补课讲义：平面向量doc

平面向量

一、平面向量的概念及线性运算

基础梳理

1．向量的有关概念

(1)向量：既有的量叫向量；向量的大小叫做向量的

(2)零向量：长度等于的向量，其方向．(3)单位向量：长度等于的向量．

(4)平行向量：方向的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．

(5)相等向量：的向量．

(6)相反向量：向量．

2．向量的线性运算

平行四边形法则

3.

(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.

4．共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

.方法与要点

1、一条规律

一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．

2、两个防范

(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．

C.双基自测

1．(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )．

A ．－BC →＋12BA →

B ．－B

C →－12BA → C.BC →－12BA → D.BC →＋12

BA → 2．判断下列四个命题：

①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|.

正确的个数是( )．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )．

A.EF →＝OF →＋OE →

B.EF →＝OF →－OE →

C.EF →＝－OF →＋OE →

D.EF →＝－OF →－OE →

4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )．

A ．0 B.BE → C.AD → D.CF →

5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.

D.考点解析

考点一 平面向量的概念

【例1】►下列命题中正确的是( )．

A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线

B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点

C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量

D ．有相同起点的两个非零向量不平行

【训练1】 给出下列命题：

①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；

②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；

④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确命题的序号是________．

考点二 平面向量的线性运算

【例2】►如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )．

A.AD →＋BE →＋CF →＝0

B.BD →－CF →＋DF →＝0

【训练2】 在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝ ( )． A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23

c 考向三 共线向量定理及其应用

【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线．

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )求证：A ，B ，D 三点共线；

【训练3】 (2011·兰州模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C

三点共线的充要条件是( )．

A ．λ＋μ＝2

B ．λ－μ＝1

C ．λμ＝－1

D ．λμ＝1

二、 平面向量基本定理及其坐标表示

A.基础梳理

1．平面向量基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则

a ＋

b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.

3．平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．

B.方法与要点

1、一个区别

向量坐标与点的坐标的区别：

在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的

坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )．

当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发

生了变化．

2、两个防范

(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．

(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2

，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.