递推数列与数列求和

专题六数列

第十七讲递推数列与数列求和

2019

年 1.（2019 江苏20）定义首项为且公比为正数的等比数列为“1 M －数列”.

（）已知等比数列1{a n }* ()n ∈N 满足： 245324 ,440a a a a a a =−+=，求证：数列{a n

}M 为“－数列”；

（）已知数列2{b n }* ()n ∈N 满足：11

122

1,

n n n b S b b + ==−

，其中S n 为数列{b n }的前项和．n ①求数列{b n }的通项公式；

②设为正整数，若存在“－数列”m M {c n }*

()n ∈N ，对任意正整数，当≤时，都有

k k m 1k k k c b c +剟

成立，求的最大值．m 2.（2019浙江10）设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ．当b =1

2

时，a 10＞ 10 B ．当b =14

时，a 10＞ 10

C ．当b =-2时，a 10＞

10 D ．当b =-4时，a 10＞10

3.（2019 浙江20）设等差数列{}n a 的前项和为n n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满 足：对每个12 ,,,n n n n n n n S b S b S b *++ ∈+++N 成等比数列. （）求数列1 {},{}n n a b 的通项公式；

（）记2,,2n

n n

a c n

b *=

∈N 证明：12 +2,.n c c c n n * ++<∈N

2010-2018

年一、选择题

1．（2013 大纲）已知数列 {}n a 满足124

30,3

n n a a a +

+==−，则 {}n a 的前项和等于10

A ．10

6(13)−−− B ．101

(13)9

− C ．10

3(13)−− D ．10

3(13)−

+ 2．（2012 新课标）数列 {}n a 满足1 (1)21n

n n a a n + +−=−，则 {}n a 的前项和为60 A 3690 B 3660 C 1845 D 1830

．．．．3．（2011 安徽）若数列 {}n a 的通项公式是 (1)(32)n

a n =−⋅−,则 1210 a a a ++⋅⋅⋅+= A 15 B 12 C ．．．－．－12 D 15 二、填空题

4．（2015 1新课标）数列 {}n a 中11 2,2,n n n a a a

S +==为 {}n a 的前项和，若n 126n S =，则n =

． 52015 ．（安徽）已知数列}{n a 中，11=a ，2

1

1+

=−n n a a (2n ≥)，则数列}{n a 的前项和9 等于______．

62015．（江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=−+n a a n n （*

N n ∈）

，则数列}1

{n

a 前10项的和为．

72014 2．（ 新课标）数列

{}n a 满足11

1n n

a a +=−，2a =2，则1a =_________． 82013 1．（新课标）若数列{n a }的前项和为n n S ＝

2133

n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______

．92013 ．（ 湖南）设n S 为数列{}

n a 的前项和，n 1

(1),,2

n n n n S a n N * = −−∈则 （）13a =_____；

（）2 12100

S S S ++⋅⋅⋅+=___________ ． 10．（ 2012新课标）数列}{n a 满足12)1(1−=−++n a a n n n ，则}{n a

的前项和为60

． 11．（2012福建）数列

{}n a 的通项公式 cos 12

n n a n π

=+，前n 项和为n S ，则2012S =___． 12．（ 2011 浙江）若数列2 (4)()3n n n ⎧

⎫+⎨⎬⎩

⎭

中的最大项是第k 项，则k =____________ ．三、解答题

13．（2018天津）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (*n ∈N )；{}n b 是等比数列，公比

大于0，其前n 项和为n T (*n ∈N )．已知11b =，322b b =+， 435b a a =+， 5462b a a =+．

(1)求n S 和n T ；

(2)若12 ()4n n n n

S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+，求正整数n 的值． 14．设（2017 新课标Ⅲ）数列{}n a 满足12 3(21)2n

a a n a n ++⋅⋅⋅+−=． (1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{

}21

n

a n +的前n 项和． 15．（ 2016全国I 卷）已知{}n a 是公差为的等差数列，数列3 {}n

b 满足1

1b =，21

3

b =， 11n n n n a b b nb +++=．

（）求I {}n a 的通项公式； （）求II {}n b 的前项和．n

16．（ 2016年全国II 卷）等差数列{n a }中， 3457

4,6a a a a +=+=． (){Ⅰ求n a }的通项公式；

()Ⅱ设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如

[0.9]=0[2.6]=2，．

17．（ 2015浙江）已知数列{}n a 和{}n b 满足，12a =，11b =，*1 2(N )n n a a n

+=∈， 12311

23

b b b +++

*

11

1(N )n n b b n n

+ +=−∈． （Ⅰ）求n a 与n b ；

（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ．

18．（ 2015湖南）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12 1,2a a ==，

且23n n a S +=*1 3,()n S n N + −+∈． （Ⅰ）证明：23n n a a +=；