曲边梯形的面积 汽车行驶的路程教学课件

[0, 1 ],[1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间长度为
x i i 1 1 nn n
过各区间端点作x轴的垂线， 从而得到n个小曲边梯形，它 们的面积分别记作
S1, S2,, Si,, Sn.
n
S Si i 1
（2） 近似代替
Si
f (i
1)x n
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
1
x
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
解题思想 “细分割、近似和、渐逼近
”
图 中，所有小矩形面积之和s1 显然小于所 求曲边梯形的面积，我们称 s1 为 S 的不足估计值，
则有
s1 (02 0.22 0.42 0.62 0.82 )0.2 0.24
y
o
1x
观察以下演示，注意当分割加细时，矩 形面积的和与曲边梯形面积的关系.
v
i
1 n
i
12 n
2
做匀速直线运动，
即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形 的面积 Si 近似地代替 Si ，则有
ห้องสมุดไป่ตู้Si
Si
v
i
1 n
t
i
12 n
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1,2,
, n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
探究点2 汽车行驶的路程
思考1：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的 运动速度？
例如 s(t)=3t2+2. 则 v(t)= s´(t)=6t+0. 思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么
求路程？
s=vt 直接求出
思考 3：如果汽车做 变速直线运动，在时 刻 t 的速度为 v(t)= － t2+2. 那 么 它 在 0≤t≤1 这段时间内行 驶的路程 s 是多少 呢？
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
f(b)
如何求曲边梯 形的面积？
f(a)
Oa
bx
探究点1 曲边梯形的面积
直线x1，y0及曲线yx2所围成的图形（曲边 梯形）面积S是多少？
为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形， 对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边” （即在很小范围内以直代曲)
y
y=x2
方案1 方案2 方案3
O
当分割无限变细，即Δx → 0(亦即n → +∞)时，
S
=
lim
n→∞
1 3
1 -
1 n
1
-
1 2n
=
1 3
即所求曲边梯形的面积为 1 . 3
演示
我们还可以从数值上看出这一变化趋势
区间[0,1]的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512
S的近似值Sn
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 38 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41
(i
1)2 n
1 n
(i=1,2,…,n)
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si , i1
n f( i-1) 1 n (i-1)2 1 i1 n n i1 n n
1 n3
[02
12
22
(n
1)2
]
1 n3
(n
1)n(2n 6
1)
1 (1 1 )(1 1 ) 3 n 2n
（4）取极限
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
1.了解定积分的基本思想“以直代曲”“逼近”的思 想.（重点）
2.“以直代曲”“逼近”的思想的形成与求和符号. （难点）
曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线
x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称
为曲边梯形．
y y=f(x)
, n) ，其长度为 t i i 1 1 nn n
把汽车在时间段
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，…，
n
1 n
,
1
上行
驶的路程分别记作： S1 ， S2 ，…， Sn
n
显然， S Si i 1
（ 2 ） 近 似 代 替 当 n 很 大 ， 即 t 很 小 时 ， 在 区 间
i
n
1
,
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
观察以下演示，注意当分割加细时，
矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
2
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
观察以下演示，注意当分割加细时， 矩形面积的和与曲边梯形面积的关系.
v
S1 S2
2
S3 S4 v(t )
Sj
Sn
t2 2
O 1 2 3 j n-1 1
t
nnn n n
解：（1）分割
在时间区间0 ,1上等间隔地插入 n 1个分点，将区间
0 ,1等分成 n 个小区间：
0
,
1 n
，
1 n
,
2 n
，
…
，
n 1 n
,
1
记第 i 个区间为
i
1 n
,
i n
(i
1, 2,
1.5 定积分的概念
1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程
这些图形的面积该怎样计算？
例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2 与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．
y
问题1：我们是怎样计 算圆的面积的？圆周率 是如何确定的？
问题2：“割圆术”是 怎样操作的？对我们有x 何启示？
i n
上，可以认为函数 vt t2 2 的值变化很
小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端
点
i
1 n
处的函数值
v
i
1 n
i
1 n
2
2
，从物理意义
看，就是汽车在时间段
i
1 n
,
i n
(i 1, 2 ,
, n) 上的速
度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 i 1 处的速度 n