、A有二重根时
1
T
1
12
0 1
1
3
21 32
1
T 1
(1
1
3 )2
1
3
1
1
T 1b
(1
1
3 )2
1
3
1
3、A有三重根时
x(t0)
n1
A
j
b
j
b
Ab
A2b
j0
1
An1b
2
n1
对于任意给定的初始条件,应该可以解出
1
2
b
Ab
A2b
n1
x1(t0 )
An1b
1
x2
(t0
)
xn (t0 )
必须保证: M [b Ab A2b An1b] 的逆矩阵存在
即:
Rank(M ) n
求出一组 0 1 n1T 后，根据
（4）特殊情况说明：
A的特征根互异时，其对应的特征矢量必互异，则必 定可以化成对角型。当A的特征根相同时，其对应的特征 矢量也可能是互异的，也有可能化成对角型，这样就可能 出现两个以上与同一特征值相关的约旦块。
[例3-1] 判断下列系统的能控性
x&1 1 1 0 x1 0
1
x&2
4、不能控的状态，在模拟结构图中表现为与控制输入无关 的孤立方块，它对应的是一阶标量齐次微分方程。
2、具有一般形式的多输入输出系统
系统的状态方程
x A x Bu
（1）若令 x T z ，可变换为约旦表准型
x x T 1B u
x J x T 1B u
（2）可以证明初等变换不会改变系统的能观性
x Ax Bu
y
Cx
Du
其中X为n维状态向量，Y为m维输出向量，u为r维控制向量，
A为n×n矩阵，B为n×r矩阵，C为m×n矩阵，D为m×r矩阵。
如果m×(n+1)r阶矩阵
M [CB CAB CA 2 B CA n1B]
的秩为m，那么系统是输出可控的。也即对任意给定输出初 始量 y(t0 )，总能找到一个分段连续的控制u(t)，使系统输 出能在有限的时间 [t0 , t f ] 段内，转移到任一指定的输 出 y(t f )。
j
tf t0
j (t0
)u( )d
就可以求出一组分段连续的控制u(t)。
【例3－４】 判别下述线性系统的可控性。
解：
0
x
0
a0
1 0 a1
0
0
1
x 0
u
a2
1
0 b 0