第三章 随机信号的平稳性与各态历经性

x dx


2 X
(3-6)
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
图3-3 平稳随机信号均值示例
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
式（3-4）~式（3-6）表明： 严平稳随机信号的一维数字特征都是与时间t无关的常
数。
性质2 严平稳随机信号X(t)的二维概率密度和二维数字
特征只与t1, t2的时间间隔τ=t2－t1有关， 而与时间起点无关。 令Δt=－t1， 且τ=t2－t1， 则式（3-2）变为
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FX(x1,x2,…,xn; t1+Δt,t2+Δt,…,tn+Δt) =FX(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)
或者
（3-1）
fX(x1,x2,…,xn; t1+Δt,t2+Δt,…,tn+Δt) =fX(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
第三章 随机信号的平稳性与各 态历经性
3.1 平稳性与联合平稳性 3.2 平稳信号的相关函数 3.3 随机信号的各态历经性
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
3.1 平稳性与联合平稳性
3.1.1
1.严平稳随机信号 1） 若随机信号X(t)的任意n维分布不随时间起点的不同而 变化， 即取样点在时间轴上平移了任意Δt后， 其n维概率分 布保持不变。 公式表式为

x; t
dx

wk.baidu.com

xf X
xdx

mX
(3-4)
均方值
E X 2 t

x2
fX

x;t dx



x2
f
X
x
dx

2 X
(3-5)
方差
D X t


x

mX
2
fX

x;t dx



x

mX
2
fX
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3.1.2
1.
若随机信号X(t)的数学期望为常数， 其自相关函数只与
时间间隔τ=t2－t1有关， 且均方值有限， 即满足下面三个条
件

E X
RX t1
t ,t2
mX E X
t1

X
t2


RX

,
t2 t1
(3-3)
图3-2表明严平稳随机信号X(t)的一维概率密度与时间t无
关， 具有时移不变性。
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图3-2 一维密度函数平稳性示例
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严平稳随机信号的一维数字特征如下： 均值(见图3-3)
E X t

xf X

x1x2 f X x1, x2 ;t1,t2 dx1dx2

x1x2 f X x1, x2 ; dx1dx2 RX
(3-8)
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图3-4 自相关函数平稳性示例
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fX(x1, x2; t1, t2)=fX(x1, x2; t1+Δt, t2+Δt) =fX(x1, x2; 0, t2－t1)=fX(x1, x2; τ)
(3-7)
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严平稳随机信号X(t)的二维数字特征如下： 自相关函数（见图3-4）
RX t1,t2 E X t1 X t2
严格平稳 随机信号
若其均值不和一相定关是函数存在
广义平稳 随机信号
(3-12)
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3. （1） 平稳性是随机信号的统计特性对参量(组)的移动不 变性， 即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响。 若平稳 随机信号代表电压或电流， 那么其均值和相关函数给定后， 可以直接或间接得到信号的直流分量、 交流分量、 总平均功 率、 信号功率沿频率的分布以及信号各时刻上取值的相关程 度等重要参数， 这些参数可以解决工程上的大量问题。 （2） 实际应用与研究最多的平稳信号是宽平稳信号， 严平稳性因为条件要求太苛刻， 更多地只用于理论研究中。 在实际信号产生、 传输和处理过程中， 大多数的信号都是广 义平稳随机信号， 这有助于解决实际的工程问题。 因此， 以后在没有特殊声明的条件下， 我们所讲的平稳指的都是广 义平稳， 而非严平稳。
同理， 自协方差函数
CX(t1, t2)=CX(τ)=RX(τ)－m2X 当t1=t2=t即τ=0时， 有
CX(0)=σ2X=RX(0)－m2X
(3-9) (3-10)
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例3.1 设有随机信号X(t)=Acosπt， 其中A是均值为零、 方差为σ2A的高斯随机变量， 试问随机信号X(t)是否严格平
解 当t=1／2时， X(t)=0， 它与t=0时的分布不同， 则 X(t)不是严格平稳的。
事实上， 工程中很难用到严格平稳随机信号， 因为其 定义实在太“严格”了。 分布函数的时移不变性通常是十分困难的， 几乎不可能实 现。 实际应用中讨论的各种随机信号， 通常只研究其一、 二阶矩（均值、 均方值和相关函数）的特性。 因此， 接下 来研究随机信号一、 二阶矩特性的平稳性， 也就是下面讨 论的广义平稳性。
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
图3-1 平稳随机信号
第三章 随机信号的平稳性与各态历经性
2） 性质 性质1 若X(t)是严平稳随机信号， 则它的一维概率密 度和一维数字特征与时间t无关。 任取Δt=－t1， 则公式（32）变为
fX(x1; t1)=fX(x1; t1+Δt)=fX(x1; 0)=fX(x1)
(3-2)
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严平稳的意义在于统计特性与时间起点无关， 在任意 时刻对平稳信号的测试都可以得到相同结果， 这种分析简 化具有重要的实际意义。 对严平稳随机信号无论从什么时 间开始测量n个状态， 得到的统计特性是一样的， 即{X(t1), X(t2), …, X(tn)}与{X(t1+Δt), X(t2+Δt), …, X(tn+Δt)}具有相同的 分布与统计特性， 见图3-1。

E

X
2

t



(3-11)
则称X(t)为宽平稳随机信号， 也称为广义平稳随机信号或弱
平稳随机信号。
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2. 从上面讨论可知， 宽平稳随机信号只涉及与一、 二维 概率密度有关的一、 二阶矩函数， 它只是严格平稳性条件 放宽要求时的一个特例。 显然， 严格平稳信号在均值和相 关函数存在的条件下一定是广义的， 而广义平稳不一定是 严格的。 但对高斯随机信号而言， 宽平稳与严平稳等价， 原因在于高斯信号的概率密度可由均值和自相关函数完全确 定。 严平稳和宽平稳之间的关系可用下式表示：