第7章 图论原理
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哥尼斯堡七桥问题
18 世纪的东普鲁士有个哥尼 斯堡城，在横贯全城的普雷 格尔河两岸和两个岛之间架 设了7座桥，它们把河的两岸 和两个岛连接起来（如图）。 每逢假日，城中居民进行环城游玩， 人们对此提出 了一个“遍游”问题， 即能否有这样一种走法， 使得从某地出发通过且只通过每座桥一次后又回到 原地呢？
4
第三篇 图论
图论是一门很有实用价值的学科，它在自然科学、 社会科学等各领域均有很多应用。 自上世纪中叶以来，它受计算机科学蓬勃发展的 刺激，发展极其迅速，应用范围不断拓广，已渗 透到诸如语言学、逻辑学、物理学、化学、电讯 工程、计算机科学以及数学的其它分支中。 特别在计算机科学中，如形式语言、数据结构、 分布式系统、操作系统等方面均扮演着重要的角 色。
39
欧拉图
定义:图G的一个回路，若它通过且仅通过G中的每条边 一次，这样的回路称为欧拉回路，具有这种回路的图叫 欧拉图。 定理 7.3:无向连通图 G 是欧拉图的充分必要条件是 G的 每个结点均具有偶次数。 定义:通过且仅通过图G中每条边一次的通路（非回路） 称为欧拉通路。 定理7.4:无向连通图G中结点vi与vj间存在欧拉通路的充 分必要条件是 vi 与 vj的次数均为奇数而其他结点的次数 为偶数。
40
例：邮递员从邮局v1出发沿邮路投递信件，其邮路图 可见下图，试问是否存在一条投递路线使邮递员从邮 局出发通过所有路线而不重复且最后回到邮局。
起点vi
终点vj
有向边lk＝<vi , vj>中，vi称为lk的起点，vj称为 lk的终点 不管lk为有向还是无向，我们均称边lk与结点vi 及vj相关联，而结点vi与vj称为邻接的。
15
若干条边关联于同一个结点， 则这些边称为邻接的。 图中边 l1 、 l2 、 l3 均关联于结 点 v1 ，故称 l1 、 l2 、 l3 为邻接 的.
35
例 2 1 G
4 3
5 6
通路：1，2，3，5，6，3 通路长度：5 简单通路：3，5，6，3，1 基本通路：1，2，3，5
设有向图G＝<V，E>， 通路——通路是顶点的序列P={v0, v1,……vn}，满足 (vj-1, vj)E(1jn) 通路长度——通路上边的数目或通路上各边权值之和 简单通路——各边全不同的通路叫~ 基本通路——各点全不同的的通路叫~ 基本通路一定是简单通路，反之不一定成立。
19
（a）
（c）
（ b）
图G＝<V , E>与G＝<V, E>间如果有V＝V，E E， 则称G是G的生成子图 如图（c）即是图（a）的一个生成子图。
20
（a） （ b）
一个具有 n个结点、 m 个边所组成的图称为（ n ， m ）图。 如果图G是一个（n，0）图则称此图为零图， 亦即是说零图是由一些孤立点所组成。 图（a）是一个零图， 如果图G是一个（1，0）图则称此零图为平凡图， 亦即是说平凡图是由一个孤立结点所组成。 图（b）是一个平凡图。
21
（c）
（d）
一个（n，m）图G如果其n个结点（n≥2）中的 每一个均与其余n-1个结点邻接，则这样的图称 为完全图，可记为Kn。 容易证明，在完全图中有：m＝n(n-1)/2 图（c）及图（ d）分别给出了 n＝4及n＝5的完 全图。
22
（a） （ b）
（d） （c） 图7.8 零图、平凡图及完全图
G1
G2
25
定义
设两个图G = <V, E>和G’= <V’, E’>，如果存在 双射函数g：V→V’，使得对于任意的e = (vi, vj) (或者<vi, vj>)∈E当且仅当e’ = (g(vi), g(vj)) (或者 <g(vi), g(vj)>)∈E’，则称G与G’同构。
26
1
4
a
2014-6-30
29
v1
v2 v4
结点次数
v3
定义:在有向图的结点v中， 以v为起点的边的条数叫v的引出次数，记以deg（v）。 以v为终点的边的条数叫v的引入次数，记以deg（v）， v的引入次数与引出次数之和称为 v的次数或全次数，记 以deg（v）。 在无向图中，结点v的次数或全次数是与v相关联的边的 条数，它也用deg（v）表之。
5
2014-6-30
教学目标
掌握好图论的基本概念、基本方法和基本算法. 善于把实际问题抽象为图论的问题(建模)，然后用图 论的方法去解决。 本篇仅介绍图论的初步知识，其目的在于今后可以以 此作为工具。
2014-6-30
6
本章所讨论的图(Graph)与人们通常所熟悉的图，例 如圆、椭圆、函数图表等是很不相同的。 图论中所谓的图是指某类具体离散事物集合和该集合 中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。 一个图就是由一个表示具体事物的“结点”的集合和 表示事物之间联系的一些“边”的集合所构成。 图论中结点的位置和边的长短是无关紧要的，这表明 图论中关注的图的逻辑结构和性质，其外在的形态并 不重要。
7
2014-6-30
第7章 图论原理
例1 考虑一张航线地图，图中用结点表示城市， 当两个城市间有直达航班时，就用一条边将相应 的点连接起来。
北京
长春
成都
武汉
上海
2014-6-30
8
例2 假设有4台计算机，分别标记为A、B、C 和D，在计算机A和B、C和D以及B和C之间有 信息流。计算机间的通信网络如下图所示：
27
两个图同构的必要条件
结点数目相同； 边数相同； 度数相同的结点数相同。 2
1
4
a d
3 G
b
G’
c
对于同构，形象地说，若图的结点可以任 意挪动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断 的条件下，一个图可以变形为另一个图，那么这 两个图是同构的。
28
前情回顾
图论的基本概念 G=<V,E>， 有向图与无向图 特殊图：零图、平凡图、完全图、补图 、同构
d
图的同构
2
G
3
b
G’
c
图G = <V, E>和G’= <V’, E’>，如果存在 双射函数g：V→V’， 使得对于任意的e = (vi, vj)∈E当且仅当e’ = (g(vi), g(vj))∈E’， 则称G与G’同构。
G = <V, E>, V={1,2,3,4}, E={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} G’ = <V’, E’>, V’={a,b,c,d}, E={((a,c),(a,d),(b,c),(b,d)} 函数g：V→V’，满足 g(1)=a, g(2)=b, g(3)=c, g(4)=d, 使得对于任意的e = (vi, vj)∈E当且 仅当e’ = (g(vi), g(vj))∈E’， 所以G与G’同构。
37
5 3 6
4
定理 7.2: 一个有向（ n ， m ）图中任何基本通路长度 均小于或等于n-1，而任何基本回路长度均小于或等 于 n． 定义7.6可达性: 从一有向图的结点vi到另一结点vj 间如果存在一条通路，则称从vi到vj是可达的。
38
概念在无向图中的推广
（a）
（ b）
无向图中一条边（vi , vj），可看成是两个有序结点对：<vi , vj>及<vj , vi>。 用方向相反的两条有向边取代一条无向边，一个无向图就 转换成有向图了。 如图（a）是一个无向图，它可以转换成一个有向图（b） 通路、回路及可达性概念及有关定理均可应用到无向图。
v1
v2
v3
v4
16
一条边若与两个相同的结点 相关联则称为环。亦即是说， 环是具有（vi , vi）状的边. 如图（a）中边l2＝（v1，v1） 即为环。
V1
l2
V1
17
不与任何结点相邻的结点叫 孤立点， 如图中结点a即为孤立点。
a
18
（a） （ b）
（c）
图G＝<V, E>与G＝<V, E>间如有VV及EE，则称 G是G的子图。 如有EE，称G是G的真子图。 如图（b）、（c）是图7.7（a）的子图，且是真子图。
1
一笔画问题
下面图形是否可以一笔画成而使图中没有一部分 被重复？？？
2
渡河问题
一个摆渡人要把一只狼、一只羊和一捆菜 运过河去。 由于船很小，每次摆渡人至多只能带一样 东西。 另外，如果人不在旁时，狼就要吃羊，羊 就要吃菜。 问这人怎样才能将它们运过河去？
3
均分问题
有3个没有刻度的桶a、b和c，其容积分别 为8升、5升和3升。 假定桶a装满了酒，现要把酒均分成两份。 除3个桶之外，没有任何其它测量工具，试 问怎样均分？
不包含多重边的图则叫简单图。
在图论中如不作特别说明我们一般仅讨论简单图。
33
（ a）
（ b）
（c）
图（a）是一个多重图， 图（b）也是多重图， 但图（c）则不是多重图而是简单图
34
带权图
B
A
200
100 C 150
D
1 B 3
A 7 5 D (b)
2 6 4 C
250
Байду номын сангаас
E (a)
图中边的旁侧可附加一些数字以刻划此边的某些数 量特征，叫做边的权，而此边叫有权边， 具有有权边的图叫有权图， 无有权边的图则叫无权图。
这样的一个图G可用G＝<V，E>表示。
11
例：四个程序p1、p2、p3、p4，有一些调用关 系：p1能调用p2；p2能调用p3；p2能调用p4， 试将此事实用图的方法表示。 解：图中的结点集为：V＝{p1, p2, p3, p4} 图中的边集为：E＝{c1, c2, c3}， 其中c1＝<p1, p2>；c2＝ < p2, p3 > ；c3＝ < p2, p4 >， 这个图可用G＝<V, E>表示（集合表示）。 也可以表示为如下图形表示 p1 c1 c2 p3 p2 c3 p4
A B
C
D
9
例3 有3个人A、B和C，3件工作D、E和F，假设A只能 做工作D, B能做工作E和F, C能做工作D和E。 则这种情形可用下图表示，其中，在人和这个人能够做 的工作之间画有边。 A D
B
C
E
F
10
图的定义
定义: 图G是由非空结点集合V＝{1 , 2，…， n} 以及边集合E＝{l1 , l2 , …, lm} 所组成。 其中每条边可用一个结点对表示之： li ＝（i1 ,i2 )，i＝1, 2, …, m．
36
例 2 1 G
4 3
5
回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：2，3，5，6，3，1，2 6 基本回路：3，5，6，3
设有向图G＝<V，E>， 回路(环)——第一个顶点和最后一个顶点相同的通路叫~ 简单回路——各边全不同的回路叫~ 基本回路——各点全不同的回路叫~
基本回路一定是简单回路，反之不一定成立。
30
定理: 图G＝<V，E>是一个（n , m）图，其 中V＝{v1 ,v2 ,…,vn}，此时我们有： n （vi）= 2m deg
i=1
v1 v3
v2 v4
31
（ a）
（ b）
所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图， 如图（a）、图（b）均为一个3次正则图。
32
a
b
多重图
在无向图中，一般一个无序结点对都只对应一条边， 在有向图中, 一般一个有序结点对也只对应一条边。 但有时一个结点对可对应若干条边， 这种边称为多重边， 包含多重边的图称为多重图，
23
（a）
（ b）
设有一图 G ＝ <V ， E> 与图 G ＝ <V ， E> ，如 果有 <V，E∪E>是完全图且E∩E＝ ，则称 G是G的补图。 例如图（a）与图（b）互为补图。 一个图的补图的补图即是此图自己。
24
图的同构
图是表达事物之间关系的工具，因此，图的最本 质的内容是结点和边的关联关系。 而在实际画图时，由于结点的位置不同，边的长 短曲直不同，同一事物间的关系可能画出不同形 状的图来。 例如下图中的两个图G1和G2实际上是同一个图。 1 4 1 4 2 3 2 3
12
两种表示方法的优缺点
用集合描述图的优点是精确，但抽象不易理解； 用图形表示图的优点是形象直观，但当图中的结 点和边的数目较大时，使用这种方法是很不方便 的，甚至是不可能的。
13
有向图与无向图
定义：图中的所有边均为有向边，则称该图为有向图； 图中的所有边均为无向边，则称该图为无向图。
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边 lk
18 世纪的东普鲁士有个哥尼 斯堡城，在横贯全城的普雷 格尔河两岸和两个岛之间架 设了7座桥，它们把河的两岸 和两个岛连接起来（如图）。 每逢假日，城中居民进行环城游玩， 人们对此提出 了一个“遍游”问题， 即能否有这样一种走法， 使得从某地出发通过且只通过每座桥一次后又回到 原地呢？
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第三篇 图论
图论是一门很有实用价值的学科，它在自然科学、 社会科学等各领域均有很多应用。 自上世纪中叶以来，它受计算机科学蓬勃发展的 刺激，发展极其迅速，应用范围不断拓广，已渗 透到诸如语言学、逻辑学、物理学、化学、电讯 工程、计算机科学以及数学的其它分支中。 特别在计算机科学中，如形式语言、数据结构、 分布式系统、操作系统等方面均扮演着重要的角 色。
39
欧拉图
定义:图G的一个回路，若它通过且仅通过G中的每条边 一次，这样的回路称为欧拉回路，具有这种回路的图叫 欧拉图。 定理 7.3:无向连通图 G 是欧拉图的充分必要条件是 G的 每个结点均具有偶次数。 定义:通过且仅通过图G中每条边一次的通路（非回路） 称为欧拉通路。 定理7.4:无向连通图G中结点vi与vj间存在欧拉通路的充 分必要条件是 vi 与 vj的次数均为奇数而其他结点的次数 为偶数。
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例：邮递员从邮局v1出发沿邮路投递信件，其邮路图 可见下图，试问是否存在一条投递路线使邮递员从邮 局出发通过所有路线而不重复且最后回到邮局。
起点vi
终点vj
有向边lk＝<vi , vj>中，vi称为lk的起点，vj称为 lk的终点 不管lk为有向还是无向，我们均称边lk与结点vi 及vj相关联，而结点vi与vj称为邻接的。
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若干条边关联于同一个结点， 则这些边称为邻接的。 图中边 l1 、 l2 、 l3 均关联于结 点 v1 ，故称 l1 、 l2 、 l3 为邻接 的.
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例 2 1 G
4 3
5 6
通路：1，2，3，5，6，3 通路长度：5 简单通路：3，5，6，3，1 基本通路：1，2，3，5
设有向图G＝<V，E>， 通路——通路是顶点的序列P={v0, v1,……vn}，满足 (vj-1, vj)E(1jn) 通路长度——通路上边的数目或通路上各边权值之和 简单通路——各边全不同的通路叫~ 基本通路——各点全不同的的通路叫~ 基本通路一定是简单通路，反之不一定成立。
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（a）
（c）
（ b）
图G＝<V , E>与G＝<V, E>间如果有V＝V，E E， 则称G是G的生成子图 如图（c）即是图（a）的一个生成子图。
20
（a） （ b）
一个具有 n个结点、 m 个边所组成的图称为（ n ， m ）图。 如果图G是一个（n，0）图则称此图为零图， 亦即是说零图是由一些孤立点所组成。 图（a）是一个零图， 如果图G是一个（1，0）图则称此零图为平凡图， 亦即是说平凡图是由一个孤立结点所组成。 图（b）是一个平凡图。
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（c）
（d）
一个（n，m）图G如果其n个结点（n≥2）中的 每一个均与其余n-1个结点邻接，则这样的图称 为完全图，可记为Kn。 容易证明，在完全图中有：m＝n(n-1)/2 图（c）及图（ d）分别给出了 n＝4及n＝5的完 全图。
22
（a） （ b）
（d） （c） 图7.8 零图、平凡图及完全图
G1
G2
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定义
设两个图G = <V, E>和G’= <V’, E’>，如果存在 双射函数g：V→V’，使得对于任意的e = (vi, vj) (或者<vi, vj>)∈E当且仅当e’ = (g(vi), g(vj)) (或者 <g(vi), g(vj)>)∈E’，则称G与G’同构。
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1
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a
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v1
v2 v4
结点次数
v3
定义:在有向图的结点v中， 以v为起点的边的条数叫v的引出次数，记以deg（v）。 以v为终点的边的条数叫v的引入次数，记以deg（v）， v的引入次数与引出次数之和称为 v的次数或全次数，记 以deg（v）。 在无向图中，结点v的次数或全次数是与v相关联的边的 条数，它也用deg（v）表之。
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教学目标
掌握好图论的基本概念、基本方法和基本算法. 善于把实际问题抽象为图论的问题(建模)，然后用图 论的方法去解决。 本篇仅介绍图论的初步知识，其目的在于今后可以以 此作为工具。
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本章所讨论的图(Graph)与人们通常所熟悉的图，例 如圆、椭圆、函数图表等是很不相同的。 图论中所谓的图是指某类具体离散事物集合和该集合 中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。 一个图就是由一个表示具体事物的“结点”的集合和 表示事物之间联系的一些“边”的集合所构成。 图论中结点的位置和边的长短是无关紧要的，这表明 图论中关注的图的逻辑结构和性质，其外在的形态并 不重要。
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第7章 图论原理
例1 考虑一张航线地图，图中用结点表示城市， 当两个城市间有直达航班时，就用一条边将相应 的点连接起来。
北京
长春
成都
武汉
上海
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例2 假设有4台计算机，分别标记为A、B、C 和D，在计算机A和B、C和D以及B和C之间有 信息流。计算机间的通信网络如下图所示：
27
两个图同构的必要条件
结点数目相同； 边数相同； 度数相同的结点数相同。 2
1
4
a d
3 G
b
G’
c
对于同构，形象地说，若图的结点可以任 意挪动位置，而边是完全弹性的，只要在不拉断 的条件下，一个图可以变形为另一个图，那么这 两个图是同构的。
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前情回顾
图论的基本概念 G=<V,E>， 有向图与无向图 特殊图：零图、平凡图、完全图、补图 、同构
d
图的同构
2
G
3
b
G’
c
图G = <V, E>和G’= <V’, E’>，如果存在 双射函数g：V→V’， 使得对于任意的e = (vi, vj)∈E当且仅当e’ = (g(vi), g(vj))∈E’， 则称G与G’同构。
G = <V, E>, V={1,2,3,4}, E={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} G’ = <V’, E’>, V’={a,b,c,d}, E={((a,c),(a,d),(b,c),(b,d)} 函数g：V→V’，满足 g(1)=a, g(2)=b, g(3)=c, g(4)=d, 使得对于任意的e = (vi, vj)∈E当且 仅当e’ = (g(vi), g(vj))∈E’， 所以G与G’同构。
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定理 7.2: 一个有向（ n ， m ）图中任何基本通路长度 均小于或等于n-1，而任何基本回路长度均小于或等 于 n． 定义7.6可达性: 从一有向图的结点vi到另一结点vj 间如果存在一条通路，则称从vi到vj是可达的。
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概念在无向图中的推广
（a）
（ b）
无向图中一条边（vi , vj），可看成是两个有序结点对：<vi , vj>及<vj , vi>。 用方向相反的两条有向边取代一条无向边，一个无向图就 转换成有向图了。 如图（a）是一个无向图，它可以转换成一个有向图（b） 通路、回路及可达性概念及有关定理均可应用到无向图。
v1
v2
v3
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一条边若与两个相同的结点 相关联则称为环。亦即是说， 环是具有（vi , vi）状的边. 如图（a）中边l2＝（v1，v1） 即为环。
V1
l2
V1
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不与任何结点相邻的结点叫 孤立点， 如图中结点a即为孤立点。
a
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（a） （ b）
（c）
图G＝<V, E>与G＝<V, E>间如有VV及EE，则称 G是G的子图。 如有EE，称G是G的真子图。 如图（b）、（c）是图7.7（a）的子图，且是真子图。
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一笔画问题
下面图形是否可以一笔画成而使图中没有一部分 被重复？？？
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渡河问题
一个摆渡人要把一只狼、一只羊和一捆菜 运过河去。 由于船很小，每次摆渡人至多只能带一样 东西。 另外，如果人不在旁时，狼就要吃羊，羊 就要吃菜。 问这人怎样才能将它们运过河去？
3
均分问题
有3个没有刻度的桶a、b和c，其容积分别 为8升、5升和3升。 假定桶a装满了酒，现要把酒均分成两份。 除3个桶之外，没有任何其它测量工具，试 问怎样均分？
不包含多重边的图则叫简单图。
在图论中如不作特别说明我们一般仅讨论简单图。
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（ a）
（ b）
（c）
图（a）是一个多重图， 图（b）也是多重图， 但图（c）则不是多重图而是简单图
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带权图
B
A
200
100 C 150
D
1 B 3
A 7 5 D (b)
2 6 4 C
250
Байду номын сангаас
E (a)
图中边的旁侧可附加一些数字以刻划此边的某些数 量特征，叫做边的权，而此边叫有权边， 具有有权边的图叫有权图， 无有权边的图则叫无权图。
这样的一个图G可用G＝<V，E>表示。
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例：四个程序p1、p2、p3、p4，有一些调用关 系：p1能调用p2；p2能调用p3；p2能调用p4， 试将此事实用图的方法表示。 解：图中的结点集为：V＝{p1, p2, p3, p4} 图中的边集为：E＝{c1, c2, c3}， 其中c1＝<p1, p2>；c2＝ < p2, p3 > ；c3＝ < p2, p4 >， 这个图可用G＝<V, E>表示（集合表示）。 也可以表示为如下图形表示 p1 c1 c2 p3 p2 c3 p4
A B
C
D
9
例3 有3个人A、B和C，3件工作D、E和F，假设A只能 做工作D, B能做工作E和F, C能做工作D和E。 则这种情形可用下图表示，其中，在人和这个人能够做 的工作之间画有边。 A D
B
C
E
F
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图的定义
定义: 图G是由非空结点集合V＝{1 , 2，…， n} 以及边集合E＝{l1 , l2 , …, lm} 所组成。 其中每条边可用一个结点对表示之： li ＝（i1 ,i2 )，i＝1, 2, …, m．
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例 2 1 G
4 3
5
回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：2，3，5，6，3，1，2 6 基本回路：3，5，6，3
设有向图G＝<V，E>， 回路(环)——第一个顶点和最后一个顶点相同的通路叫~ 简单回路——各边全不同的回路叫~ 基本回路——各点全不同的回路叫~
基本回路一定是简单回路，反之不一定成立。
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定理: 图G＝<V，E>是一个（n , m）图，其 中V＝{v1 ,v2 ,…,vn}，此时我们有： n （vi）= 2m deg
i=1
v1 v3
v2 v4
31
（ a）
（ b）
所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图， 如图（a）、图（b）均为一个3次正则图。
32
a
b
多重图
在无向图中，一般一个无序结点对都只对应一条边， 在有向图中, 一般一个有序结点对也只对应一条边。 但有时一个结点对可对应若干条边， 这种边称为多重边， 包含多重边的图称为多重图，
23
（a）
（ b）
设有一图 G ＝ <V ， E> 与图 G ＝ <V ， E> ，如 果有 <V，E∪E>是完全图且E∩E＝ ，则称 G是G的补图。 例如图（a）与图（b）互为补图。 一个图的补图的补图即是此图自己。
24
图的同构
图是表达事物之间关系的工具，因此，图的最本 质的内容是结点和边的关联关系。 而在实际画图时，由于结点的位置不同，边的长 短曲直不同，同一事物间的关系可能画出不同形 状的图来。 例如下图中的两个图G1和G2实际上是同一个图。 1 4 1 4 2 3 2 3
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两种表示方法的优缺点
用集合描述图的优点是精确，但抽象不易理解； 用图形表示图的优点是形象直观，但当图中的结 点和边的数目较大时，使用这种方法是很不方便 的，甚至是不可能的。
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有向图与无向图
定义：图中的所有边均为有向边，则称该图为有向图； 图中的所有边均为无向边，则称该图为无向图。
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