1.1 标量场和矢量场

A ⋅ B =| A || B | cos θ AB = Ax Bx + Ay By + Az Bz
说明： 说明： 1、矢量的点积符合交换律和分配律： 矢量的点积符合交换律和分配律：
A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C A⋅ B = B ⋅ A 2、两个矢量的点积为标量
B
θ AB
2
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，如果矢量在 x, y, z 三个坐标轴上 的投影分别为 Ax , Ay , Az ，则矢量 A 表示为
A = Ax ex + Ay ey + Az ez
2 | A |= Ax2 + Ay + Az2
设矢量 A与三个坐标轴 x, y, z 的夹角分别为 α , β , γ ，则
A× B = −B × A
A × (B + C) = A × B + A × C
2、两个矢量的叉积为矢量 、 3、矢量运算恒等式 、
λ ( A × B ) = (λ A) × B = A × (λ B ) 若 A B,则 A × B = 0
标量三重积 A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B )
高度场的等高线
14
3.矢量场的矢量线 3.矢量场的矢量线
矢量线：表示矢量在空间分布的有向线段。 矢量线：表示矢量在空间分布的有向线段。 矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向。 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向。
A = Ax e x + Ay e y + Az e z
在任一时刻，描述场的物理状态分布的函数是唯一的， 在任一时刻，描述场的物理状态分布的函数是唯一的，其 大小、方向也是唯一的。 大小、方向也是唯一的。 因此，引入了多种坐标系，以方便对场进行分析。 因此，引入了多种坐标系，以方便对场进行分析。
常用的坐标系

直角坐标系 柱坐标系 球坐标系
F (r ) = F ( x, y, z ) = ex Fx ( x, y, z ) + ey Fy ( x, y, z ) + ez Fz ( x, y, z ) = F ( ρ , φ , z ) = eρ Fρ ( ρ , φ , z ) + eφ Fφ ( ρ , φ , z ) + ez Fz ( ρ , φ , z )
C = A+ B
C =| C |= C ⋅ C
⇒ C = A+ B
C ⋅ C = ( A + B) ⋅ ( A + B)
= A⋅ A + B ⋅ B + 2⋅ A⋅ B
A ⋅ B = A ⋅ B ⋅ cos(π − α ) = − A ⋅ B ⋅ cos α
C = A2 + B 2 − 2 AB cos α
“模”： A × B |=| A ⋅ B ⋅ sin θ AB | | 方向： 右手螺旋法则” 方向：“右手螺旋法则”
物理含义： 物理含义：
1.“平行四边形面积” 1.“平行四边形面积” 平行四边形面积 2.“右手法则” 2.“右手法则” 右手法则
8
说明： 说明： 1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律： 、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律： 不符合交换律
第一章 矢量分析
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 标量场和矢量场 三种常用的正交坐标系 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环流与旋度 亥姆霍兹定理与格林定理
1
1.1 标量场和矢量场
一、矢量代数
1.矢量与标量 1.矢量与标量
标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U 电荷量Q 能量W 标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等） 的物理量 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力， 磁场强度） 的物理量 矢量的代数表示 F E H B D
r = xe x + ye y + ze z
zபைடு நூலகம்
的位置矢量。 矢量 r ′ :点P’的位置矢量。 点 的位置矢量
r ′ = x′e x + y′e y + z′e z
R P’(x’,y’,z’)
r′
o x
P(x,y,z)
r
y
矢量 R:点P相对于点 的 点 相对于点P’的 相对于点 相对位置矢量。 相对位置矢量。
例如，在直角坐标下, 例如，在直角坐标下,空间区域内的某个物理量满足如 下两个函数： 下两个函数：
5 φ ( x, y , z ) = 4π [( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + z 2 ]
标量场
如温度场、电位场、高度场等； 如温度场、电位场、高度场等；
A( x, y, z ) = 2 xy ex + x zey + xyzez
r′ + R = r
R = r − r′
R = ( x − x ′ )e x + ( y − y ′ )e y + ( z − z ′ )e z
R 2 = [( x − x′) 2 + ( y − y′) 2 + ( z − z′) 2 ]
4
3.矢量的代数运算 3.矢量的代数运算
A = ex Ax + ey Ay + ez Az
Ax = A cosα Ay = A cos β Az = A cos γ
z
Az
A
γ
A = A(ex cos α + ey cos β + ez cos γ )
o
Ax
β
α
Ay
任一方向的单位矢量为
eA = ex cos α + ey cos β + ez cos γ
y
3
x
2.位置矢量 2.位置矢量
的位置矢量。 矢量 r :点P的位置矢量。 点 的位置矢量
2 2
矢量场
如流速场、电场、涡流场等。 如流速场、电场、涡流场等。
13
2．标量场的等值面
由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 等值面 则等值面方程为： 若标量函数为 u = u ( x, y , z ) ，则等值面方程为：
u ( x, y , z ) = c = const
16 = F (r , θ , φ ) = er Fr (r , θ , φ ) + eθ Fθ (r , θ , φ ) + eφ Fφ (r , θ , φ )
A + ( B + C ) = ( A + B) + C A ⋅ B = B ⋅ A =| A || B | cosθ (0 ≤ θ ≤ π )
A ⋅ (B + C ) = A⋅ B + A⋅ C
A × B = −B × A
A × (B + C ) = A × B + A × C
A × B =| A || B | sinθ e n
A A
A
矢量可表示为： 矢量可表示为：A = eA A 其中 e A =
A 为模值，表征矢量的大小； 模值，表征矢量的大小 大小；
eA 为单位矢量，表征矢量的方向； 单位矢量，表征矢量的方向 方向；
矢量的几何表示： 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示
矢量的几何表示
说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 E。教材 说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗， 为场量符号加粗 上的矢量符号即采用印刷体。 上的矢量符号即采用印刷体。
d r = dxe x + dye y + dze z
A//d r
A× d r = 0
矢量线方程
ex A × dr = Ax dx
ey Ay dy
ez Az = 0 dz
图0.1.2 矢量线
dx dy dz = = Ax Ay Az
15
三、矢量与矢量场的不变特性
ex A × B = Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
x
A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B )
( A ⋅ B )C ≠ A( B ⋅ C )
A × ( B × C ) ≠ ( A × B) × C
A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B )C
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矢量三重积 A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B )C
矢量代数运算式
A = Ax e x + Ay e y + Az e z
B = Bx e x + By e y + Bz e z C = Cx e x + C y e y + Cz e z
A+ B = B + A
A
3、 λ ( A ⋅ B ) = (λ A) ⋅ B = A ⋅ (λ B ) 4、 若 A ⊥ B,则 A ⋅ B = 0
6
例：证明“三角形余弦定理”。 证明“三角形余弦定理”
C = A2 + B2 − 2ABcosα
C
（）C的长度 ⇒矢量C的“模”： 1
C =| C |= C ⋅ C
α
A
B
（2）矢量C是矢量A和B的矢量和：
2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解： 矢量相加和相减可用平行四边形法则求解： 平行四边形法则求解
B A
A+ B
B −B
A
A− B
矢量的乘法
1）矢量与标量相乘 ）
kA = ex kAx + ey kAy + ez kAz = eA k A
标量与矢量相乘只改变矢量的大小，不改变方向。 标量与矢量相乘只改变矢量的大小，不改变方向。 2）矢量与矢量点乘 ）
7
3）矢量与矢量叉乘（矢积） ）矢量与矢量叉乘（矢积）
ex A × B =| A || B | sin θ AB en = Ax Bx ey Ay By ez Az Bz
A× B
B
θ
AB sin θ
A
= e x ( Ay Bz − Az By ) + e y ( Az Bx − Ax Bz ) + e z ( Ax By − Ay Bx )
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二、标量场与矢量场
1．标量场和矢量场的概念
“场”概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场） 概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场） 在空间以某种形式分布， 在空间以某种形式分布，若每一时刻每个物理量都有 一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。 一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。 场的分类： 场的分类： 按物理量的性质 性质分 按物理量的性质分： 1）标量场：描述场的物理量为标量（温度场，电位场）。 ）标量场：描述场的物理量为标量（温度场，电位场）。 2）矢量场：描述场的物理量为矢量（电场，磁场）。 ）矢量场：描述场的物理量为矢量（电场，磁场）。 按物理量变化特性分 按物理量变化特性分： 变化特性 1）静态场：物理量不随时间发生变化的场。 ）静态场：物理量不随时间发生变化的场。 2）时变场（动态场）：物理量随时间的变化而变化 ）：物理量随时间的变化而变化 ）时变场（动态场）： 12 的场。 的场。
矢量的加法和减法
B = ex Bx + ey By + ez Bz
A ± B = ex ( Ax ± Bx ) + ey ( Ay ± By ) + ez ( Az ± Bz )
说明： 说明： 1、矢量的加法符合交换律和结合律： 矢量的加法符合交换律和结合律： 交换律
A+ B = B + A
( A + B) + C = A + ( B + C )