初一数学平面直角坐标系讲义

第六章 平面直角坐标系

一 平面直角坐标系.

1．定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标

系。

要求：画平面直角坐标系时，χ轴、y 轴上的单位长度通常应相同，但在实际应用中，有时

会遇到取相同的单位长度有困难的情况，这时可灵活规定单位长度，但必须注意的是，同一

坐标轴上相同长度的线段表示的单位数量相同。

二．各个象限内点的特征:

x

在平面内有公共原点而且互相垂直的两条数轴，构成了平面直角坐标系.

第一象限：（＋，＋）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＞0；

第二象限：（－，＋）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＞0；

第三象限：（－，－）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＜0；

第四象限：（＋，－）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＜0；

练习

1.已知点A(a,0)在x 轴正半轴上,点B(0,b)在y 轴负半轴上,那么点C(-a, b)在

第_____象限.

2..如果点M(a+b,ab)在第二象限,那么点N(a,b)在第_____象限

3.若点A 的坐标为(a2+1, -2–b2),则点A 在第____ 象限.

4.若ab>0,则点p(a,b)位于第＿＿＿＿＿象限．

在x 轴上：（x ，0）点P （x ，y ），则y ＝0；

x

若点P （x ，y ）在第一象限，则 x ＞ 0，y ＞ 0

若点P （x ，y ）在第二象限，则 x ＜ 0，y ＞ 0

若点P （x ，y ）在第三象限，则 x ＜ 0，y ＜ 0

若点P （x ，y ）在第四象限，则 x ＞ 0，y ＜ 0

在x 轴的正半轴：（＋，0）点P （x ，y ），则x ＞0，y ＝0；

在x 轴的负半轴：（－，0）点P （x ，y ），则x ＜0，y ＝0；

在y 轴上：（0，y ）点P （x ，y ），则x ＝0；

在y 轴的正半轴：（0，＋）点P （x ，y ），则x ＝0，y ＞0；

在y 轴的负半轴：（0，－）点P （x ，y ），则x ＝0，y ＜0；

坐标原点：（0，0）点P （x ， y ），则x ＝0，y ＝0；

总结练习：

1.点P(m+2,m-1)在x 轴上,则点P 的坐标是

2.点P(m+2,m-1)在y 轴上,则点P 的坐标是 .

3. 点P(x,y)满足 xy=0, 则点P 在

4.若 ，则点p(x,y)位于 ＿＿

注意：

①. x 轴上的点的纵坐标为0，表示为（x ，0），

②. y 轴上的点的横坐标为0， 表示为（0，y ）。

③. 原点（0，0）既在x 轴上，又在y 轴上。

三，与坐标轴平行的两点连线

(1). 若AB ∥ x 轴, 则A( x1, n ), B( x2, n )

0x y

2). 若AB ∥ y 轴,

则A( m, y1 ), B( m, y2 )

平行线：

平行于x 轴的直线上的点的特征：纵坐标相等；如直线PQ ，P ),(n m Q ),(n p

平行于y 轴的直线上的点的特征：横坐标相等；如直线PQ ，P ),(n m Q ),(p m 练习

1. 已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 。

2. 已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥y 轴，则m 的值为 。

3. 已知点)1,5(-m A ，点)1,4(+m B ，且直线y AB //轴，则m 的值为（ ）

四．点的对称：

点P(m ，n)

关于x 轴的对称点坐标是(m ，－n)，

关于y 轴的对称点坐标是(－m ，n)

关于原点的对称点坐标是(－m ，－n)

练习

1.点A （－1，2）关于y 轴的对称点坐标是 ；点A 关于原点的对称

点的坐标是 。点A 关于x 轴对称的点的坐标为

2.已知A 、B 关于x 轴对称，A 点的坐标为（3，2），则B 的坐标

为 。

3.若点A(m,-2),B(1,n)关于y 轴对称,m= ,n= .

五．象限角的平分线：

1.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，可记作：),(m m P

2.点P(a ，b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b ， a)

3.第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数，可记作：),(m m P

4.点P(a ，b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(－b ，－a)

例1：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标相等，在平面直角坐标系中表示出

点P 的位置.

x

y

O

例2：在平面直角坐标系中，已知点),(y x P 横、纵坐标互为相反数，在平面直角坐标系中

表示出点P 的位置.

六．点的平移：

在平面直角坐标系中：

将点（x，y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a ，y）；

将点（x，y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（ x－a，y）；

将点（x，y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）；

将点（x，y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y－b）。

注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

1.蜗牛能成功吗？

一只蜗牛不小心掉进一口枯井里。它趴在井底哭了起来，一只癞蛤蟆爬过来，瓮声瓮气的对蜗牛说：“别哭了，小兄弟!哭也没用，这井壁太高了，掉到这里就只能在这生活了。我已经在这里过了多年了，很久没有看到过太阳，就更别提想吃天鹅肉了!”蜗牛望着又老又丑的癞蛤蟆，心里想：“井外的世界多美呀，我决不能像它那样生活在又黑又冷的井底里!”蜗牛对癞蛤蟆说：“癞大叔，我不能生活在这里，我一定要爬上去!请问这口井有多深？”“哈哈哈……，真是笑话！这井有3米深，你小小的年纪，又背负着这么重的壳，怎么能爬上去呢?”“我不怕苦、不怕累，每次爬一段，总能爬出去!”。

第二天，蜗牛开始顺着井壁往上爬了，第一次往上爬了0.5米，往下滑了0.1米；第二次往上爬了0.53米，却又下滑了0.15米；第三次往上爬了0.7米，却又下滑了0.15米；第四次往上爬了0.75米，却又下滑了0.2米；第五次往上爬了0.55米，没有下滑；第六次往上爬了0.58米，请问：蜗牛能成功爬出井口吗？

2：将点P（－3，2）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q（x，y），则xy＝___________七. 点到坐标轴的距离：

过点作x轴的垂线段的长度叫做点到x轴的距离.

过点作y轴的垂线段的长度叫做点到y轴的距离.

点P（x，y）