2019-2020学年天津河西区高二上学期期末考试数学试卷及答案

.
18、（1）设 F c,0 ，因为直线 AF 的斜率为 2 3 ， A0, 2
3
所以 2 2 3 ， c 3 . c3
又 c 3 ,b2 a2 c2 a2
解得 a 2,b 1，
所以椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 . 4
（2）解：设 P x1, y1 ,Q x2, y2
C2 : x2 2 py( p 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程为
A． x2 8 3 y 3
B． x2 16 3 y 3
C． x2 8y
D． x2 16 y
7．若两个向量
AB
1,
2,
3
,
AC
3,
2,1
,则平面
ABC
的一个法向量为（
）
A． 1, 2, 1
0 0
，得
y z 0 2x 2 y
0
，取
y
1，得
n1
(1,
1,1)
.
PA
n1
2
2
0
，
PA
n1
，
又 PA 平面 BDE ，
PA / / 平面 BDE .
（2）解：由（1）知 n1 (1, 1,1) 是平面 BDE 的一个法向量，
又 n2 DA (2, 0, 0) 是平面 DEC 的一个法向量.
长.
18．已知点 A(0，－2)，椭圆
E： x2 a2
y2 b2
1
(a>b>0)的离心率为
3 ，F 是椭圆 E 的 2
右焦点，直线 AF 的斜率为 2 3 ，O 为坐标原点. 3
(1)求 E 的方程； (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求 l 的方程.
设二面角 B DE C 的平面角为 ，由图可知 n1, n2 ，
cos cos n1, n2
n1 n2 n1 n2
3 3,
故二面角 B DE C 的平面角的余弦值为 3 . 3
（3）假设棱 PB 上存在点 F ，使 PB 平面 DEF ，
设 PF PB(0 1) ， F(x, y, z)
1 k2
16k 1 4k
2
2
48 1 4k
2
4 1 k 2 4k 2 3 1 4k 2
点 O 到直线 l 的距离 d
2 k2 1
所以 SOPQ
1d 2
PQ
4 4k 2 3 1 4k 2
，
设 4k 2 3 t 0 ，则 4k 2 t2 3 ，
SOPQ
4t t2
4
t
4 4
4 24
17．如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD 底面 ABCD ， PD DC ， E 是 PC 的中点.
（1）证明： PA / / 平面 BDE ； （2）求二面角 B DE C 的余弦值； （3）若点 F 在线段 PB （不包含端点）上，且直线 PB 平面 DEF ，求线段 DF 的
由题意可设直线 l 的方程为： y kx 2 ，
x2
联立{ 4
y2
1， 消去
y得
1 4k 2
x2 16kx 12 0 ，
y kx 2,
当 16 4k 2 3
0
，所以
k2
3 4
，即
k
3 或k 2
3时 2
x1
x2
16k 1 4k 2
,
x1x2
12 1 4k 2
.
所以 PQ 1 k 2 x1 x2 2 4x1x2
b
0) 上的一动点，则 P
到该椭圆的两个焦点的距离
之和为（ ）
A． 2b
B． 2a
C． b
D． a
3．抛物线 x 1 y2 的准线方程是（ 4
A． x 1 16
B． x 1 16
）
C． x 2
D． x 1
4．中心在坐标原心、焦点在 x 轴，且长轴长为 18、焦距为 12 的椭圆的标准方程为 ( )
1 与双曲线
y2 4
x2 2
1有相同的渐近线，
b 2， a
∴方程可化为 x2 a2
y2 2a2
1，
又双曲线 C 经过点 M ( 2, 2) ，代入方程，
2 a2
2 2a2
1，解得 a
1，b
2，
∴双曲线 C 的方程为 x2 y2 1. 2
（2）解；由（1）知双曲线 C : x2 y2 1 中， 2
b
12
，
则 m x2 y2 2x 的最小值是________，最大值是__________.
三、解答题
16．已知双曲线
C
:
x a
2 2
y2 b2
1(a 0,b 0) 与双曲线
y2 4
x2 2
1有相同的渐近线，且经
过点 M ( 2, 2) .
（1）求双曲线 C 的方程； （2）求双曲线 C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.
1，
t
当且仅当 t 2 ，即 4k2 3 2 ，
解得 k 7 时取等号， 2
满足 k 2 3 4
所以 OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为： y 7 x 2 或 y 7 x 2 .
2
2
1-9CBDAA DABB.
数学试题参考答案
10、1 -2 ；11、10；12、 (3,5) ； 13、 3 ；14、2x+y-2=0 15、0 8 3
16、解：（1）解：在双曲线 y2 x2 1中， a 2 ， b 2 ， 42
则渐近线方程为
y
a b
x
2x ，
∵双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
间直角坐标系，
设 PD DC 2 ，则 A(2, 0, 0) ， P(0, 0, 2) ， B(2, 2, 0) ，
则 PA (2, 0, 2) ， DE (0,1,1) ， DB (2, 2, 0) ，
设 n1 (x, y, z) 是平面 BDE 的一个法向量，
则由
n1 n1
DE DB
y, 6)
，且
a
/
/b
，则
x
_____，
y
_____.
11．若双曲线 x2 y2 1上一点 P 到左焦点的距离为 4，则点 P 到右焦点的距离 9 16
是
.
12．若方程 x2 y2 1 表示焦点在 y 轴的椭圆，则实数 m 的取值范围是_____. 5 m m 1
13．在空间直角坐标系 O xyz 中， A(1, 2, 1) ， B(1,1,1) ，C(0,1, 2) ，则异面直线 OA
A． x2 y2 1 81 72
B． x2 y2 1 81 9
C． x2 y2 1 81 45
D． x2 y2 1 81 36
5．如图，在三棱柱
中， 为 的中点，若
，则
可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知双曲线 C1 ：
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0) 的离心率为
2.若抛物线
a 1，b 2 ，c 3 ， ∴实轴长 2a 2 ，离心率为 e c 3 ，
a 设双曲线 C 的一个焦点为 ( 3, 0) ，一条渐近线方程为 y 2x ，
d | 3 2 | 2 ， 2 1
即焦点到渐近线的距离为 2 . 证明：（1）以 D 为坐标原点，分别以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空
则 (x, y, z 2) (2, 2, 2) ，
F(2, 2, 2 2) ， DF (2,2,2 2) ， PB (2, 2, 2) ，
由
PB
DF
0
得
4
4
2(2
2 )
0
，
解得 1 ， 3
F
2 3
,
2 3
,
4 3
，
则 | DF |
2 2 3
2 3
2
4 3
2
26 3
B． 1, 2,1
C． 1, 2, 1
D． 1, 2,1
8．已知抛物线 C : x2 8 y 的焦点为 F ， O 为原点，点 P 是抛物线 C 的准线上的一动 点，点 A 在抛物线 C 上，且 AF 4 ，则 PA PO 的最小值为（ ）
A． 4 2
B． 2 13
C． 3 13
D． 4 6
9．设 F1、F2 分别为双曲线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,
b 0) 的左、右焦点， A 为双曲线的
左顶点，Hale Waihona Puke BaiduF1、F2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M、N 两点，且满足
MAN 120 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 7 3 3
B． 21 3
2
C．
3
D． 10 3
二、填空题
10．若向量
a
(x, 1,3)
，向量
b
(2,
2019-2020 学年天津河西区高二上学期期末考试数学试卷及答案
一、单选题
1．若向量 a (2, 0, 1) ，向量 b (0,1, 2) ，则 2a b （
A． (4,1,0)
B． (4,1, 4)
C． (4, 1,0)
）
D． (4, 1, 4)
2．设 P
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a
与 BC 所成角的余弦值为______.
14．已知过点 M（1，0）的直线 AB 与抛物线 y2=2x 交于 A，B 两点，O 为坐标原点， 若 OA，OB 的斜率之和为 1，则直线 AB 方程为______．
15．在空间直角坐标系
O
xyz
中，a
(x
2,
2
y,
2)
，b
(3x,
2
y,
3x)
，且
a